1、2.32.3二次函数与一元二次方程、不等式课标阐释思维脉络1.了解一元二次不等式的现实意义.(数学抽象)2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.(逻辑推理、数学运算)3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(直观想象、逻辑推理、数学运算)激趣诱思知识点拨城市人口的急剧增加使车辆日益增多,需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体的布局,以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的连接也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导,保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全,交通部门规定,在立交桥的某地段的运行
2、汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长的积,且车距不得少于半个车身,假定车身长均为l m,当车速为60 km/h时,车距为1.44个车身长,在交通繁忙时,应规定怎样的车速,才使此处的车流量最大?激趣诱思知识点拨知识点一、一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.(2)形式:ax2+bx+c0(a0);ax2+bx+c0(a0);ax2+bx+c0或a0两种,注意a0.当a0时,我们通常将不等式两边同乘以-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大
3、于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+0,x2+5x0,-3x2-6x+10;x2-y0;-x2-3x0.其中是一元二次不等式的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:中当a=0时,它不是一元二次不等式;中有两个未知数,它不是一元二次不等式;是一元二次不等式;是分式不等式.答案:A激趣诱思知识点拨知识点二、一元二次不等式的解法 激趣诱思知识点拨名师点析 1.解不含参数的一元二次不等式的方法(1)若不等式对应的一元二次方程能够分解因式,即能够转化为两个一次因式的乘积形式,则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.(2)若不等式对应的一元二次方程不能分解
4、因式,则可对式子进行配方,化为完全平方式,再开根号求解.2.解含有参数的不等式的方法解含有参数的一元二次型(ax2+bx+c0)不等式应注意以下几点:(1)要以二次项系数与零的大小关系作为分类标准进行分类讨论;(2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于0,不等式右边为0)后,再以判别式与零的大小关系作为分类标准进行分类讨论;(3)如果判别式大于0,但两根的大小还不能确定,此时再以两根的大小关系作为分类标准进行分类讨论.激趣诱思知识点拨微拓展分式不等式的解法(1)分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.各种分式不等式经过(2)分式不等式的解法解分式不等式的思路转化为整
5、式不等式求解.化分式不等式为标准型的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形式.激趣诱思知识点拨将分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表:微思考(1)什么叫二次函数y=ax2+bx+c的零点?零点是点吗?提示:把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.激趣诱思知识点拨(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.当x为何值时,y=0?当x为何值时,y0.上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);当0 x5时,y0,函数图象位于x轴
6、下方,此时x2-5x0;当x5时,y0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x0.激趣诱思知识点拨(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?提示:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况;抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的正负.(4)抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的相关位置有哪些情况?如何用一元二次方程来说明这些位置关系?提示:抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴可能有两个交点(相交),一个交点(相切),没有交点(相离).可以通过对应一元二次方程的判别式与0的关系来判断.激趣诱思知识点拨微练习(1)不等
7、式x2-2x0的解集是.(2)不等式x2+3x+62或x0;(2)-3x2+6x-20;(3)4x2-4x+10;(4)x2-2x+20.分析先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(4)因为x2-2x+2=0的判别式0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正
8、.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1解下列不等式.(1)4x2-20 x-25;(2)(x-3)(x-7)0;(3)-3x2+5x-40;(4)x(1-x)x(2x-3)+1.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)不等式可化为4x2-20 x+250,由于=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是
9、.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是x|3x7.(3)不等式-3x2+5x-40,由于判别式=25-48=-230,且-1和2是关于x的方程ax2+bx+a2-1=0的两个根,(2)由题意知a0(x10时,其解集是x|xx2,当a0时,其解集是x|x1xx2.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2已知关于x的不等式x2+ax+b0的解集.解:关于x的不等式x2+ax+b0,-2a0,a=-2,a0(aR)的解集.解:(x+a)(ax-1)0,当a=0时,-x0,即x0;探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测一元
10、二次不等式的实际应用一元二次不等式的实际应用例4行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系:(1)求n的值;(2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测分析(1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组,并结合nN求得n的值;(2)由s12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)由于刹车距离不超过12.6 m,即s12.6,解得-84v60.因为v0,
11、所以0v60,即行驶的最大速度为60 km/h.反思感悟 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤(1)理解题意,搞清量与量之间的关系.(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.(3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究 本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80 km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65 m,试问该车是否超速行驶?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法1.利用一元二次方程根的
12、判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.设y=ax2+bx+c(a0),则探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.分离自变量和参变量,利用等价转化思想将原问题转化为求函数的最值问题.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测典例 若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-10对于xR恒成立,求实数m的取值范围.解:当m2-2m-3=0时,m=3或m=-1.若m=3,不等式化为-10,显然对于xR恒成立,满足题意;若m=-1,不等式化为4x-10在x上恒成立x|xA,其中A是f(x)0的解集.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练已知y=3x2+bx+c,不等式y0的解
13、集为x|x0.(1)求函数的解析式;(2)若对于任意的-2x2,y+m3恒成立,求实数m的最大值.解:(1)易知-2和0是y=0的两个根,y=3x2+6x.(2)y+m3即m-3x2-6x+3,而当-2x2时,函数t=-3x2-6x+3的对称轴为x=-1,开口向下,所以函数的最小值在x=2时取得,此时tmin=-21,m-21,实数m的最大值为-21.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.(2020山东滕州一中高一月考)不等式-x2+3x-20的解集是()A.x|x2C.x|1x2D.x|x2解析:原不等式可化为x2-3x+20,即(x-1)(x-2)0,解得1x2,所以原不等式解集为x
14、|1x0的解集为R,则实数a的取值范围是()A.a|-16a0B.a|-16a0C.a|a0D.a|-8a0的解集为R,=a2-4440,解得-8a8,实数a的取值范围是a|-8a0的解集为x|2x3,则a+c=.解得a=-1,c=-6,所以a+c=-1-6=-7.答案:-7探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.某地年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样木材的年销售量减少 t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是.解析:设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,令y900,即60(8t-t2)900,解得3t5.故t的取值范围是t|3t5.答案:t|3t5探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a0.解:方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以当a-1时,原不等式的解集为x|ax-1时,原不等式的解集为x|-1xa.
