1、数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 第 三 章 导数及其应用 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动
2、高效测评 知能提升 1通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬 时变化率的过程，了解导数概念的实际背景 2知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内 涵 3会利用导数定义求函数在某一点处的导数 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉， 登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语 来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能
3、提升 同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处 到C处会感觉比较吃力想想看，为什么？你能用数学语言来 量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 提示 山路从 A 到 B 高度的平均变化率为 hABy x 100 500 1 5， 山路从 B 到 C 高度的平均变化率为 hBC y x 1510 7050 1 4， hBChAB， 山路从 B 到 C 比从 A 到 B 要陡峭的多 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 函数的变化率 定义 实例 作用 平均 变化 率 函数 yf(x)从 x1到 x2的 平均变化
4、率为_. 简记作：y x 平均速 度；曲线 割线的斜率 刻画函数值在 区间_ 上变化的快慢 fx2fx1 x2x1 (x1，x2) 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 定义 实例 作用 瞬时 变化 率 函数 yf(x)在 xx0处的瞬 时变化率是lim x0 y x _ 瞬时速度： 物体在某一时 刻的速度； 切线斜率 刻画函数值 在_附 近变化的快 慢 lim x0 fx0xfx0 x xx0 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测
5、评 知能提升 关于函数的平均变化率，应注意以下几点： (1)函数 f(x)在 x1处有定义 (2)x 是变量 x2在 x1处的改变量，且 x2是 x1附近的任意一 点，即 xx2x10，但 x 可以为正，也可以为负 (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若 xx2x1， 则 yf(x2)f(x1)；若 xx1x2，则 yf(x1)f(x2) 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (4)在公式y x fx2fx1 x2x1 fx 1xfx1 x 中， 当x1取定值， x 取不同的数值时， 函数的平均变化率
6、是不同的； 当 x 取定值， x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的特别地，当 函数 f(x)为常数函数时，y0，则y x0. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 导数的概念 函数 yf(x)在 xx0处的_变化率称为函数 yf(x)在 _处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0， 即 f(x0)lim x0 y x_. 瞬时 xx0 lim x0 fx0xfx0 x 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 对函
7、数在某点处导数的认识 (1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数 值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量 (2)函数在x0处的导数f(x0)只与x0有关，与x无关 (3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1已知函数 y2 x，当 x 由 2 变为 1.5 时，函数的增量 y ( ) A1 B1 3 C2 D3 2 解析： y 2 1.5 2 2 1 3. 答案： B 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学
8、习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2若函数 f(x)2x2的图象上点 P(1,2)及邻近点 Q(1x,2 y)，则y x的值为( ) A4 B4x C42x2 D42x 解析： y x 21x2212 x 42x. 答案： D 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3如果某物体做运动方程为s2(1t2)的直线运动(s的单 位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为 _ 解析： 物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导 数，利用导数的定义即可求得 答案： 4.8
9、m/s 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4利用导数的定义，求函数 y 1 x22 在点 x1 处的导数 解析： y 1 xx22 1 x22 2xxx2 xx2 x2 ， y x 2xx xx2 x2， yli m x0 y xli m x0 2xx xx2 x2 2 x3， y|x12. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 合作探究 课堂互动 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自
10、主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求平均变化率 (1)计算函数f(x)x2从x1到x1x的平均变化 率，其中x的值为： 2；1； 0.1； 0.01. (2)思考：当x越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的 平均变化率有怎样的变化趋势？ 思路点拨 直接利用定义求平均变化率，先求出表达 式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)yf(1x)f(1)(1x)212 x22x， y x x22x x x2. 当 x2 时，y xx24；
11、当 x1 时，y xx23； 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 当 x0.1 时，y xx22.1； 当 x0.01 时，y xx22.01. (2)当 x 越来越小时，函数 f(x)在区间1,1x上的平均变 化率逐渐变小，并接近于 2. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求平均变化率的步骤： (1)先计算函数值的改变量 yf(x1)f(x0) (2)再计算自变量的改变量 xx1x0. (3)求平均变化率y x
12、fx1fx0 x1x0 . 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1 在函数 y2x21 中， 分别求函数在 x1,2,3 附近的平均 变化率，取 x 的值均为1 4，问哪一点附近的平均变化率最大？ 解析： y x 2x0x212x2 01 x 4x02x 当 x01，x1 4时，函数在1,1.25上的平均变化率为 k14121 44.5. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 当 x02，x1 4时，函数在2,2.25
13、上的平均变化率为 k24221 48.5. 当 x03，x1 4时，函数在3,3.25上的平均变化率为 k34321 412.5. k1k2k3，函数在 x3 附近的平均变化率最大 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求函数在某点处的导数 求函数y2x24x在x3处的导数 思路点拨 思路一：求y求y x 求lim x0 y x 思路二：求f x求f 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 方法一：y2(3x)24
14、(3x)(23243) 12x2(x)24x2(x)216x， y x 2x216x x 2x16. y|x3lim x0 y xlim x0 (2x16)16. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：f(x)lim x0 2xx24xx2x24x x lim x0 4xx2x24x x lim x0 (4x2x4)4x4， y|x3f(3)43416. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求函数在某一点处的导
15、数的两种方法： (1)定义法，简记为“一差、二比、三极限”，其步骤如下： 求函数的增量，yf(x0x)f(x0)； 求平均变化率，y x fx0xfx0 x ； 取极限：f(x0)lim x0 y x. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)导函数的函数值法，即先利用导数的定义求出导函数 f(x)，再把 xx0代入 f(x)得 f(x0) 求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计 算这点的导数值 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究
16、 课堂互动 高效测评 知能提升 2(1)求函数 y1 x在 x1 处的导数； (2)求函数 f(x)6x23x2 在 x1 处的导数 解析： (1)方法一(定义法)： y 1 1x1 11x 1x x 1x， y x 1 1x， 函数在 x1 处的导数 f(1)lim x0 1 1x1. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二(求导函数的函数值法)： y 1 xx 1 x xxx xx x x xx x， y x 1 xx x， ylim x0 1 xx x 1 x2， 当 x1 时，导数值为 y|x
17、11. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)yf(1x)f(1) 6(1x)23(1x)25 6(x)29x， f(1)li m x0 y xlim x0 6x29x x lim x0 (6x9)9. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 瞬时速度与平均速度的求解 一个直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t) 3tt2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t2时的瞬时速度； (3)求t0到t2时的
18、平均速度 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 思路点拨 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)当 t0 时的速度为初速度， 在 0 时刻取一时间段0,0t，即0，t， ss(t)s(0)3t(t)2(3002) 3t(t)2， 2 分 s t 3tt2 t 3t， 3 分 lim t0 s tlim t0 (3t)3. 4 分 物体的初速度为 3. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用
19、 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)取一时间段2,2t， ss(2t)s(2) 3(2t)(2t)2(3222) t(t)2， 6 分 s t tt2 t 1t， 7 分 lim t0 s tli m t0 (1t)1， 8 分 当 t2 时，物体的瞬时速度为1. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (3)当 t0,2时，t202. ss(2)s(0) (3222)(3002)2. 10 分 vs t 2 21. 在 0 到 2 之间，物体的平均速度为 1. 12 分 数学
20、数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)依据平均速度与瞬时速度定义求解时，注 意 s 与 t 之间的对应关系， 还要注意运用有关数学公式来简化 运算 (2)在某一时间段内的平均速度与时间段 t 有关， 随 t 变化 而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，t 是趋于 0，而不是 t 0，此处 t 是个时间间隔任意小，但绝不能认为是 0. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (3)要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量 t
21、，求 出相应的位移的改变量 s， 再求出平均速度vs t， 最后计算当 t 趋近于 0 时，s t趋近于的常数，就是物体在该时刻的瞬时速 度 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3质点M按规律s(t)2t23t做直线运动(位移单位：cm， 时间单位：s)，求质点M在t2时的瞬时速度 解析： 当 t 从 2 变到 2t 时，函数值从 22232 变 到 2(2t)23(2t)，函数值 s(t)关于 t 的变化率为 s2ts2 t 22t232t22232 t 2t 11(cm/s) 当 t 趋于 0 时，瞬
22、时变化率趋于 11，所以质点在 t2 时的 瞬时速度 v11(cm/s) 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 设函数 yf(x)在 xx0处可导，且lim x0 fx03xfx0 x 1， 则 f(x0)等于( ) A1 B1 C1 3 D1 3 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错解】 lim x0 fx03xfx0 x lim x0 fx03xfx0 3x 3 3f(x0)1， 所以 f(x0)1 3，故选
23、D. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错因】 错解虽然注意到了系数关系， 但却忽略了分子 y 与 分 母 x 的 对 应 关 系 在 导 数 的 定 义 f(x0) lim x0 fx0xfx0 x 中，x 是分子 f(x0x)与 f(x0)中的两个自变量的 差，即(x0x)x0.初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分 母相应的符号或 x 系数的一致性 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【正解】 因为lim x0 fx03xfx0 x lim x0 fx0fx03x 3x 33f(x0)1， 所以 f(x0)1 3，故选 C. 答案： C 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 高效测评 知能提升 点击进入点击进入WORD链接链接 谢谢观看！谢谢观看！
