1、第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不 等 式 1.不等式的基本性质 【自主预习自主预习】 1.1.两个实数两个实数a,ba,b的大小关系的大小关系 a a- -b0 b0 a a- -b=0 b=0 a a- -bb_._. (2)(2)传递性传递性:ab,bc:ab,bc_._. (3)(3)可加性可加性:_:_a+cb+c.a+cb+c. bc abab (4)(4)可乘性可乘性: :如果如果ab,c0,ab,c0,那么那么_;_; 如果如果ab,cb,cb0,ab0,那么那么a an n_b_bn n(nN,n2).(nN,n2). (6)(6)开方开方: :如果如果ab0,ab0,那么
2、那么 _ (nN,n2)._ (nN,n2). acbcacbc ac n a n b 【即时小测即时小测】 1.1.若若a2x(xR). (2)a(2)a5 5+b+b5 5aa3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3(a,bR).(a,bR). (3)a(3)a2 2+b+b2 22(a2(a- -b b- -1).1).其中正确的个数其中正确的个数 ( ( ) ) A.0A.0 B.1B.1 C.2C.2 D.3D.3 【解析解析】选选C.C.因为因为x x2 2+3+3- -2x=(x2x=(x- -1)1)2 2+20,+20, 所以所以(1)(1)正确正确;a;a5 5+b+b
3、5 5- -(a(a3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3)=(a)=(a2 2- -b b2 2)(a)(a3 3- -b b3 3) ) =(a=(a- -b)b)2 2(a+b)(a(a+b)(a2 2- -ab+bab+b2 2) )正负不确定正负不确定, , 所以所以(2)(2)不正确不正确;a;a2 2+b+b2 2- -2(a2(a- -b b- -1)=(a1)=(a- -1)1)2 2+(b+1)+(b+1)2 20.0. 所以所以(3)(3)正确正确. . 【知识探究知识探究】 探究点探究点 不等式的基本性质不等式的基本性质 1.1.若若ab,cd,ab,cd,那么那
4、么a a- -cbcb- -d d吗吗? ? 提示提示: :不一定成立不一定成立, ,同向不等式具有可加性同向不等式具有可加性, ,但不具有可但不具有可 减性减性. . 如如21,51,21,51,但但2 2- -5151- -1 1不成立不成立. . 2.2.若若ab,cd,ab,cd,一定有一定有acbdacbd吗吗? ? 提示提示: :不一定不一定, ,如如a=a=- -1,b=1,b=- -2,c=2,c=- -2,d=2,d=- -3 3时就不成立时就不成立. . 【归纳总结归纳总结】 1.1.符号“符号“”和“”和“”的含义”的含义 “”与“”与“”, ,即推出关系和等价关系即推出
5、关系和等价关系, ,或者说“不或者说“不 可逆关系”与“可逆关系”可逆关系”与“可逆关系”, ,这要求必须熟记和区别不这要求必须熟记和区别不 同性质的条件同性质的条件. . 2.2.性质性质(3)(3)的作用的作用 它是移项的依据它是移项的依据. .不等式中任何一项改变符号后不等式中任何一项改变符号后, ,可以可以 把它从一边移到另一边把它从一边移到另一边. .即即a+bca+bcacac- -b.b.性质性质(3)(3)是可是可 逆的逆的, ,即即ababa+cb+c.a+cb+c. 3.3.不等式的单向性和双向性不等式的单向性和双向性 性质性质(1)(1)和和(3)(3)是双向的是双向的,
6、 ,其余的在一般情况下是不可逆其余的在一般情况下是不可逆 的的. . 4.4.注意不等式成立的前提条件注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件不可强化或弱化成立的条件. .要克服“想当然”“显然要克服“想当然”“显然 成立”的思维定式成立”的思维定式. .如传递性是有条件的如传递性是有条件的; ;可乘性中可乘性中c c的的 正负正负, ,乘方、开方性质中的“正数”及“乘方、开方性质中的“正数”及“nN,nN,且且n2”n2” 都需要注意都需要注意. . 类型一类型一 作差法比较大小作差法比较大小 【典例典例】设设mn,x=mmn,x=m4 4- -m m3 3n,y=nn,y=n3
7、3m m- -n n4 4, ,比较比较x x与与y y的大小的大小. . 【解题探究解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什比较两个多项式的大小常用的方法是什 么么? ? 提示提示: :常用作差比较法常用作差比较法. . 【解析解析】因为因为x x- -y=(my=(m4 4- -m m3 3n)n)- -(mn(mn3 3- -n n4 4) ) =(m=(m- -n)mn)m3 3- -n n3 3(m(m- -n)n) =(m=(m- -n)(mn)(m3 3- -n n3 3) ) =(m=(m- -n)n)2 2(m(m2 2+mn+n+mn+n2 2) ) 2 22 n3 m
8、n(m)n , 24 又又mn,mn,所以所以(m(m- -n)n)2 20,0, 因为因为 所以所以x x- -y0,y0,故故xy.xy. 22 n3 (m)n 0, 24 【方法技巧方法技巧】作差比较法的四个步骤作差比较法的四个步骤 【变式训练变式训练】 1.1.若若f(x)=3xf(x)=3x2 2- -x+1,g(x)=2xx+1,g(x)=2x2 2+x+x- -1,1,则则f(x)f(x)与与g(x)g(x)的大的大 小关系是小关系是_._. 【解析解析】f(x)f(x)- -g(x)=3xg(x)=3x2 2- -x+1x+1- -(2x(2x2 2+x+x- -1)1) =x
9、=x2 2- -2x+2=(x2x+2=(x- -1)1)2 2+110,+110, 所以所以f(x)g(x).f(x)g(x). 答案答案: :f(x)g(x)f(x)g(x) 2.2.若若x,yx,y均为正实数均为正实数, ,判断判断x x3 3+y+y3 3与与x x2 2y+xyy+xy2 2的大小关系的大小关系. . 【解析解析】x x3 3+y+y3 3- -x x2 2y y- -xyxy2 2 =x=x2 2(x(x- -y)y)- -y y2 2(x(x- -y)y) =(x=(x2 2- -y y2 2)(x)(x- -y)=(xy)=(x- -y)y)2 2(x+y),(
10、x+y), 因为因为x0,y0,x0,y0, 所以所以(x(x- -y)y)2 2(x+y)0,(x+y)0, 所以所以x x3 3+y+y3 3xx2 2y+xyy+xy2 2. . 类型二类型二 不等式性质的简单应用不等式性质的简单应用 【典例典例】判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确, ,并说明理由并说明理由. . (1)ab0,(1)ab0,则则 (2)cab0,(2)cab0,则则 (3)(3)若若 , ,则则adbc.adbc. (4)(4)设设a,ba,b为正实数为正实数, ,若若a a- - 0,ab0,所以所以abab两边同乘以两边同乘以 得得 得得 , ,故正确故正确.
11、 . (2)(2)因为因为c c- -a0,ca0,c- -b0,b0,且且c c- -a0, 又又ab0,ab0,所以所以 , ,正确正确. . 1 ab 11 ab abab ， 1 a 1 b 11 cacb ab cacb (3)(3)由由 , ,所以所以 0,0, 即即adbcadbc且且cd0cd0或或ad0,a0,b0, 所以所以a a2 2b b- -b0,cd0,ab0,cd0,那么那么 若若a,bR,a,bR,则则a a2 2+b+b2 2+52(2a+52(2a- -b).b). ab ; dc 【解析解析】因为因为ab0,cd0,ab0,cd0, 所以所以 0,0,故故
12、 错误错误. . a a2 2+b+b2 2+5+5- -2(2a2(2a- -b)b) =a=a2 2+b+b2 2+5+5- -4a+2b=(a4a+2b=(a- -2)2)2 2+(b+1)+(b+1)2 20,0, 所以正确所以正确. . 答案答案: : ab dc ab . dc 2.2.若若a0,c0,c- -d0,d0, 又又ab0,ab0,所以所以a a- -cbcb- -d0,d0, 所以所以0- -d0,d0, 所以所以 又又ab0,ab0, 所以所以 所以所以 同乘以同乘以- -1 1得得 11 0, cd ab 0, dc 3333 abab . dcdc 即， 33
13、ab . dc 2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )本题中加上条件“本题中加上条件“e- -d0,d0, 又又ab0,ab0,所以所以a a- -cbcb- -d0,d0, 所以所以(a(a- -c)c)2 2(b(b- -d)d)2 20,0, 所以所以 又又e0,cd0.ab0,cd0.求证求证: : 【证明证明】因为因为ab0,ab0,所以所以00,cd0,所以所以00,c0,d0,a0,b0,c0,d0,且且 , ,求证求证: : 【证明证明】因为因为a0,b0,c0,d0a0,b0,c0,d0且且 , ,所以所以adbc,adbc, 所以所以ad+cdbc+cd,a
14、d+cdbc+cd,即即d(a+c)c(b+d),d(a+c)c(b+d), 所以所以 ac bd acc . bdd ac bd acc . bdd 自我纠错自我纠错 作差法比较大小作差法比较大小 【典例典例】设设a+b0,na+b0,n为偶数为偶数, , 的大小关系为的大小关系为_._. n 1n 1 nn ba11 abab 与 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :n n为偶数时为偶数时,a,an n- -b bn n和和a an n- -1 1- -b bn n- -1 1不一定同号不一定同
15、号, ,这里忽这里忽 略了在题设条件略了在题设条件a+b0a+b0且没有明确字母的具体值的情况且没有明确字母的具体值的情况 下下, ,要考虑分类讨论要考虑分类讨论, ,即对即对a0,b0a0,b0和和a,ba,b有一个负值的有一个负值的 情况加以讨论情况加以讨论. .正确解答过程如下正确解答过程如下: : 【解析解析】 (1)(1)当当a0,b0a0,b0时时,(a,(an n- -b bn n)(a)(an n- -1 1- -b bn n- -1 1)0,(ab)0,(ab)n n0,0, nnn 1n 1 n 1n 1 nnn abab ba11 . abab ab nnn 1n 1 n
16、 1n 1 nnn abab ba11 0. abab ab 所以，故 (2)(2)当当a,ba,b有一个为负数时有一个为负数时, ,不妨设不妨设a0,b0,b0,a+b0, 所以所以a|b|.a|b|.又又n n为偶数为偶数, ,所以所以(a(an n- -b bn n) )(a(an n- -1 1- -b bn n- -1 1)0,)0,且且 (ab)(ab)n n0,0, 故故 即即 综合综合(1)(2)(1)(2)可知可知, , 答案答案: : nnn 1n 1 n abab 0, ab n 1n 1 nn ba11 . abab n 1n 1 nn ba11 . abab n 1n 1 nn ba11 abab
