1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第七节 抛物线 A组 基础题组 1.抛物线 8x2+y=0的焦点坐标为 ( ) A.(0,-2) B.(0,2) C. D. 2.已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C上一点 ,|AF|= x0,则 x0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 3.若抛物线 y2=2x上一点 P到准线的距离等于它到顶点的距离 ,则点 P的坐标为 ( ) A. B. C. D. 4.(2017江南十校联考 )已知直线 l过抛物线 C:x2=2py(p0)的焦点且与对称轴垂直 ,与抛物线 C交于 M,N两点 ,点 P为其准线上一点 ,若 MNP 的面积为
2、16,则 p=( ) A.5 B.4 C.6 D.2 5.设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M在 C上 ,|MF|=5,若以 MF为直径的圆过点 (0,2),则 C的方程为( ) A.y2=4x或 y2=8x B.y2=2x或 y2=8x C.y2=4x或 y2=16x D.y2=2x或 y2=16x 6.过抛物线 y2=4x的焦点 F的直线交该抛物线于 A,B两点 ,O为坐标原点 .若 |AF|=3,则 AOB 的面积为 . 7.抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 A,B两点 ,若 ABF 为等边三角形 ,则p= . 8.(2018
3、河北石家庄质检 )过点 P(-2,0)的直线与抛物线 C:y2=4x相交于 A,B两点 ,且 |PA|= |AB|,则点 A到抛物线 C的焦点的距离为 . 9.已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,A是抛物线上横坐标为 4,且位于 x轴上方的点 ,A到抛物线准线的距离等于 5,过 A作 AB 垂直于 y轴 ,垂足为 B,OB的中点为 M. (1)求抛物线的方程 ; =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若过 M作 MNFA, 垂 足为 N,求点 N的坐标 . 10.如图所示 ,已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,直线 l经过点 F且与抛物线 C相交于 A、 B两点 . (1)若线
4、段 AB的中点在直线 y=2上 ,求直线 l的方程 ; (2)若线段 |AB|=20,求直线 l 的方程 . B组 提升题组 1.如图 ,设抛物线 y2=4x的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B在抛物线上 ,点 C在 y轴上 ,则 BCF 与 ACF 的面积之比是 ( ) A. B. C. D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2.(2017 课标全国 ,12 ,5分 )过抛物线 C:y2=4x的焦点 F,且斜率为 的直线交 C于点 M(M在 x轴的上方 ),l为 C的准线 ,点 N在 l 上且 MNl, 则 M到直线 NF的距离为 ( ) A. B.2
5、 C.2 D.3 3.抛物线 y2=4x的焦点为 F,过点 F的直线交抛物线于 A,B两点 . (1)若 =2 ,求直线 AB的斜率 ; (2)设点 M在线段 AB上运动 ,原点 O关于点 M的对称点为 C,求四边形 OACB面积的最小值 . 4.如图所示 ,抛物线关于 x轴对称 ,它的顶点在坐标原点 ,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线 C上 . (1)求出该抛物线的方程及其准线方程 ; (2)当 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补时 ,求 y1+y2的值及直线 AB的斜率 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析 A组 基础题组 1.C 由 8x2+y
6、=0,得 x2=- y.所以 2p= ,p= ,所以焦点为 .故选 C. 2.A 由 y2=x得 2p=1,即 p= ,因此焦点 F ,准线方程为 l:x=- ,设点 A到准线的距离为 d,由抛物线的定义可知 d=|AF|,从而 x0+ = x0,解得 x0=1,故选 A. 3.A 设抛物线的顶点为 O,焦点为 F,P(xP,yP),由抛物线的定义知 ,点 P到准线的距离即点 P到焦点的距离 ,所以 |PO|=|PF|,过点 P作 PMOF 于点 M(图略 ),则 M为 OF的中点 ,所以 xP= ,代入 y2=2x,得 yP= ,所以 P . 4.B 由题意知焦点坐标为 F ,则 yM=yN
7、= .由抛物线的定义知 |MN|=|MF|+|NF|= + =2p,且 MNP 的高为 p,所以 SMNP = 2pp=p 2=16,则 p=4.故选 B. 5.C 以 MF为直径的圆过点 (0,2), 点 M在第一象限 . 由 |MF|=xM+ =5可得 M . 从而以 MF为直径的圆的圆心 N的 坐标为 , 点 N的横坐标恰好等于圆的半径 , 圆与 y轴切于点 (0,2), 从而 2= , 即 p2-10p+16=0,解得 p=2或 p=8, 抛物线方程为 y2=4x或 y2=16x.故选 C. 6. 答案 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),不
8、妨令 y10,y20. |AB|= |y1-y2| = = =4(m2+1). 所以 4(m2+1)=20,解得 m=2, 所以直线 l的方程是 x=2y+1, 即 x2y -1=0. B组 提升题组 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1.A 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由抛物线的定义 ,得 |AF|=x1+1, |BF|=x2+1, 则 = = = .故选 A. 2.C 因为直线 MF的斜率为 ,所以直线 MF的倾斜角为 60, 则 FMN=60. 由抛物线的定义得|MF|=|MN|,所以 MNF 为等边三角形 .过 F作 FHMN, 垂足为 H.易知 F(1,0),l的方程为
9、 x=-1,所以|OF|=1,|NH|=2,所以 |MF|= +2,即 |MF|=4,所以 M到直线 NF的距离 d=|FH|=|MF|sin 60=4 =2 .故选 C. 3. 解析 (1)依题意知 F(1,0),设直线 AB的方程为 x=my+1. 将直线 AB的方程与抛物线 的方程联立 , 消去 x得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 所以 y1+y2=4m,y1y2=-4, 因为 =2 ,所以 y1=-2y2. 联立 和 , 消去 y1,y2,得 m= . 所以直线 AB 的斜率是 2 . (2)由点 C与原点 O关于点 M 对称 ,得 M是线段 OC的
10、中点 , 从而点 O与点 C到直线 AB的距离相等 ,所以四边形 OACB 的面积等于 2SAOB . 因为 2SAOB =2 |OF|y 1-y2|= =4 ,所以当 m=0时 ,四边形 OACB的面积最小 ,最小值为 4. 4. 解析 (1)由已知条件可设抛物线 C的方程为 y2=2px(p0). 点 P(1,2)在抛物线 C上 ,2 2=2p1, 解得 p=2. 故所求抛物线的方程是 y2=4x,准线方程是 x=-1. (2)PA 与 PB的斜率存在且倾斜角互补 , =【 ;精品教育资源文库 】 = k PA= (x11),k PB= (x21), 且 kPA=-kPB. A(x 1,y1),B(x2,y2)均在抛物线 C上 , =4x1, =4x2, =- , y 1+2=-(y2+2),即 y1+y2=-4. -, 得 - =4(x1-x2),k AB= = =-1.
