1、第2课时 参数方程和普通方程的互化 【自主预习自主预习】 1.1.普通方程普通方程 相对于参数方程而言相对于参数方程而言, ,直接给出直接给出_的的 方程叫做普通方程方程叫做普通方程. . 点的坐标间的关系点的坐标间的关系 2.2.曲线的普通方程和参数方程的互相转化曲线的普通方程和参数方程的互相转化 (1)(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. . 一般地一般地, ,可以通过可以通过_而从参数方程得到普通方程而从参数方程得到普通方程. . 消去参数消去参数 (2)(2)如果知道变数如果知道变数x,yx,y中的一个与参数中的一个与参数t
2、t的关系的关系, ,例如例如 _,_,把它代入普通方程把它代入普通方程, ,求出另一个变数与参数的求出另一个变数与参数的 关系关系_,_,那么那么 就是曲线的参数方程就是曲线的参数方程. .在参在参 数方程与普通方程的互化中数方程与普通方程的互化中, ,必须使必须使x,yx,y的的_保保 持一致持一致. . x=f(t)x=f(t) y=g(t)y=g(t) 取值范围取值范围 xf t , yg t 【即时小测即时小测】 1.1.圆圆x x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=2=2的参数方程为的参数方程为 ( ( ) ) A. (A. ( 为参数为参数) ) B. (B. ( 为参数为参数)
3、 ) C. (C. ( 为参数为参数) ) D. (D. ( 为参数为参数) ) x2cos , y1 2sin x2cos , y12sin x2cos , y1 2sin x2cos , y12sin 【解析解析】选选D.D.圆圆x x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=2=2的圆心坐标为的圆心坐标为C(0,C(0,- -1),1),半半 径为径为 , ,所以它的参数方程为所以它的参数方程为 ( ( 为参为参 数数).). 2 x2cos , y12sin , 2.2.参数方程参数方程 (t(t为参数为参数) )化为普通方程为化为普通方程为_._. 【解析解析】消去参数方程消去参数方程
4、中的参数中的参数t,t, 得到普通方程为得到普通方程为y y2 2=4x.=4x. 答案答案: :y y2 2=4x=4x 2 xt y2t ， 2 xt y2t ， 【知识探究知识探究】 探究点探究点 参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化 1.1.同一曲线的参数方程是否唯一同一曲线的参数方程是否唯一? ? 提示提示: :求曲线的参数方程求曲线的参数方程, ,关键是灵活确定参数关键是灵活确定参数, ,由于参由于参 数不同数不同, ,同一曲线的参数方程也会有差异同一曲线的参数方程也会有差异, ,但是一定要但是一定要 注意等价性注意等价性. . 2.2.将曲线的参数方程和普通方程互相转
5、化需要注意什将曲线的参数方程和普通方程互相转化需要注意什 么么? ? 提示提示: :尽管同一曲线的参数方程不唯一尽管同一曲线的参数方程不唯一, ,但是一定要注但是一定要注 意方程与曲线的等价性意方程与曲线的等价性. . 【归纳总结归纳总结】 1.1.曲线的参数方程与普通方程互化的作用曲线的参数方程与普通方程互化的作用 (1)(1)将曲线的参数方程化为普通方程将曲线的参数方程化为普通方程, ,可借助于熟悉的可借助于熟悉的 普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、 性质等性质等. . (2)(2)将曲线的普通方程化为参数方程将曲线的普通方程化
6、为参数方程, ,可用参变量作为可用参变量作为 中介来表示曲线上点的坐标中介来表示曲线上点的坐标, ,从而给研究与曲线有关的从而给研究与曲线有关的 最大值、最小值以及取值范围等问题带来方便最大值、最小值以及取值范围等问题带来方便. . 2.2.参数方程化为普通方程的三种常用方法参数方程化为普通方程的三种常用方法: : (1)(1)代入法代入法: :利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数t,t,然后代入消然后代入消 去参数去参数. . (2)(2)三角函数法三角函数法: :利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数. . (3)(3)整体消元法整体消元法: :根据参数方程本身的结构特征
7、根据参数方程本身的结构特征, ,从整体从整体 上消去上消去. . 特别提醒特别提醒: :化参数方程为普通方程化参数方程为普通方程F(x,y)=0:F(x,y)=0:在消参过在消参过 程中注意变量程中注意变量x,yx,y取值范围的一致性取值范围的一致性, ,必须根据参数的必须根据参数的 取值范围取值范围, ,确定确定f(t)f(t)和和g(t)g(t)值域得值域得x,yx,y的取值范围的取值范围. . 类型一类型一 参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程 【典例典例】将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程, ,并判断曲线的并判断曲线的 形状形状. . (1) (1) (2) (2
8、) 2 x1 cos ysin . ， （ 为参数） 1 t x 1 t (t1,t) 2t y. 1 t ， 为参数 【解题探究解题探究】典例典例(1)(2)(1)(2)中如何分别消去参数中如何分别消去参数? ? 提示提示: :(1)(1)利用三角函数基本关系式消去参数利用三角函数基本关系式消去参数. . (2)(2)两式相加消去参数或代入法消去参数两式相加消去参数或代入法消去参数. . 【解析解析】(1)(1)由由 所以所以(x(x- -1)1)2 2+y=cos+y=cos2 2+sin+sin2 2=1,=1, 即即y=y=- -(x(x- -1)1)2 2+1(0y1),+1(0y1
9、),表示抛物线弧段表示抛物线弧段, ,如图如图. . 22 x1 cosx 1cos ysinysin ， 得 ， (2)(2)方法一方法一: :注意到两式中分子分母的结构特点注意到两式中分子分母的结构特点, ,因而可因而可 以采取加减消参的办法以采取加减消参的办法. . 1 t2t1 t xy1, 1 t1 t1 t 1 t2 x1x1 1 t1 t 又，故， 2 1 t22t2 y2y2 1 t1 t1 t ，故， 所以所求的方程为所以所求的方程为x+y=1(xx+y=1(x- -1,y2).1,y2). 方程表示直线方程表示直线( (去掉一点去掉一点( (- -1,2).1,2). 方法
10、二方法二: :只要把只要把t t用用x x或或y y表示表示, ,再代入另一表达式即可再代入另一表达式即可. . 由由 所以所以x+xt=1x+xt=1- -t,t, 所以所以(x+1)t=1(x+1)t=1- -x,x,即即 代入代入 所以所以x+y=1(xx+y=1(x- -1,y2).1,y2). 方程表示直线方程表示直线( (去掉一点去掉一点( (- -1,2).1,2). 1 t x, 1 t 1 x t 1 x ， 1 x 2 2 1 x 2t 1 x y1 x 1 x 1 t1 x 1 x 1 1 x ， 【方法技巧方法技巧】消去参数方程中参数的技巧消去参数方程中参数的技巧 (1
11、)(1)加减消参数法加减消参数法: :如果参数方程中参数的符号相等或如果参数方程中参数的符号相等或 相反相反, ,常常利用两式相减或相加的方法消去参数常常利用两式相减或相加的方法消去参数. . (2)(2)代入消参数法代入消参数法: :利用方程思想利用方程思想, ,解出参数的值解出参数的值, ,代入代入 另一个方程消去参数的方法另一个方程消去参数的方法, ,称为代入消参法称为代入消参法, ,这是非这是非 常重要的消参方法常重要的消参方法. . (3)(3)三角函数式消参数法三角函数式消参数法: :利用三角函数基本关系式利用三角函数基本关系式 sinsin2 2 +cos+cos2 2 =1=1
12、消去参数消去参数 . . 【变式训练变式训练】1.1.将参数方程将参数方程 化为普通化为普通 方程为方程为_._. 2 2 x1 t t y1 t ， （ 为参数） 【解析解析】将参数方程将参数方程 两式相加两式相加, ,得得x+y=2,x+y=2,其中其中 x=1+tx=1+t2 21.1. 答案答案: :x+y=2(x1)x+y=2(x1) 2 2 x1 t y1 t ， 2.2.将参数方程将参数方程 (a,b(a,b为大于零的常数为大于零的常数,t,t为参为参 数数) )化为普通方程化为普通方程, ,并判断曲线的形状并判断曲线的形状. . a1 x(t) 2t b1 y(t) 2t ，
13、【解析解析】因为因为 所以所以t0t0时时,xa,+),xa,+), t0t0时时,x(,x(- -,- -a.a. 由由 两边平方可得两边平方可得 由由 两边平方可得两边平方可得 a1 x(t) 2t ， a1 x(t) 2t 2 22 2 a1 x(t2) 4t ， b1 y(t) 2t 2 22 2 b1 y(t2) 4t ， 并化简并化简, ,得得 所以普通方程为所以普通方程为 所以方程表示焦点在所以方程表示焦点在x x轴上的双曲线轴上的双曲线. . 22 11 ab 22 22 xy 1 a0 b0 . ab （，） 22 22 xy 1 ab0. ab （ ， 为大于 的常数） 类
14、型二类型二 普通方程化为参数方程普通方程化为参数方程 【典例典例】(1)(1)把方程把方程xy=1xy=1化为以化为以t t为参数的参数方程为参数的参数方程 是是 ( ( ) ) A. B. A. B. C. D.C. D. 1 2 1 2 xt yt ， xsint 1 y sint ， xcost 1 y cost ，xtant 1 y tant ， (2)(2)根据下列条件求根据下列条件求 的参数方程的参数方程: : 设设y=siny=sin , , 为参数为参数; ; 设设x=2t,tx=2t,t为参数为参数. . 2 2 x y1 4 【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中
15、x,yx,y的范围是什么的范围是什么? ? 提示提示: :x,yx,y均为不等于均为不等于0 0的实数的实数. . 2.2.普通方程化参数方程时需注意什么普通方程化参数方程时需注意什么? ? 提示提示: :普通方程化参数方程时要注意参数的范围普通方程化参数方程时要注意参数的范围. . 【解析解析】(1)(1)选选D.xy=1,xD.xy=1,x取非零实数取非零实数, ,而而A,B,CA,B,C中的中的x x的的 范围不符合要求范围不符合要求. . (2)(2)把把y=siny=sin代入方程代入方程, ,得到得到 于是于是x x2 2=4(1=4(1- -sinsin2 2)=4cos)=4c
16、os2 2, 2 2 x sin1 4 ， 即即x=x=2|cos|,2|cos|,由于由于具有任意性具有任意性,sin,sin与与coscos的的 符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号, ,所以所以 取取x=2cos.x=2cos. 因此因此, , 的参数方程是的参数方程是 2 2 x y1 4 x2cos ysin . ， （ 为参数） 把把x=2tx=2t代入方程代入方程, ,得到得到 于是于是y y2 2=1=1- -t t2 2, , 即即 . .因此因此, ,方程方程 的参数方程是的参数方程是 2 2 4t y1 4 ， 2 y1 t
17、 . 2 2 x y1 4 2 x2t t y1 t ， （ 为参数）和 2 x2t . t y1 t ， （ 为参数） 【方法技巧方法技巧】求曲线的参数方程的方法求曲线的参数方程的方法 (1)(1)如果已知曲线的普通方程如果已知曲线的普通方程, ,根据所选参数可利用代根据所选参数可利用代 入法确定其参数方程入法确定其参数方程. . (2)(2)求动点的轨迹的参数方程时求动点的轨迹的参数方程时, ,应先根据题意选择适应先根据题意选择适 当的参数当的参数, ,利用已知条件求参数方程利用已知条件求参数方程. . 【变式训练变式训练】1.1.圆圆x x2 2+y+y2 2+4x+4x- -6y=06
18、y=0的参数方程为的参数方程为_._. 【解析解析】圆圆x x2 2+y+y2 2+4x+4x- -6y=06y=0变为变为(x+2)(x+2)2 2+(y+(y- -3)3)2 2=13,=13, 即即 令令 则则 令令 得得 22 x2y 3 1 1313 （） （） ， 2 2 x2 cos 13 （） ， x13cos 2 ， 2 2 y 3 sin 13 （） ，y13sin 3. 故圆故圆x x2 2+y+y2 2+4x+4x- -6y=06y=0的参数方程为的参数方程为 答案答案: : x213cos y313sin . ， （ 为参数） x213cos y313sin . ，
19、（ 为参数） 2.2.把下面曲线的普通方程化为参数方程把下面曲线的普通方程化为参数方程. . 设设x=acosx=acos2 2, ,为参数为参数. . xya， 【解析解析】把把x=acosx=acos2 2代入普通方程代入普通方程 得得 所以所以 所以所以y=a(1y=a(1- -|cos|cos|)|)2 2, , 所以普通方程所以普通方程 化为参数方程为化为参数方程为 xya， a |cos |ya ， ya 1 |cos |（）， xya 2 2 xacos . ya 1cos ， （ 为参数） （） 类型三类型三 参数方程与普通方程互化的应用参数方程与普通方程互化的应用 【典例典例
20、】已知已知x,yx,y满足满足x x2 2+(y+(y- -1)1)2 2=1,=1,求求: : (1)3x+4y(1)3x+4y的最大值和最小值的最大值和最小值. . (2)(x(2)(x- -3)3)2 2+(y+3)+(y+3)2 2的最大值和最小值的最大值和最小值. . 【解题探究解题探究】典例中方程表示的曲线形状是什么典例中方程表示的曲线形状是什么? ?曲线曲线 的参数方程是什么的参数方程是什么? ? 提示提示: :方程表示圆方程表示圆, ,参数方程为参数方程为 xcos , () y1 sin . 为参数 【解析解析】由圆的普通方程由圆的普通方程x x2 2+(y+(y- -1)1
21、)2 2=1=1得圆的参数方程得圆的参数方程 为为 (1)3x+4y=3cos+4sin+4=4+5sin(+(1)3x+4y=3cos+4sin+4=4+5sin(+),), 其中其中 且且的终边过点的终边过点(4,3).(4,3). 因为因为- -55sin(+55sin(+)5,)5,所以所以- -14+5sin(+14+5sin(+)9,)9, 所以所以3x+4y3x+4y的最大值为的最大值为9,9,最小值为最小值为- -1.1. xcos , () y1 sin . 为参数 3 tan, 4 (2)(x(2)(x- -3)3)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=(cos=(cos-
22、 -3)3)2 2+(sin+4)+(sin+4)2 2 =26+8sin=26+8sin- -6cos=26+10sin(+6cos=26+10sin(+).). 其中其中tantan= ,= ,且且的终边过点的终边过点(4,(4,- -3).3). 因为因为- -1010sin(+1010sin(+)10,)10, 所以所以1626+10sin(+1626+10sin(+)36,)36, 所以所以(x(x- -3)3)2 2+(y+3)+(y+3)2 2的最大值为的最大值为36,36,最小值为最小值为16.16. 3 4 【延伸探究延伸探究】 1.1.若本例条件不变若本例条件不变, ,求求
23、 的取值范围的取值范围. . 【解析解析】方法一方法一: :由于由于 (为参数为参数) ) 所以所以 所以所以sinsin- -kcos=kkcos=k- -3,3, 即即 y2 x 1 xcos , y1 sin ， y23 sin k. x 11 cos 2 1 k sink3. 所以所以 依题意依题意, ,得得 所以所以 解得解得 所以所以 的取值范围是的取值范围是 2 k3 sin(). 1 k 2 k3 | 1 1 k ， 2 2 k3 ()1 1 k ， 4 k. 3 y2 x 1 4 ,). 3 方法二方法二: :由于由于 所以问题可以看作圆所以问题可以看作圆x x2 2+(y+
24、(y- - 1)1)2 2=1=1上的动点上的动点P(x,y)P(x,y)与定点与定点A(A(- -1,1,- -2)2)的连线的斜率的连线的斜率. . 设直线设直线y+2=k(x+1)y+2=k(x+1)与圆相切与圆相切, ,则圆心则圆心(0,1)(0,1)到直线到直线kxkx- - y+ky+k- -2=02=0的距离为的距离为1,1, 即即 解得解得 y2 y2 , x 1x1 2 k3 d1 1 k ， 4 k. 3 若过若过A(A(- -1,1,- -2)2)的直线的斜率不存在时的直线的斜率不存在时, ,显然与圆相切显然与圆相切, , 结合图形结合图形, ,得得 的取值范围是的取值范
25、围是 y2 x 1 4 ,). 3 2.2.若本例条件变为若本例条件变为: :已知已知P(x,y)P(x,y)是极坐标方程是极坐标方程 = = 2sin2sin 表示的曲线上的任意一点表示的曲线上的任意一点, ,如何求如何求3x+4y3x+4y的最大的最大 值和最小值值和最小值? ? 【解析解析】极坐标方程极坐标方程=2sin=2sin即即2 2=2sin,=2sin,直角直角 坐标方程为坐标方程为x x2 2+(y+(y- -1)1)2 2=1,=1,得圆的参数方程为得圆的参数方程为 所以所以3x+4y=3cos+4sin+43x+4y=3cos+4sin+4 =4+5sin(+)=4+5s
26、in(+)- -1,9,1,9, 所以所以3x+4y3x+4y的最大值为的最大值为9,9,最小值为最小值为- -1.1. xcos , () y1 sin . 为参数 【方法技巧方法技巧】求有关最值或取值范围问题的技巧求有关最值或取值范围问题的技巧 (1)(1)求与圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围求与圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围 问题问题, ,常常利用圆的参数方程常常利用圆的参数方程, ,将问题转化为三角函数将问题转化为三角函数 的最大值、最小值或取值范围解决的最大值、最小值或取值范围解决, ,这样可使问题变得这样可使问题变得 简便简便. . (2)(2)形如形如y=asi
27、ny=asin +bcos+bcos 的三角函数的三角函数, ,通常转化为通常转化为y=y= 的形式求最大值、最小值的形式求最大值、最小值. . 22 yab sin() 【变式训练变式训练】1.1.圆圆x x2 2+y+y2 2=1=1上任意一点的坐标为上任意一点的坐标为(x,y),(x,y), 则则xyxy的最大值为的最大值为_._. 【解析解析】圆圆x x2 2+y+y2 2=1=1的参数方程为的参数方程为 则则 所以所以xyxy的最大值为的最大值为 答案答案: : xcos ysin ， （ 为参数） ， 11 xysin cos sin 2 22 ， 1 . 2 1 2 2.(201
28、52.(2015长沙高二检测长沙高二检测) )在直角坐标平面内在直角坐标平面内, ,以坐标原以坐标原 点点O O为极点为极点,x,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ,已知点已知点M M 的极坐标为的极坐标为 曲线曲线C C的参数方程为的参数方程为 ( ( 为参数为参数) )求点求点M M到曲线到曲线C C上的点的距离的最小值上的点的距离的最小值. . x12cos , y2sin . (4 2, ) 4 ， 【解析解析】由点由点M M的极坐标的极坐标 得直角坐标为得直角坐标为(4,4),(4,4), 由曲线由曲线C C的参数方程的参数方程 (为参数为参数) )得普通
29、方得普通方 程为程为(x(x- -1)1)2 2+y+y2 2=2,=2,圆心坐标为圆心坐标为C(1,0), C(1,0), =5.=5. 所以点所以点M M到曲线到曲线C C上的点的距离的最小值为上的点的距离的最小值为 x12cos , y2sin . 2 2 CM4 14 52 (4 2, ) 4 ， 3.(20163.(2016成都高二检测成都高二检测) )在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中, ,直线直线l的的 方程为方程为x x- -y+4=0.y+4=0.以原点以原点O O为极点为极点, ,以以x x轴正半轴为极轴的轴正半轴为极轴的 极坐标系中极坐标系中, ,曲线曲线C C的极
30、坐标方程为的极坐标方程为 (1)(1)求直线求直线l的极坐标方程的极坐标方程, ,曲线曲线C C的直角坐标方程的直角坐标方程. . (2)(2)若点若点P P是曲线是曲线C C上任意一点上任意一点,P,P点的直角坐标为点的直角坐标为(x,y),(x,y), 求求x+2yx+2y的最大值和最小值的最大值和最小值. . 2 4 2 cos60. 4 () 【解析解析】(1)(1)直线直线l的方程的方程x x- -y+4=0,y+4=0, 因为因为x=cos,y=sin,x=cos,y=sin, 所以所以l的极坐标方程为的极坐标方程为:cos:cos- -sin+4=0.sin+4=0. 又曲线又曲
31、线C C的极坐标方程的极坐标方程: : 2 4 2 cos60, 4 () 所以所以2 2- -4cos4cos- -4sin+6=0,4sin+6=0, 因为因为2 2=x=x2 2+y+y2 2,x=cos,y=sin,x=cos,y=sin, 曲线曲线C C的直角坐标方程的直角坐标方程: : (x(x- -2)2)2 2+(y+(y- -2)2)2 2=2.=2. (2)(2)由由(1)(1)知曲线知曲线C C参数方程为参数方程为 (为参数为参数),), 所以所以x+2y=(2+ cos)+2(2+ sin)x+2y=(2+ cos)+2(2+ sin) =6+ (cos+2sin)=6
32、+ (cos+2sin) =6+ sin(+=6+ sin(+).). 当当sin(+sin(+)=)=- -1 1时时,x+2y,x+2y有最小值为有最小值为6 6- - , , 当当sin(+sin(+)=1)=1时时,x+2y,x+2y有最大值为有最大值为6+ .6+ . x22cos , y22sin 22 2 10 10 10 自我纠错自我纠错 参数方程化为普通方程的综合问题参数方程化为普通方程的综合问题 【典例典例】已知直线已知直线l: (t: (t为参数为参数, , 为为l的的 倾斜角倾斜角),),以坐标原点为极点以坐标原点为极点,x,x轴的正半轴为极轴建立轴的正半轴为极轴建立
33、极坐标系极坐标系, ,曲线曲线C C为为: : 2 2- -6 6 cos cos +5=0.+5=0. (1)(1)若直线若直线l与曲线与曲线C C相切相切, ,求求 的值的值. . (2)(2)设曲线设曲线C C上任意一点的直角坐标为上任意一点的直角坐标为(x,y),(x,y),求求x+yx+y的取的取 值范围值范围. . x1 tcos ytsin ， ， 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :出错的根本原因是忽视了出错的根本原因是忽视了的取值范围的取值范围, , 0,)0,)所以所以有两个值有
34、两个值 正确解答过程如下正确解答过程如下: : 5 . 66 或 【解析解析】(1)(1)曲线曲线C:C:2 2- -6cos+5=06cos+5=0的直角坐标方程的直角坐标方程 为为x x2 2+y+y2 2- -6x+5=0,6x+5=0,即即(x(x- -3)3)2 2+y+y2 2=4,=4, 所以曲线所以曲线C C为圆心为为圆心为(3,0),(3,0),半径为半径为2 2的圆的圆. . 直线直线l的方程为的方程为xsinxsin- -ycos+sin=0,ycos+sin=0, 因为直线因为直线l与曲线与曲线C C相切相切, , 所以所以 即即sin= sin= 因为因为0,),0,), 所以所以 22 3sin sin 2 sincos ， 5 . 66 或 1 . 2 (2)(2)设设x=3+2cosx=3+2cos,y=2sin,y=2sin, , 则则x+y=3+2cosx+y=3+2cos+2sin+2sin 所以所以x+yx+y的取值范围是的取值范围是 3 2 2sin(), 4 3 2 2,32 2.
