1、第二章 数 列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与简单表示法 1.1.了解数列的概念及其简单表示和数列的分类，认识数列是反了解数列的概念及其简单表示和数列的分类，认识数列是反 映自然规律的基本数学模型映自然规律的基本数学模型. . 2.2.了解数列是一种特殊的函数，了解数列与函数的关系了解数列是一种特殊的函数，了解数列与函数的关系. . 3.3.能根据数列的前几项，写出它的一个通项公式能根据数列的前几项，写出它的一个通项公式. . 1.1.数列的概念及一般形式数列的概念及一般形式 (1)(1)相关概念相关概念 数列：按照数列：按照_排列的一列数称为数列排列的一列数称为数列.
2、 . 项：数列中的项：数列中的_叫做这个数列的项，排在叫做这个数列的项，排在_ 的数称为这个数列的第的数称为这个数列的第1 1项项( (通常也叫做首项通常也叫做首项).). (2)(2)一般形式一般形式 数列的一般形式可以写成数列的一般形式可以写成_，简记为，简记为_._. 一定顺序一定顺序 每一个数每一个数 第一位第一位 a a1 1，a a2 2，a a3 3，a an n aan n 2.2.数列的分类数列的分类 类别类别 含义含义 按项按项 的个的个 数数 有穷数列有穷数列 项数项数_的数列的数列 无穷数列无穷数列 项数项数_的数列的数列 按项按项 的变的变 化趋化趋 势势 递增数列递
3、增数列 从第从第2 2项起，每一项都项起，每一项都_它的前一项它的前一项 的数列的数列 递减数列递减数列 从第从第2 2项起，每一项都项起，每一项都_它的前一项它的前一项 的数列的数列 常数列常数列 各项各项_的数列的数列 摆动数列摆动数列 从第从第2 2项起，有些项项起，有些项_它的前一项，它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列有些项小于它的前一项的数列 有限有限 无限无限 大于大于 小于小于 相等相等 大于大于 3.3.数列的通项公式数列的通项公式 如果数列如果数列aan n 的第的第n n项与项与_之间的关系可以用之间的关系可以用_ 来表示，那么这个来表示，那么这个_叫做这个数列的通项
4、公式叫做这个数列的通项公式. . 4.4.数列的表示法数列的表示法 数列的表示法有三种，分别是数列的表示法有三种，分别是_法、法、_法、法、_法法. . 序号序号n n 一个式子一个式子 公式公式 列表列表 图象图象 解析解析 1.1.已知数列已知数列1 1， ，则，则 是它的是它的( ( ) ) A.A.第第2222项项 B.B.第第2323项项 C.C.第第2424项项 D.D.第第2828项项 【解析解析】选选B.B.因为因为 ，令，令2n2n- -1=451=45，得，得n=23n=23， 故故 是它的第是它的第2323项项. . 3572n 1， ， ， ，3 5 3 545 3 5
5、 2.2.数列的通项公式为数列的通项公式为a an n= = 则则a a2 2a a3 3等于等于( ( ) ) A.70A.70 B.28B.28 C.20C.20 D.8D.8 【解析解析】选选C.C.因为因为a a2 2=2=22 2- -2=22=2，a a3 3=3=33+1=103+1=10， 所以所以a a2 2a a3 3=20.=20. 3n 1n 2n2n ， 为奇数， ， 为偶数， 3.3.数列数列1 1， ， ， ，的通项公式是的通项公式是 . . 【解析解析】数列的通项公式是数列的通项公式是a an n= .= . 答案：答案：a an n= = 1 2 1 3 1
6、n 1 n 1 n 4.4.数列在平面直角坐标系中的图象是数列在平面直角坐标系中的图象是 . . 【解析解析】数列在平面直角坐标系中的图象是一群孤立的点数列在平面直角坐标系中的图象是一群孤立的点. . 答案：答案：一群孤立的点一群孤立的点 5.5.数列数列aan n 的通项公式是的通项公式是a an n=n(n+1)=n(n+1)，则这个数列的第，则这个数列的第6 6项项 是是 . . 【解析解析】这个数列的第这个数列的第6 6项是项是a a6 6=6=6(6+1)=42.(6+1)=42. 答案：答案：4242 一、数列的概念一、数列的概念 如图，观察下列三角形数、正方形数，回答下面的问题：
7、如图，观察下列三角形数、正方形数，回答下面的问题： 探究探究1 1：分别把相应的数写下来，得到怎样的一列数？：分别把相应的数写下来，得到怎样的一列数？ 提示：提示：三角形数构成的数列是：三角形数构成的数列是：1 1，3 3，6 6，1010， 正方形数构成的数列是：正方形数构成的数列是：1 1，4 4，9 9，1616， 探究探究2 2：把部分三角形数和正方形数随意打乱，如：把部分三角形数和正方形数随意打乱，如：1 1，1 1，1010， 1616，3 3，4 4，6 6，是否构成一个数列？，是否构成一个数列？ 提示：提示：这些数按照一定的顺序排列，能构成一个数列这些数按照一定的顺序排列，能构
8、成一个数列. . 【拓展延伸拓展延伸】数列与数集的区别与联系数列与数集的区别与联系 (1)(1)区别：数列主要研究项与项数之间的关系，数集主要研区别：数列主要研究项与项数之间的关系，数集主要研 究集合中元素公共的性质究集合中元素公共的性质. . 数集中元素有三个性质：确定性、无序性和互异性；数列中数集中元素有三个性质：确定性、无序性和互异性；数列中 的项也有三个性质：确定性、可重复性和有序性的项也有三个性质：确定性、可重复性和有序性. . (2)(2)联系：数列中的项与数集中的元素都是数，都体现对数之联系：数列中的项与数集中的元素都是数，都体现对数之 间关系的研究间关系的研究. . 【探究总结
9、探究总结】对数列概念的三点说明对数列概念的三点说明 (1)(1)数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在 这个数列中的某一个确定的数这个数列中的某一个确定的数a an n，而项数是指这个数在数列中，而项数是指这个数在数列中 的位置序号的位置序号. . (2)(2)同一个数在数列中可以重复出现同一个数在数列中可以重复出现. . (3)(3)两个数列相同，需要各项相同且排列顺序相同两个数列相同，需要各项相同且排列顺序相同. . 二、数列的分类及其表示方法二、数列的分类及其表示方法 观察下列几组数列，探究下列问题观察下列几组数列，探究下列问
10、题 1 1，2 2，3 3，n n 1 1，2 2，3 3，n n， 2 2，2 2，2 2， 1 1， ， ， ， 6 6，- -6 6，6 6，- -6 6， 1 2 1 3 1 4 1 2014 探究探究1 1：这五个数列，按项的个数来分，可以把数列分为几类？：这五个数列，按项的个数来分，可以把数列分为几类？ 提示：提示：从项数的多少可以把数列分为两类：有穷数列如和从项数的多少可以把数列分为两类：有穷数列如和 无穷数列如无穷数列如. . 探究探究2 2：按项的大小可以把数列分为递增数列、递减数列、常：按项的大小可以把数列分为递增数列、递减数列、常 数列、摆动数列，请指出以上各数列各属于哪
11、一种类型？数列、摆动数列，请指出以上各数列各属于哪一种类型？ 提示：提示：是递增数列，是常数列，是递减数列，是摆是递增数列，是常数列，是递减数列，是摆 动数列动数列. . 【探究总结探究总结】数列分类的关注点数列分类的关注点 (1)(1)注意数列是按照不同的分类标准分成不同类别，一个数列注意数列是按照不同的分类标准分成不同类别，一个数列 可以是递增数列且是无穷数列可以是递增数列且是无穷数列. . (2)(2)按照项的大小关系分类也可以看成数列的增减性按照项的大小关系分类也可以看成数列的增减性. . 三、数列的通项公式及其与函数的关系三、数列的通项公式及其与函数的关系 探究探究1 1：观察如图的
12、对应关系，思考：观察如图的对应关系，思考a an n和和n n之间是否构成一个映之间是否构成一个映 射关系，是否构成一个函数关系？射关系，是否构成一个函数关系？ 提示：提示：根据映射和函数的概念，根据映射和函数的概念，a an n和和n n之间构成一个映射，也之间构成一个映射，也 构成一个函数关系，并且构成了从构成一个函数关系，并且构成了从N N* *到到f(n)|nNf(n)|nN* * 的特殊映的特殊映 射和函数射和函数. . 探究探究2 2：根据所给的几个数列的通项公式，探究下列问题：根据所给的几个数列的通项公式，探究下列问题： a an n=n=n，a an n=(=(- -1)1)n
13、 n，a an n= = (1)(1)是否所有的数列都有通项公式，并且一个数列只有一个通是否所有的数列都有通项公式，并且一个数列只有一个通 项公式？项公式？ 提示：提示：并不是所有的数列都有通项公式，一个数列的通项公式并不是所有的数列都有通项公式，一个数列的通项公式 形式上不一定是唯一的，如和表示的是同一个数列形式上不一定是唯一的，如和表示的是同一个数列. . 1n 1n. ， 为奇数， ， 为偶数 (2)(2)通项公式通项公式a an n=f(n)=f(n)的作用是什么？的作用是什么？ 提示：提示：通项公式通项公式a an n=f(n)=f(n)中中n n代表项数，代表项数，a an n代表
14、项，因此，通过代表项，因此，通过 数列的通项公式能够知道数列中的指定项，同时也知道任意一数列的通项公式能够知道数列中的指定项，同时也知道任意一 项在该数列中的准确位置项在该数列中的准确位置. . 【探究总结探究总结】1.1.数列的函数性质的关注点数列的函数性质的关注点 (1)(1)数列的定义域为数列的定义域为N N* *或者它的有限子集或者它的有限子集11，2 2，3 3，n.n. (2)(2)数列的值域是一些孤立的实数组成的集合数列的值域是一些孤立的实数组成的集合. . (3)(3)数列的对应关系一般是其通项公式数列的对应关系一般是其通项公式. . 2.2.数列与函数的关系数列与函数的关系
15、(1)(1)数列作为特殊的函数，它具有函数的通性，定义域、值域、数列作为特殊的函数，它具有函数的通性，定义域、值域、 对应关系对应关系. . (2)(2)数列是特殊的函数，其定义域是数列是特殊的函数，其定义域是N N* *或者它的有限子集或者它的有限子集11，2 2， 3 3，nn，故数列对应的图象是一列孤立的点，故数列对应的图象是一列孤立的点. . (3)(3)数列的单调性和函数的单调性一致，可以用函数的单调性数列的单调性和函数的单调性一致，可以用函数的单调性 来研究数列的单调性来研究数列的单调性. . 类型一类型一 数列的概念及其分类数列的概念及其分类 1.1.分别写出下列数列：分别写出下
16、列数列： (1)(1)不大于不大于1010的自然数按从小到大的顺序组成的数列的自然数按从小到大的顺序组成的数列 为为 . . (2)(2)- -2 2的的1 1次幂、次幂、2 2次幂、次幂、3 3次幂、次幂、4 4次幂次幂构成的数列构成的数列 为为 . . 2.2.下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数 列，还是无穷数列？并说明理由列，还是无穷数列？并说明理由. . (1)(1)- -3 3，- -1 1，1 1，x x，5 5，7 7，y y，11.11. (2)(2)无理数无理数. . (3)(3)正有理数正有理数. . 【
17、解题指南解题指南】1.1.按照要求的次序写出各个数即可按照要求的次序写出各个数即可. . 2.2.根据数列的定义判断每组元素能否构成数列根据数列的定义判断每组元素能否构成数列. .然后再根据数然后再根据数 列的项数的个数来判断是否是有穷数列列的项数的个数来判断是否是有穷数列. . 【自主解答自主解答】1.(1)01.(1)0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，10.10. (2)(2)- -2 2，2 22 2，- -2 23 3，2 24 4，. . 答案：答案：(1)0(1)0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1
18、010 (2)(2)- -2 2，2 22 2，- -2 23 3，2 24 4， 2.(1)2.(1)当当x x，y y代表数时为数列，此时是有穷数列；当代表数时为数列，此时是有穷数列；当x x，y y中有中有 一个不是数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数，一个不是数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数， 按一定的顺序排列所组成的按一定的顺序排列所组成的. . (2)(2)不是数列，因为我们无法把所有的无理数按一定顺序排列不是数列，因为我们无法把所有的无理数按一定顺序排列 起来起来. . (3)(3)是数列，且是无穷数列是数列，且是无穷数列. .如我们可将有理数按下面顺序排列如
19、我们可将有理数按下面顺序排列 起来：起来： 112 3 13 4 12 5 3 5 4 5 12345. 233 2 44 3 55 2 5 3 5 4 ， 【规律总结规律总结】处理数列概念问题的注意点处理数列概念问题的注意点 (1)(1)注意数列中的顺序性，不同的顺序的数排成一列，构成不注意数列中的顺序性，不同的顺序的数排成一列，构成不 同的数列，故书写数列时注意数的顺序同的数列，故书写数列时注意数的顺序. . (2)(2)数列的分类是依据不同的标准，同一个数列可能既是无穷数列的分类是依据不同的标准，同一个数列可能既是无穷 数列又是递增数列数列又是递增数列. . 【变式训练变式训练】写出下列
20、数列：写出下列数列： (1)(1)全体自然数按从小到大排成一列全体自然数按从小到大排成一列. . (2)(2)正整数正整数1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的倒数排成一列的倒数排成一列. . (3)(3) 精确到精确到1 1，0.10.1，0.010.01，0.0010.001，的不足近似值排成一列的不足近似值排成一列. . 【解析解析】(1)0(1)0，1 1，2 2，3 3，. . (2)1(2)1， (3)3(3)3，3.13.1，3.143.14，3.1413.141，. . 1 1 1 1 . 2 3 4 5 ， 类型二类型二 数列与函数问题数列与函数问题 1.1.已知数列已知数
21、列aan n 的通项公式的通项公式a an n=2n=2n- - ，则此数列为，则此数列为( ( ) ) A.A.递增数列递增数列 B.B.递减数列递减数列 C.C.摆动数列摆动数列 D.D.常数列常数列 2.2.已知函数已知函数f(x)= f(x)= 设设a an n=f(n)(nN=f(n)(nN* *).). (1)(1)求证：求证：a an n0，即，即- - 0，即，即a an+1 n+1a an n，所以，所以aan n 是递增数列是递增数列. . 5 3 n 11 1 nn ， 1 n 1 n 111 1(1)0 n 1nn n 1 ， 【延伸探究延伸探究】题题2 2条件不变，写
22、出数列条件不变，写出数列aan n 的前的前4 4项项. . 【解析解析】由由 得得 n n 11 af n1nN* nn ， 12 111 a10 a1 122 ； 34 1213 a1a1. 3344 ； 【规律总结规律总结】函数的性质在数列中的应用函数的性质在数列中的应用 (1)(1)数列是特殊的函数，数列的项数和项类似于函数的定义域数列是特殊的函数，数列的项数和项类似于函数的定义域 和值域中的元素，通项公式类似于函数解析式和值域中的元素，通项公式类似于函数解析式. . (2)(2)可以利用研究函数的方法研究数列的相关性质，如单调性，可以利用研究函数的方法研究数列的相关性质，如单调性，
23、但要注意数列中定义域为从但要注意数列中定义域为从1 1开始的无穷多正整数集或其一部开始的无穷多正整数集或其一部 分组成的集合分组成的集合. . 【拓展延伸拓展延伸】函数法研究数列的单调性函数法研究数列的单调性 (1)(1)定义法，先设出数列对应的函数，然后可以利用证明函数定义法，先设出数列对应的函数，然后可以利用证明函数 单调性的定义法判断数列的单调性单调性的定义法判断数列的单调性. . (2)(2)作差法，对作差法，对a an+1 n+1- -a an n进行符号判断，若恒大于零，则是递增 进行符号判断，若恒大于零，则是递增 数列，恒小于零是递减数列数列，恒小于零是递减数列. . (3)(3
24、)作商法，即判断作商法，即判断 与与1 1的大小关系，类似于研究函数的的大小关系，类似于研究函数的 单调性问题单调性问题. . n 1 n a a 类型三类型三 数列的通项公式数列的通项公式 1.1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 4项分别是下列各项分别是下列各 数：数： (1)1(1)1，- - ， ，- - 的通项为的通项为 . . (2)2(2)2，0 0，2 2，0 0的通项为的通项为 . . (3)1(3)1，3 3，5 5，7 7的通项为的通项为 . . (4) (4) 的通项为的通项为 . . 2222 21 31 41 51 2345
25、 ， 1 2 1 3 1 4 2.2.根据数列的通项公式，分别写出数列的前根据数列的通项公式，分别写出数列的前5 5项和第项和第20132013项项. . (1)a(1)an n=cos . =cos . (2)a(2)an n=3n+2=3n+2n n. . n 2 【解题指南解题指南】1.(1)1.(1)正负相间，去掉符号后是正整数的倒数正负相间，去掉符号后是正整数的倒数. . (2)(2)可借助于正弦值的特点来写通项公式可借助于正弦值的特点来写通项公式. . (3)(3)正整数中的奇数正整数中的奇数. . (4)(4)根据分数的特点分别写出通项公式的分子和分母根据分数的特点分别写出通项公
26、式的分子和分母. . 2.2.把要求的项数值依次代入把要求的项数值依次代入. . 【自主解答自主解答】1.(1)1.(1)正负相间由正负相间由( (- -1)1)n+1 n+1确定，去掉符号后为正 确定，去掉符号后为正 整数的倒数，即整数的倒数，即 (2)(2)由于由于2 2，0 0隔项相同，根据正弦值的特点得：隔项相同，根据正弦值的特点得： (3)(3)奇数的表达形式：奇数的表达形式：a an n=2n=2n- -1.1. (4)(4)分母、分子变化的数均为项数加分母、分子变化的数均为项数加1 1，即，即 答案答案： (3)a(3)an n=2n=2n- -1 1 (4) (4) n 1 n
27、 1 a. n n n a2|sin|. 2 2 n n 11 a. n 1 n+1 nn 1 n 1 a = 2 a =2|sin| n2 2 n n 11 a n 1 2.(1)2.(1)数列的前数列的前5 5项分别是：项分别是：0 0，- -1 1，0 0，1 1，0 0； 第第20132013项是项是a a2013 2013= = (2)(2)因为因为a an n=3n+2=3n+2n n，数列的前，数列的前5 5项分别是：项分别是：a a1 1=3+2=5=3+2=5， a a2 2=3=32+22+22 2=10=10，a a3 3=3=33+23+23 3=17=17，a a4
28、4=3=34+24+24 4=28=28， a a5 5=3=35+25+25 5=47.a=47.a2013 2013=3 =32013+22013+22013 2013=6039+2 =6039+22013 2013. . 2 013 cos0. 2 【规律总结规律总结】求数列通项公式的两个关注点求数列通项公式的两个关注点 (1)(1)一个数列的通项公式有时不唯一一个数列的通项公式有时不唯一. . 如如1 1，0 0，1 1，0 0，1 1，0 0，1 1，0 0，它的通项公式可以是，它的通项公式可以是 也可以是也可以是 (2)(2)通项公式的作用：求数列中的任意一项；通项公式的作用：求数
29、列中的任意一项； 检验某数是不是该数列中的项，并确定是第几项检验某数是不是该数列中的项，并确定是第几项. . n 1 n 11 a 2 ，n n 1 a|cos|. 2 【变式训练变式训练】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一根据下面数列的前几项的值，写出数列的一 个通项公式个通项公式. . (1)1(1)1，0 0，- -1 1，0 0，1 1，0 0，- -1 1，0 0， (2) (2) (3)7(3)7，7777，777777，77777777， (4)(4)- -1 1，7 7，- -1313，1919，- -2525，3131， 2 3456 3 815 2435 ， ， 【解析
30、解析】(1)a(1)an n= = (2)(2)各项负正相间，观察分子分母的特点，分子为项数加各项负正相间，观察分子分母的特点，分子为项数加1 1， 分母为分子相应平方数减分母为分子相应平方数减1 1，故，故 (3)(3)利用利用1010n n- -1 1的特性，可以得到的特性，可以得到a an n= (10= (10n n- -1).1). (4)(4)各项负正相间，去掉符号后，后项与前项的差为各项负正相间，去掉符号后，后项与前项的差为6 6，可写，可写 成成6n6n- -5 5，故，故a an n=(=(- -1)1)n n(6n(6n- -5).5). n sin. 2 n n 2 n 1 a( 1). n 11 7 9
