1、第2课时 等比数列习题课 【题型探究题型探究】 类型一类型一 等比数列的实际应用问题等比数列的实际应用问题 【典例典例】1.1.根据市场调查预测，某商场在未来的根据市场调查预测，某商场在未来的1010年，年， 计算机销售量从计算机销售量从a a台开始，每年以台开始，每年以10%10%的速度增长，则该的速度增长，则该 商场在未来的这商场在未来的这1010年大约可以销售计算机总量为年大约可以销售计算机总量为( ( ) ) A A10a(1.110a(1.19 9- -1)1)台台 B Ba(1.1a(1.110 10- -1) 1)台台 C C10a(1.110a(1.110 10- -1) 1)
2、台台 D D10a(1.110a(1.111 11- -1) 1)台台 2.2.某企业去年的纯利润为某企业去年的纯利润为500500万元，因设备老化的原因，万元，因设备老化的原因， 企业的生产能力将逐年下降企业的生产能力将逐年下降. .若不能进行设备改造，预若不能进行设备改造，预 测从今年起每年比上一年纯利润减少测从今年起每年比上一年纯利润减少2020万元，今年初该万元，今年初该 企业一次性投入资金企业一次性投入资金600600万元进行设备改造，预测在未万元进行设备改造，预测在未 扣除设备改造资金的情况下，第扣除设备改造资金的情况下，第n n年年( (今年为第一年今年为第一年) )的的 利润为
3、利润为500 500 万元万元(n(n为正整数为正整数).). n 1 (1) 2 (1)(1)设从今年起的后设从今年起的后n n年，若该企业不进行设备改造的年，若该企业不进行设备改造的 累计纯利润为累计纯利润为A An n万元，进行设备改造后的累计纯利润万元，进行设备改造后的累计纯利润 为为B Bn n万元万元( (须扣除设备改造资金须扣除设备改造资金) )，求，求A An n，B Bn n的表达式的表达式. . (2)(2)依上述预测，问从今年起该企业经过依上述预测，问从今年起该企业经过4 4年是否能实年是否能实 现现B Bn nAAn n的目标？的目标？ 【解题探究解题探究】1.1.典例
4、典例1 1中，中，1010年的计算机销售量构成什年的计算机销售量构成什 么数列？么数列？ 提示：提示：1010年的计算机销售量构成首项为年的计算机销售量构成首项为a a，公比为，公比为1.11.1 的等比数列的等比数列. . 2.2.典例典例2 2中，从今年起的后中，从今年起的后n n年，若该企业不进行设备年，若该企业不进行设备 改造，每年的纯利润构成什么数列？数列改造，每年的纯利润构成什么数列？数列500 500 的前的前n n项和如何计算？项和如何计算？ 为分析企业经过为分析企业经过4 4年是否能实现年是否能实现B Bn nAAn n的目标，需要研究的目标，需要研究 数列数列BBn n-
5、-A An n 的什么性质？的什么性质？ n 1 (1) 2 提示：提示：从今年起每年的纯利润构成以从今年起每年的纯利润构成以500500- -2020为首项，公为首项，公 差为差为- -2020的等差数列的等差数列. .数列数列500 500 的前的前n n项和可以分项和可以分 组转化求和，即组转化求和，即 n 1 (1) 2 2n 2n 111 500(1)(1)(1) 222 111 500(1 11)(). 222 为分析企业经过为分析企业经过4 4年是否能实现年是否能实现B Bn nAAn n的目标，需要研的目标，需要研 究数列究数列BBn n- -A An n 的单调性的单调性.
6、. 【解析解析】1.1.选选C.C.第一年第一年a a台，第二年台，第二年a(1+10%)=1.1aa(1+10%)=1.1a台，台， 第三年第三年a(1+10%)a(1+10%)2 2=1.1=1.12 2a a台，以此类推，台，以此类推， 可知可知1010年的销售量构成首项为年的销售量构成首项为a a，公比为，公比为1.11.1的等比数列，的等比数列， 前前1010项的和项的和S S10 10= = 10 10 a(1 1.1 ) 10a(1.11)( ). 1 1.1 台 2.(1)2.(1)依题设，依题设，A An n=(500=(500- -20)+(50020)+(500- -40
7、)+40)+(500+(500- -20n)20n) =490n=490n- -10n10n2 2， n 2n n 111 B500(1(1)(1) 600 222 500 500n100. 2 ） (2)B(2)Bn n- -A An n= = =10n=10n2 2+10n+10n- - - -100.100. 易知该式随着易知该式随着n n的增大而增大，代入的增大而增大，代入1 1，2 2，3 3，4 4，验验 证知当证知当n4n4时，时，B Bn nAAn n. . 故经过故经过4 4年，该企业进行设备改造后的累计纯利润能超年，该企业进行设备改造后的累计纯利润能超 过不进行设备改造的累
8、计纯利润过不进行设备改造的累计纯利润. . 2 n 500 (500n100)490n 10n 2 n 500 2 【方法技巧方法技巧】解答数列应用题的步骤解答数列应用题的步骤 (1)(1)审题审题仔细阅读材料，认真理解题意仔细阅读材料，认真理解题意. . (2)(2)建模建模将已知条件翻译成数学将已知条件翻译成数学( (数列数列) )语言，将实语言，将实 际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. . (3)(3)求解求解求出该问题的数学解求出该问题的数学解. . (4)(4)还原还原将所求结果还原到实际问题中将所求结果还原到实际问题中. .
9、具体解题步骤用框图表示如下：具体解题步骤用框图表示如下： 【变式训练变式训练】从社会效益和经济效益出发，某地投入从社会效益和经济效益出发，某地投入 资金进行生态环境建设，以发展旅游产业资金进行生态环境建设，以发展旅游产业. .根据规划，根据规划， 本年度投入本年度投入800800万元，以后每年投入将比上年减少万元，以后每年投入将比上年减少 . . 本年底当地旅游业收入估计为本年底当地旅游业收入估计为400400万元万元. .由于该项目建由于该项目建 设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年 会比上年增加会比上年增加 . .设设n n年内年内(
10、 (本年度为第一年本年度为第一年) )总投入为总投入为 a an n万元，旅游业总收入为万元，旅游业总收入为b bn n万元，写出万元，写出a an n和和b bn n. . 1 5 1 4 【解题指南解题指南】每一年的投入构成首项为每一年的投入构成首项为800800，公比为，公比为 1 1- - 的等比数列；的等比数列； 每一年的旅游业收入构成首项为每一年的旅游业收入构成首项为400400，公比为，公比为1+ 1+ 的等的等 比数列比数列. . 1 5 1 4 【解析解析】第一年投入为第一年投入为800800万元，第二年投入为万元，第二年投入为 800 800 万元，万元，第，第n n年投入
11、为年投入为800 800 万元，万元， 所以所以n n年内的总投入为年内的总投入为a an n=800+800 +=800+800 +800+800 =4 000(1=4 000(1- -0.80.8n n)()(万元万元).). 1 (1) 5 n 1 1 (1) 5 1 (1) 5 n 1 1 (1) 5 第一年旅游业收入为第一年旅游业收入为400400万元，第二年旅游业收入为万元，第二年旅游业收入为 400 400 万元，万元，第，第n n年旅游业收入为年旅游业收入为400 400 万元，万元， 所以，所以，n n年内的旅游业总收入为年内的旅游业总收入为b bn n=400+400 +=
12、400+400 + +400 =1 600(1.25+400 =1 600(1.25n n- -1)(1)(万元万元).). 1 (1) 4 n 1 1 (1) 4 1 (1) 4 n 1 1 (1) 4 【补偿训练补偿训练】某企业进行技术改造，有两种方案，甲某企业进行技术改造，有两种方案，甲 方案：一次性贷款方案：一次性贷款1010万元，第一年便可获利万元，第一年便可获利1 1万元，以万元，以 后每年比前一年增加后每年比前一年增加30%30%的利润；乙方案：每年贷款的利润；乙方案：每年贷款1 1 万元，第一年可获利万元，第一年可获利1 1万元，以后每年比前一年增加万元，以后每年比前一年增加5
13、 5 千元；两种方案使用期都是千元；两种方案使用期都是1010年，到期一次性归还本年，到期一次性归还本 息息. .若银行两种形式的贷款都按年息若银行两种形式的贷款都按年息5%5%的复利计算，试的复利计算，试 比较两种方案中，哪种纯获利更多？比较两种方案中，哪种纯获利更多？ ( (取取1.051.0510 101.629 1.629，1.31.310 1013.786 13.786，1.51.510 1057.665) 57.665) 【解析解析】(1)(1)甲方案获利：甲方案获利： 1+(1+30%)+(1+30%)1+(1+30%)+(1+30%)2 2+ +(1+30%)+(1+30%)9
14、 9= 42.62(= 42.62(万元万元).). 银行贷款本息：银行贷款本息：1010(1+5%)(1+5%)10 1016.29( 16.29(万元万元) )， 故甲方案纯获利：故甲方案纯获利：42.6242.62- -16.29=26.33(16.29=26.33(万元万元).). 10 1.31 0.3 (2)(2)乙方案获利：乙方案获利： 1+(1+0.5)+(1+21+(1+0.5)+(1+20.5)+0.5)+(1+9+(1+90.5)0.5) =10=101+ 1+ 0.5=32.50(0.5=32.50(万元万元) )， 10 9 2 银行本息和：银行本息和： 1.051.
15、051+(1+5%)+(1+5%)1+(1+5%)+(1+5%)2 2+ +(1+5%)+(1+5%)9 9=1.05=1.05 13.21(13.21(万元万元).). 故乙方案纯获利：故乙方案纯获利：32.5032.50- -13.21=19.29(13.21=19.29(万元万元).). 综上，甲方案纯获利更多综上，甲方案纯获利更多. . 10 1.051 0.05 类型二类型二 错位相减法求和错位相减法求和 【典例典例】(2015(2015湖北高考湖北高考) )设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d d， 前前n n项和为项和为S Sn n，等比数列，等比数列bbn n 的
16、公比为的公比为q.q.已知已知b b1 1=a=a1 1， b b2 2=2=2，q=dq=d，S S10 10=100. =100. (1)(1)求数列求数列aan n ，bbn n 的通项公式的通项公式. . (2)(2)当当d1d1时，记时，记c cn n= = ，求数列，求数列ccn n 的前的前n n项和项和T Tn n. . n n a b 【解题探究解题探究】典例典例(1)(1)求通项公式的基本步骤是什么？求通项公式的基本步骤是什么？ (2)(2)数列数列ccn n 的结构特征是什么？应选择什么求和方法？的结构特征是什么？应选择什么求和方法？ 提示：提示：(1)(1)由题意可列出
17、方程组由题意可列出方程组 求解首项、公差、公比，再代入通项公式即可求得求解首项、公差、公比，再代入通项公式即可求得. . (2)(2)由由(1)(1)结合结合d1d1，可得，可得a an n=2n=2n- -1 1，b bn n=2=2n n- -1 1，于是，于是c cn n= = 易发现易发现ccn n 的通项是一个等差数列和一个等比数的通项是一个等差数列和一个等比数 列相乘而得的，对其进行求和直接运用错位相减法即列相乘而得的，对其进行求和直接运用错位相减法即 可得出结论可得出结论. . 1 1 10a45d100 a d2 ， ， n 1 2n 1 2 ， 【解析解析】(1)(1)由题意
18、有，由题意有， 1 1 10a45d100 a d2 ， ， 1 11 1 n n n 1 n 1 n n a9 2a9d20a1 2 a d2d2d. 9 1 a2n79 a2n 1 9 2b2. b9 ( ). 9 ， ， 即解得或 ， ， ， 故或 (2)(2)由由d1d1，知，知a an n=2n=2n- -1 1，b bn n=2=2n n- -1 1， 故故c cn n= = 于是于是 n 1 2n 1 2 ， n 234n 1 n 2345n 35792n 1 T1 22222 1135792n 1 T. 2222222 ， - -可得可得 n 2n 2nn n n 1 1111
19、2n 12n3 T23 222222 2n3 T6. 2 ， 故 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )将典例条件“将典例条件“c cn n= ”= ”改为“改为“c cn n=a=an nb bn n”， 其他条件不变，求其他条件不变，求T Tn n. . n n a b 【解析解析】因为因为c cn n=(2n=(2n- -1)21)2n n- -1 1， 所以所以T Tn n=1=12 20 0+3+32 21 1+5+52 22 2+ +(2n+(2n- -1)1)2 2n n- -1 1， 2T2Tn n=1=12 21 1+3+32 22 2+5+52 23 3+
20、 +(2n+(2n- -1)1)2 2n n， 两式相减得两式相减得 - -T Tn n=1+2=1+22 2+2+23 3+ +2+2n n- -(2n(2n- -1)1)2 2n n = =- -(2n(2n- -3)3)2 2n n- -3 3， 所以所以T Tn n=(2n=(2n- -3)23)2n n+3+3，nNnN* *. . 2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )将数列将数列aan n 满足的条件改为满足的条件改为 “数列“数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n满足满足2S2Sn n=3=3n n+3”+3”，将数列，将数列bbn n 满足的条件改
21、为“满足的条件改为“a an nb bn n=log=log3 3a an n”，求数列，求数列bbn n 的前的前n n项项 和和T Tn n. . 【解析解析】S Sn n= = 当当n=1n=1时，时，a a1 1=S=S1 1= =3.= =3. 当当n2n2时，时，a an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1， 即即a an n= = 所以所以a an n= = 当当n=1n=1时，时，a a1 1b b1 1=3b=3b1 1=1=1，所以，所以b b1 1= = ； 当当n2n2时，时，a an nb bn n=3=3n n- -1 1b bn n=log=log3
22、33 3n n- -1 1=n=n- -1 1， n 33 2 ， 6 2 nn 1 n 1 3333 3 22 ， n 1 3n1 3n2. ， ， 1 3 所以所以b bn n= = 故故b bn n= = 当当n=1n=1时，时，T T1 1=b=b1 1= = ； 当当n2n2时，时，T Tn n=b=b1 1+b+b2 2+b+b3 3+b+b4 4+ +b+bn n n 1 n 1 3 ， n 1 1 n1 3 n 1 n2. 3 ， ， 1 3 23n 1 n 2234n 1123n 1 33333 11123n 1 T. 333333 ， 则 两式相减得两式相减得 所以所以T
23、Tn n= = 因为因为T T1 1= = 符合上式，所以符合上式，所以bbn n 的前的前n n项和项和 T Tn n= = n 23n 1n 221111n 1 T 3933333 n 1 nn 11 1 ( ) 211311 33 n 1( )(n) ( ) 1 931823 1 3 ， n 1 132n 11 () ( ). 1243 1 3 n 1 132n 11 () ( ). 1243 【方法技巧方法技巧】 1.1.错位相减法的使用范围及注意事项错位相减法的使用范围及注意事项 (1)(1)适用范围：主要适用于适用范围：主要适用于aan n 是等差数列，是等差数列，bbn n 是等
24、是等 比数列，求数列比数列，求数列aan nb bn n 的前的前n n项和项和. . (2)(2)注意事项：利用“错位相减法”时，在写出注意事项：利用“错位相减法”时，在写出S Sn n与与 qSqSn n的表达式时，应注意使两式对齐，以便于作差，正的表达式时，应注意使两式对齐，以便于作差，正 确写出确写出(1(1- -q)Sq)Sn n的表达式；利用此法时要注意讨论公的表达式；利用此法时要注意讨论公 比比q q是否等于是否等于1.1. 2.2.错位相减法进行求和的基本步骤错位相减法进行求和的基本步骤 (1)(1)在等式在等式S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+a
25、n n两边同乘以等比数列的公两边同乘以等比数列的公 比比q.q. (2)(2)两式相减：左边为两式相减：左边为(1(1- -q)Sq)Sn n，右边为，右边为q q的同次式对齐的同次式对齐 相减相减. . (3)(3)右边去掉最后一项右边去掉最后一项( (有时需要去掉第一项有时需要去掉第一项) )剩下的各剩下的各 项组成等比数列，可以采用公式求和项组成等比数列，可以采用公式求和. . 【补偿训练补偿训练】(2014(2014安徽高考安徽高考) )数列数列aan n 满足满足a a1 1=1=1， nanan+1 n+1=(n+1)a =(n+1)an n+n(n+1)+n(n+1)，nNnN*
26、 *. . (1)(1)证明：数列证明：数列 是等差数列是等差数列. . (2)(2)设设b bn n=3=3n n ，求数列，求数列bbn n 的前的前n n项和项和S Sn n. . n a n n a 【解析解析】(1)(1)由已知可得由已知可得 所以所以 是以是以1 1为首项，为首项，1 1为公差的等差数列为公差的等差数列. . n 1nn 1n aaaa 11 n 1nn 1n ， n a n (2)(2)由由(1)(1)得得 =1+(n=1+(n- -1)=n1)=n， 所以所以a an n=n=n2 2，从而，从而b bn n=n=n3 3n n， S Sn n=1=13 31
27、1+2+23 32 2+3+33 33 3+ +n+n3 3n n， 3S3Sn n=1=13 32 2+2+23 33 3+3+33 34 4+ +(n+(n- -1)1)3 3n n+n+n3 3n+1 n+1. . n a n 将以上两式联立可得将以上两式联立可得- -2S2Sn n=3=31 1+3+32 2+3+33 3+ +3+3n n- -n n3 3n+1 n+1 n n 1 n 1 n 1 n 3 1 3 1 2n33 n 3 1 32 2n 1 33 S. 4 ， 所以 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )将本题数列将本题数列aan n 满足的条件改为“
28、满足的条件改为“a a1 1+3a+3a2 2+ + 3 32 2a a3 3+ +3+3n n- -1 1a an n= = ，nNnN* *”，数列，数列bbn n 满足的条件改为满足的条件改为 “b bn n= ”= ”，其他条件不变，求，其他条件不变，求S Sn n. . n 3 n n a 【解析解析】因为因为a a1 1+3a+3a2 2+3+32 2a a3 3+ +3+3n n- -1 1a an n= = ， 所以当所以当n2n2时，时， a a1 1+3a+3a2 2+3+32 2a a3 3+ +3+3n n- -2 2a an n- -1 1= = ， - -得得3 3
29、n n- -1 1a an n= = ，所以，所以a an n= .= . 在中，令在中，令n=1n=1，得，得a a1 1= = ，适合，适合a an n= = ，所以，所以a an n= .= . 因为因为b bn n= = ，所以，所以b bn n=n=n3 3n n. . n 3 n 1 3 1 3 n 1 3 1 3 n 1 3 n 1 3 n n a 所以所以S Sn n=3+2=3+23 32 2+3+33 33 3+ +n+n3 3n n， 所以所以3S3Sn n=3=32 2+2+23 33 3+3+33 34 4+ +n+n3 3n+1 n+1. . - -得得2S2Sn
30、n=n=n3 3n+1 n+1- -(3+3 (3+32 2+3+33 3+ +3+3n n) )， 即即2S2Sn n=n=n3 3n+1 n+1- - 所以所以S Sn n= = n 3 1 3 1 3 ， n 1 2n 1 3 3 . 44 2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) ) 将数列将数列aan n 满足的条件改为“数列满足的条件改为“数列aan n 是等差数列，是等差数列， a a2 2+a+a4 4=10=10，2a2a2 2+a+a3 3=11”=11”，求数列，求数列 的前的前n n项和项和. . n n a 3 【解析解析】设等差数列设等差数列aan n 的
31、公差为的公差为d d， 由由2a2a3 3=a=a2 2+a+a4 4=10=10得得a a3 3=5=5， 又因为又因为2a2a2 2+a+a3 3=11=11，所以，所以2a2a2 2=6=6，a a2 2=3=3， 所以所以d=ad=a3 3- -a a2 2=5=5- -3=23=2， 所以所以a an n=a=a2 2+(n+(n- -2)d=3+2(n2)d=3+2(n- -2)=2n2)=2n- -1 1， 因为因为 所以所以T Tn n= = 则则 两式相减，得两式相减，得 n nn a2n 1 nN* 33 ， 2n 1n 132n32n 1 3333 ， n 23nn 1
32、1132n32n 1 T 33333 ， n 23nn 1 211112n 1 T2() 333333 2n n 1 n nn 11 1 12n 1 33 3 2 1 33 1 3 2n2n 1 T11. 2 33 ， 所以 类型三类型三 等差、等比数列的综合问题等差、等比数列的综合问题 角度角度1 1：等差、等比数列的判定问题：等差、等比数列的判定问题 【典例典例】(2015(2015娄底高二检测娄底高二检测) )已知已知S Sn n是等比数列是等比数列aan n 的前的前n n项和，且公比项和，且公比q1q1，a a2 2，a a8 8，a a5 5成等差数列，求成等差数列，求 证：证：S
33、 S3 3，S S9 9，S S6 6成等差数列成等差数列. . 【解题探究解题探究】本例中，由本例中，由a a2 2，a a8 8，a a5 5成等差数列，可得成等差数列，可得 什么等式？为证明什么等式？为证明S S3 3，S S9 9，S S6 6成等差数列需证什么等式？成等差数列需证什么等式？ 两者可用什么公式建立联系？两者可用什么公式建立联系？ 提示：提示：由由a a2 2，a a8 8，a a5 5成等差数列，可得成等差数列，可得2a2a8 8=a=a2 2+a+a5 5. .为证为证 明明S S3 3，S S9 9，S S6 6成等差数列需证成等差数列需证S S3 3+S+S6 6
34、=2S=2S9 9. .两者可用等比两者可用等比 数列的通项公式和前数列的通项公式和前n n项和公式建立联系项和公式建立联系. . 【解析解析】由由a a2 2，a a8 8，a a5 5成等差数列，可得成等差数列，可得2a2a8 8=a=a2 2+a+a5 5 2a2a1 1q q7 7=a=a1 1q+aq+a1 1q q4 4. . 又因为又因为a a1 100，所以，所以2q2q7 7=q+q=q+q4 42q2q9 9=q=q3 3+q+q6 6 (1)(1) 因为因为q1q1，所以，所以S S3 3+S+S6 6= = (2)(2) 36 11 a 1 qa 1 q 1 q1 q
35、36 1 a 2qq 1 q 把把(1)(1)式代入式代入(2)(2)式，得式，得S S3 3+S+S6 6= = 故故S S3 3，S S9 9，S S6 6成等差数列成等差数列. . 99 11 9 a2a 2 2q1 q2S . 1 q1 q 角度角度2 2：求和问题：求和问题 【典例典例】(2015(2015福建高考福建高考) )等差数列等差数列aan n 中，中，a a2 2=4=4， a a4 4+a+a7 7=15.=15. (1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. . (2)(2)设设b bn n= +n= +n，求，求b b1 1+b+b2 2+b+b3 3
36、+ +b+b10 10的值 的值. . n a2 2 【解题探究解题探究】典例中，典例中，(1)(1)求通项公式的关键是什么？求通项公式的关键是什么？ (2)(2)数列的结构特征是什么？应选择什么方法求前数列的结构特征是什么？应选择什么方法求前1010项项 的和？的和？ 提示：提示：(1)(1)关键是计算等差数列的首项和公差关键是计算等差数列的首项和公差.(2).(2)数列数列 bbn n 是由等差数列是由等差数列nn和等比数列和等比数列 相加得到的，相加得到的， 用分组求和法求前用分组求和法求前1010项的和项的和. . n a2 2 【解析解析】(1)(1)设等差数列设等差数列aan n
37、的公差为的公差为d.d. 由已知得由已知得 解得解得 所以所以a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d=n+2.1)d=n+2. 1 11 ad4 (a3d)(a6d)15 ， ， 1 a3 d1. ， (2)(2)由由(1)(1)可得可得b bn n=2=2n n+n.+n. 所以所以b b1 1+b+b2 2+b+b3 3+ +b+b10 10 =(2+1)+(2=(2+1)+(22 2+2)+(2+2)+(23 3+3)+3)+(2+(210 10+10) +10) =(2+2=(2+22 2+2+23 3+ +2+210 10)+(1+2+3+ )+(1+2+3+10)+10
38、) =(2=(211 11- -2)+55 2)+55 =2=211 11+53=2 101. +53=2 101. 10 2 1 2 1 1010 1 22 【延伸探究延伸探究】典例中数列典例中数列aan n 改为正项等比数列，其改为正项等比数列，其 满足的条件改为满足的条件改为a a1 1+a+a2 2=6=6，a a3 3+a+a4 4=24=24，求数列，求数列 的前的前n n项和项和T Tn n. . n2n alog a 【解析解析】设数列设数列aan n 的公比为的公比为q(q0).q(q0). 则则 解得：解得： 所以所以a an n=a=a1 1q qn n- -1 1=2=
39、22 2n n- -1 1=2=2n n. . 所以所以a an n+log+log2 2a an n=2=2n n+log+log2 22 2n n=2=2n n+n+n， 所以所以T Tn n=(2+2=(2+22 2+ +2+2n n)+(1+2+)+(1+2+n)+n) 11 23 11 aa q6 a qa q24 ， ， n n 12 2 21 n 1 n 11 22nn. 2 1222 1 a2 q2 ， ， 角度角度3 3：探索性问题：探索性问题 【典例典例】(2015(2015漳州高一检测漳州高一检测) )已知已知S Sn n是等比数列是等比数列aan n 的前的前n n项和
40、，项和，S S4 4，S S2 2，S S3 3成等差数列，且成等差数列，且a a2 2+a+a3 3+a+a4 4= =- -18.18. (1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. . (2)(2)是否存在正整数是否存在正整数n n，使得，使得S Sn n2 0132 013？若存在，求出？若存在，求出 符合条件的所有符合条件的所有n n的集合；若不存在，说明理由的集合；若不存在，说明理由. . 【解题探究解题探究】典例典例(1)(1)中利用什么条件建立关于首项和中利用什么条件建立关于首项和 公比的方程？典例公比的方程？典例(2)(2)解题的基本步骤是什么？解题的基本步骤是
41、什么？ 提示：提示：根据根据S S4 4，S S2 2，S S3 3成等差数列和成等差数列和a a2 2+a+a3 3+a+a4 4= =- -1818列方列方 程组计算首项和公比程组计算首项和公比. .假定存在正整数假定存在正整数n n，使得，使得S Sn n 2 0132 013，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出 矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论. . 【解析解析】(1)(1)设数列设数列aan n 的公比为的公比为q q，则，则a a1 100，q0.q0. 由题意得由题意得 即即 解得解得 故数列
42、故数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=3(=3(- -2)2)n n- -1 1. . 2432 234 SSSS aaa18 ， ， 232 111 2 1 a qa qa q a q 1 qq18 ， ， 1 a3 q2. ， (2)(2)由由(1)(1)有有S Sn n= = 若存在若存在n n，使得，使得S Sn n2 0132 013， 则则1 1- -( (- -2)2)n n2 0132 013，即，即( (- -2)2)n n- -2 012.2 012. 当当n n为偶数时，为偶数时，( (- -2)2)n n00，上式不成立；，上式不成立； 当当n n为奇
43、数时，为奇数时，( (- -2)2)n n= =- -2 2n n- -2 0122 012， 即即2 2n n2 0122 012，则，则n11.n11. n n 3 12 12. 12 综上，存在符合条件的正整数综上，存在符合条件的正整数n n，且所有这样的，且所有这样的n n的集的集 合为合为n=2k+1n=2k+1，kNkN* *，k5.k5. 【方法技巧方法技巧】 1.1.等差数列、等比数列的判断方法等差数列、等比数列的判断方法 (1)(1)定义法：定义法：a an+1 n+1- -a an n=d( =d(常数常数) )aan n 是等差数列；是等差数列； (q(q为常数，为常数，
44、q0)q0)aan n 是等比数列是等比数列. . (2)(2)中项公式法：中项公式法：2a2an+1 n+1=a =an n+a+an+2 n+2 aan n 是等差数列；是等差数列； a an+1 n+12 2=a =an naan+2 n+2(a (an n0)0)aan n 是等比数列是等比数列. . n 1 n a q a 2.2.分组求和分组求和 当一个数列本身既不是等差数列也不是等比数列，但当一个数列本身既不是等差数列也不是等比数列，但 此数列的项可分成二项此数列的项可分成二项( (或多项或多项) )，而这两项，而这两项( (或多项或多项) ) 往往是常数或是等差往往是常数或是等差( (比比) )数列，进而利用等差数列或数列，进而利用等差数列或 等比数列
