1、3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 第三章 3.1 变化率与导数 1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 函数的变化率 定义 实例 平均 变化率 函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为 ，简记作： 平均速度； 曲线割线的斜率 瞬时 变化率 函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 函数f(x)从x0到x0x的平均变化率在 x0时的极限，即 瞬时速度：物体在某一 时刻的速度； 切线斜率 fx2fx1
2、 x2x1 y x lim x0 fx0xfx0 x lim x0 y x 知识点二 函数 f(x)在 xx0处的导数 函数 yf(x)在 xx0处的 lim x0 y xlim x0 fx0xfx0 x 称为 函数 yf(x)在 xx0处的导数， 记作 ， 即 f(x0)lim x0 y x lim x0 fx0xfx0 x . 瞬时变化率 f(x0)或y| 答案 返回 0 x x 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 平均变化率 例1 已知函数h(x)4.9x26.5x10. (1)计算从x1到x1x的平均变化率，其中x的值为2；1； 0.1；0.01. 解 yh(1x)h(1)4.9(x
3、)23.3x， y x4.9x3.3. 当 x2 时，y x4.9x3.313.1； 当 x1 时，y x4.9x3.38.2； 当 x0.1 时，y x4.9x3.33.79； 当 x0.01 时，y x4.9x3.33.349. 解析答案 (2)根据(1)中的计算，当x越来越小时，函数h(x)在区间1,1x 上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 当x越来越小时， 函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率逐渐变大， 并接近于3.3. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 求函数f(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率， 并求当x02，x0.1时平均变化率的值. 解 函数f(x)3x22在
4、区间x0，x0x上的平均变化率为 fx0xfx0 x0xx0 3x 0x 223x2 02 x 6x 0x3x 2 x 6x03x. 当x02，x0.1时， 函数y3x22在区间2,2.1上的平均变化率为6230.112.3. 解析答案 题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s2t23(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t2 s时的瞬时速度. 解 设在t2 s附近的时间增量为t， 则位移的增量s2(2t)23(2223)8t2(t)2. 因为s t82t，lim t0 s tlim t0 (82t)8， 所以这辆汽车在t2 s时的瞬时速度为8 m/s. 反思与
5、感悟 解析答案 跟踪训练2 一质点按规律s(t)at21作直线运动(位移单位：m，时间 单位：s)，若该质点在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 解 ss(2t)s(2) a(2t)21a 221 4ata(t)2， s t4aat. 在 t2 s 时，瞬时速度为lim t0 s t4a，即 4a8，a2. 解析答案 题型三 函数在某点处的导数 例3 求函数f(x)3x22x在x1处的导数. 解 y3(1x)22(1x)(31221) 3(x)24x， 反思与感悟 y x 3x24x x 3x4， y|x1lim x0 y xlim x0 (3x4)4. 解析答案 跟踪训练3 利
6、用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数. 解 由导数的定义知， 函数在x2处的导数f(2)lim x0 f2xf2 x ， 而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x， 于是 f(2)lim x0 x2x x lim x0 (x1)1. 解析答案 返回 例4 一辆汽车按s3t21做直线运动，求这辆车在t3 s时的瞬时速度. (位移单位：m，时间单位：s) 一题多解 瞬时速度的求解 点评 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.如果质点M按规律s3t2运动，则在时间段2,2.1中相应的平均 速度是( ) A.4 B.4.1 C.0.41 D.3 解析 v32.1
7、 2322 0.1 4.1. B 1 2 3 4 5 2.函数 f(x)在 x0处可导，则lim h0 fx0hfx0 h ( ) A.与 x0、h 都有关 B.仅与 x0有关，而与 h 无关 C.仅与 h 有关，而与 x0无关 D.与 x0、h 均无关 B 答案 1 2 3 4 5 3.若质点A按照规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为( ) A.6 B.18 C.54 D.81 解析答案 解析 因为s t 33t2332 t 18t3t 2 t 183t， 所以lim t0 s t18. B 解析答案 1 2 3 4 5 4.若一物体的运动方程为s7t28，则其在t_时的瞬时速度为1. 解析 s t 7tt287t28 t 7t14t， 当lim t0 (7t14t)14t1 时，t 1 14. 1 14 解析答案 1 2 3 4 5 5.已知函数 f(x) 1 x，则 f(1)_. 解析 f(1)lim x0 f1xf1 x lim x0 1 1x1 x lim x0 1 1x11x 1 2. 1 2 课堂小结 返回 利用导数定义求导数三步曲： (1)作差求函数的增量 yf(x0x)f(x0)； (2)作比求平均变化率y x fx0xfx0 x ； (3)取极限得导数 f(x0)lim x0 y x. 简记为一差，二比，三极限.
