1、 全等三角形 【思维入门】 1已知A1B1C1与A2B2C2的周长相等，现有两个判断： 若 A1B1A2B2，A1C1A2C2，则A1B1C1A2B2C2； 若A1A2，B1B2，则A1B1C1A2B2C2.对于上述的两个判断，下列说法正确的是 ( ) A正确错误 B错误正确 C都错误 D都正确 2如图 121，点 B，E，C，F 在一条直线上，ABDE，ABDE，BECF，AC6，则 DF _ 图 121 3如图 122，BCEC，12，添加一个适当的条件使ABCDEC，则需添加的条件是 _(不添加任何辅助线) 图 122 4如图 123，已知ABC 中，ABAC，点 D，E 在 BC 上，
2、要使ABDACE，则只需添加 一个适当的条件：_(只填一个即可) 图 123 5如图 124，已知BC，添加一个条件使ABDACE(不标注新的字母，不添加新的线 段)，你添加的条件是_(只填一个即可) 图 124 6如图 125，点 B 在线段 AD 上，BCDE，ABED，BCDB，求证：AE. 图 125 【思维拓展】 7如图 126，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，若连结 AC，BD，相交于点 O，则图中 全等三角形共有 ( ) 图 126 A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 8如图 127，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合将ACB 绕点 C 按顺 时针方
3、向旋转到ACB 的位置，其中 AC 交 AD 于点 E，AB分别交 AD，AC 于点 F，G，则 在图 127中，全等三角形共有 ( ) A5 对 B4 对 C3 对 D2 对 图 127 9如图 128，ABC 与CDE 均是等腰直角三角形，ACBDCE90，D 在 AB 上，连 结 BE.请找出一对全等三角形，并说明理由 图 128 10【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”) 后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在AB
4、C 和DEF 中，ACDF，BCEF，BE，然 后，对B 进行分类，可以分为“B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究 【深入探究】 第一种情况：当B 为直角时，ABCDEF. (1)如图 129，在ABC 和DEF 中，ACDF，BCEF，BE90，根据_，可 以知道 RtABCRtDEF. 图 129 第二种情况：当B 为钝角时，ABCDEF. (2)如图 129，在ABC 和DEF 中，ACDF，BCEF，BE，且B，E 都是钝 角，求证：ABCDEF. 图 129 第三种情况：当B 为锐角时，ABC 和DEF 不一定全等 (3)在ABC 和DEF 中，ACDF，BCEF，BE，且B，E
5、 都是锐角，请你用尺规在 图中作出DEF，DEF 和ABC 不全等(不写作法，保留作图痕迹) 图 129 (4)B 还要满足什么条件，就可以使得ABCDEF.请直接填写结论： 在ABC 和DEF 中，ACDF，BCEF，BE，且B，E 都是锐角，若_，则 ABCDEF. 【思维升华】 11 如图 1210，已知ABC 的面积为 24，将ABC 沿 BC 的方向平移到ABC的位置，使 B 和 C 重合，连结 AC，交 AC 于 D，则CDC 的面积为( ) A4 B6 C8 D12 12一个三角形的三条边的长分别是 3，5，7，另一个三角形的三 条边的长分别是 3，3x2，2x1.若这两个三角形
6、全等，则 x 的值是_ 图 1210 13如图 1211，已知 ABAC，BACCDE90，DCDE，F 是 BE 的中点，求证：FA FD. 图 1211 第 2 讲 全等三角形 【思维入门】 1已知A1B1C1与A2B2C2的周长相等，现有两个判断： 若 A1B1A2B2，A1C1A2C2，则A1B1C1A2B2C2； 若A1A2，B1B2，则A1B1C1A2B2C2.对于上述的两个判断，下列说法正确的是 ( D ) A正确错误 B错误正确 C都错误 D都正确 2如图 121，点 B，E，C，F 在一条直线上，ABDE，ABDE，BECF，AC6，则 DF _6_ 图 121 3如图 12
7、2，BCEC，12，添加一个适当的条件使ABCDEC，则需添加的条件是 _BE(AD 或 ACDC，答案不唯一)_(不添加任何辅助线) 图 122 4如图 123，已知ABC 中，ABAC，点 D，E 在 BC 上，要使ABDACE，则只需添加 一个适当的条件： _BDCE 或BADCAE 或ADBAEC， 答案不唯一_(只填一个即可) 图 123 5如图 124，已知BC，添加一个条件使ABDACE(不标注新的字母，不添加新的线 段)， 你添加的条件是_ABAC 或 ADAE 或 BDCE 或 BECD， 答案不唯一_(只填一个即可) 图 124 6如图 125，点 B 在线段 AD 上，B
8、CDE，ABED，BCDB，求证：AE. 图 125 证明：DEBC，ABCBDE. 又ABDE，BCDB， ABCEDB(SAS)AE. 【思维拓展】 7如图 126，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，若连结 AC，BD，相交于点 O，则图中 全等三角形共有 ( C ) 图 126 A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 8如图 127，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合将ACB 绕点 C 按顺 时针方向旋转到ACB 的位置，其中 AC 交 AD 于点 E，AB分别交 AD，AC 于点 F，G，则 在图 127中，全等三角形共有 ( B ) A5 对 B4 对 C3
9、对 D2 对 图 127 9如图 128，ABC 与CDE 均是等腰直角三角形，ACBDCE90，D 在 AB 上，连 结 BE.请找出一对全等三角形，并说明理由 图 128 解：ACDBCE，理由如下： ACBDCE90 ， ACBDCBDCEDCB， 即ACDBCE. 又ACBC，CDCE， ACDBCE(SAS) 10【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”) 后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC 和DEF 中，
10、ACDF，BCEF，BE，然 后，对B 进行分类，可以分为“B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究 【深入探究】 第一种情况：当B 为直角时，ABCDEF. (1)如图 129，在ABC 和DEF 中，ACDF，BCEF，BE90，根据_HL_， 可以知道 RtABCRtDEF. 图 129 第二种情况：当B 为钝角时，ABCDEF. (2)如图 129，在ABC 和DEF 中，ACDF，BCEF，BE，且B，E 都是钝 角，求证：ABCDEF. 图 129 第三种情况：当B 为锐角时，ABC 和DEF 不一定全等 (3)在ABC 和DEF 中，ACDF，BCEF，BE，且B，E 都是锐角，
11、请你用尺规在 图中作出DEF，DEF 和ABC 不全等(不写作法，保留作图痕迹) 图 129 (4)B 还要满足什么条件，就可以使得ABCDEF.请直接填写结论： 在ABC 和DEF 中，ACDF，BCEF，BE，且B，E 都是锐角，若_BA_， 则ABCDEF. 解：(1)HL； (2)证明：如答图，过点 C 作 CGAB，交 AB 的延长线于 G，过点 F 作 FHDE，交 DE 的延 长线于 H， ABCDEF，且ABC，DEF 都是钝角， 180ABC180DEF，即CBGFEH， 在CBG 和FEH 中， CBGFEH， GH90， BCEF， CBGFEH(AAS)，CGFH， 在
12、 RtACG 和 RtDFH 中， ACDF， CGFH， RtACGRtDFH(HL)， AD， 在ABC 和DEF 中， AD， ABCDEF， ACDF， ABCDEF(AAS)； 第 10 题答图 (3)如答图，DEF 和ABC 不全等； 第 10 题答图 (4)BA. 【思维升华】 11 如图 1210，已知ABC 的面积为 24，将ABC沿 BC 的 方向平移到ABC的位置，使 B和 C 重合，连结 AC，交 AC 于 D，则CDC 的面积为( D ) A4 B6 C8 D12 【解析】 ABAB，且 BCCC， D 为 AB的中点，又BCCC， SCDC1 2SABC 1 224
13、12. 12一个三角形的三条边的长分别是 3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是 3，3x2，2x1. 若这两个三角形全等，则 x 的值是_3_ 【解析】 两个三角形全等， 当 3x25 时，x7 3， 把 x7 3代入 2x1 中，2x17， 3x2 与 5 不是对应边， 当 3x27 时，x3， 把 x3 代入 2x1 中，2x15. x 的值为 3. 13如图 1211，已知 ABAC，BACCDE90，DCDE，F 是 BE 的中点，求证：FA FD. 图 1211 证明：如答图，连结 AF，DF，并延长 AF 至 G，使 FGAF. 图 1210 第 13 题答图 连结 DG，EG. 在AFB 和GFE 中， BFEF， AFBGFE， FGFA， AFBGFE. ABGE，BFEG. 四边形 ABED，且BACCDE90， BFEDCADCDA180， 又CCADCDA180. CBFEDFEGFEDGED. 又GEABAC，CDED， ACDGED. ADGD，ADCGDE. 又CDEGDEGDCADCGDCADG90，AFFG， FAFD.
