1、第六章数列第一节数列的概念与简单表示法(全国卷5年3考)【知识梳理知识梳理】1.1.数列的有关概念数列的有关概念(1)(1)数列的定义数列的定义:按照按照一定一定_排列的一列数排列的一列数,称为数列称为数列.(2)(2)数列的项数列的项:数列中的每一项叫做数列的项数列中的每一项叫做数列的项.(3)(3)数列的表示法数列的表示法:_.:_.顺序顺序列表法、图象法、解析法列表法、图象法、解析法2.2.数列的分类数列的分类分类原则分类原则类型类型满足条件满足条件按项数分按项数分类类有穷数列有穷数列项数项数_无穷数列无穷数列项数项数_有限有限无限无限分类原则分类原则类型类型满足条件满足条件按项与项间按
2、项与项间的大小关系的大小关系分类分类递增数列递增数列a an+1n+1_a_an n其中其中nNnN*递减数列递减数列a an+1n+1_a_an n常数列常数列a an+1n+1=a=an n摆动数列摆动数列从第从第2 2项起项起,有些项大于有些项大于它的前一项它的前一项,有些项小有些项小于它的前一项的数列于它的前一项的数列 3.3.两种给出数列的方法两种给出数列的方法(1)(1)通项公式通项公式:如果数列如果数列aan n 的第的第n n项与项与_之间的关之间的关系可以用一个式子来表示系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列那么这个公式叫做这个数列的通项公式的通项公式.序号序号n
3、n(2)(2)递推公式递推公式:如果已知数列如果已知数列aan n 的第的第1 1项项(或前几项或前几项),),且从第二项且从第二项(或某一项或某一项)开始的任一项与它的前一项开始的任一项与它的前一项(或或前几项前几项)间的关系可以用一个公式来表示间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公那么这个公式就叫做这个数列的递推公式式就叫做这个数列的递推公式.【常用结论常用结论】1.1.数列中数列中a an n与与S Sn n的关系的关系已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n,则则 2.2.数列中最大数列中最大(小小)项满足的条件项满足的条件在数列在数列aan n 中中,若若a
4、an n最大最大,则则 若若a an n最小最小,则则 1nnn 1S(n1),aSS(n2).nn 1nn 1aaaa，；nn 1nn 1aaaa.，【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”.)”.)(1)(1)所有数列的第所有数列的第n n项都可以用公式表示出来项都可以用公式表示出来.()(2)(2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个一个.()(3)(3)任何一个数列不是递增数列任何一个数列不是递增数列,就是递减数列就是递减数列.(.()(4)(4)如
5、果数列如果数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则对于任意则对于任意nNnN*,都都有有a an+1n+1=S=Sn+1n+1-S-Sn n.()答案答案:(1)(1).因为数列是按一定顺序排列的一列数因为数列是按一定顺序排列的一列数,如如我班某次数学测试成绩我班某次数学测试成绩,按考号从小到大的顺序排列按考号从小到大的顺序排列,这个数列肯定没有通项公式这个数列肯定没有通项公式,所以所以(1)(1)错误错误.(2).(2).比如数列比如数列1,0,1,0,1,0,1,0,的通项公式为的通项公式为:a:an n=或或a an n=或或a an n=,=,所以所以(2)(2)正确
6、正确.n|sin|2(n1)|cos|2n1(1)2(3)(3).因为数列有递增数列、递减数列、常数列、摆因为数列有递增数列、递减数列、常数列、摆动数列动数列,所以所以(3)(3)错误错误.(4).(4).由数列前由数列前n n项和的定义可知项和的定义可知,当当nNnN*,都有都有a an+1n+1=S=Sn+1n+1-S-Sn n,所以所以(4)(4)正确正确.2.2.已知数列已知数列aan n:,:,则数列的一则数列的一个通项公式为个通项公式为_._.1111,1 2 2 33 4 4 5【解析解析】这个数列的前这个数列的前4 4项的绝对值都等于序号与序号项的绝对值都等于序号与序号加加1
7、1的积的倒数的积的倒数,且奇数项为负且奇数项为负,偶数项为正偶数项为正,所以它的所以它的一个通项公式一个通项公式a an n=(-1)=(-1)n n 答案答案:a an n=(-1)=(-1)n n 1.n(n1)1n(n1)3.3.已知数列的通项为已知数列的通项为a an n=(nN=(nN*),),则数列则数列aan n 的的最小项是第最小项是第_项项.n13n16【解析解析】因为因为a an n=,=,数列数列aan n 的最小项必为的最小项必为a an n0,0,即即 0,3n-160,0,3n-160,从而从而n ,n0,0,所以所以tatan n+3+3恒成立恒成立,t(at(a
8、n n+3)+3)minmin=a=a1 1+3=3,+3=3,所以所以t tmaxmax=3.=3.2na【状元笔记状元笔记】在涉及参数的最值问题时在涉及参数的最值问题时,常常与已知数列的单调性有常常与已知数列的单调性有关关,因此解决这类问题因此解决这类问题,需要先判断该数列的单调性需要先判断该数列的单调性.命题角度命题角度2 2数列的周期性问题数列的周期性问题【典例典例】(2018(2018黄冈模拟黄冈模拟)已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=,=,a an+1n+1=,=,则则a a2 0182 018=世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.-2A.-2B.B.C.-C.-D.
9、3D.312nn1a1a1213【解析解析】选选D.D.因为因为a a1 1=,=,所以所以a a2 2=3,=3,a a3 3=-2,a=-2,a4 4=-,a=-,a5 5=,=,所以数列所以数列aan n 是周期数列且周期是周期数列且周期T=4,T=4,所以所以a a2 0182 018=a=a2 2=3.=3.12111a1a221a1a331a1a13441a1a12【状元笔记状元笔记】在求数列中某一项的值在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时特别是该项的序号较大时,应应该考虑该数列是否具有周期性该考虑该数列是否具有周期性,利用周期性即可求出该利用周期性即可求出该数列中的某一项
10、数列中的某一项.命题角度命题角度3 3数列中的最值问题数列中的最值问题【典例典例】数列数列aan n 的通项为的通项为a an n=(nN=(nN*),),若若a a5 5是是aan n 中的最大值中的最大值,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号n221n4n(a 1)nn5，【解析解析】当当n4n4时时,a,an n=2=2n n-1-1单调递增单调递增,因此因此n=4n=4时取最时取最大值大值,a,a4 4=2=24 4-1=15.-1=15.当当n5n5时时,a,an n=-n=-n2 2+(a-1)n+(a-1)n22a 1(a 1)(n).24 因为
11、因为a a5 5是是aan n 中的最大值中的最大值,所以所以 解得解得9a12.9a12.所以所以a a的取值范围是的取值范围是9,12.9,12.答案答案:9,129,12a 15.52255(a 1)15，【状元笔记状元笔记】解决数列的最值问题解决数列的最值问题,经常将数列看作某个函数经常将数列看作某个函数,利用利用函数的最值来求数列的最值函数的最值来求数列的最值.【对点练对点练找规律找规律】1.1.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1,a=1,an+1n+1=-2a=-2an n+1(nN+1(nN*),),则则a a2 0202 020等于等于()A.1A.1B.0B
12、.0C.2 017C.2 017D.-2 017D.-2 0172na【解析解析】选选B.B.因为因为a a1 1=1,=1,所以所以a a2 2=(a=(a1 1-1)-1)2 2=0,a=0,a3 3=(a=(a2 2-1)-1)2 2=1,a=1,a4 4=(a=(a3 3-1)-1)2 2=0,=0,可知数列可知数列aan n 是以是以2 2为周期的数列为周期的数列,所以所以a a2 0202 020=a=a2 2=0.=0.2.2.已知数列已知数列aan n 中中,a,an n=1+(nN=1+(nN*,aR,aR且且a0).a0).(1)(1)若若a=-7,a=-7,求数列求数列a
13、an n 中的最大项和最小项的值中的最大项和最小项的值.(2)(2)若对任意的若对任意的nNnN*,都有都有a an naa6 6成立成立,求求a a的取值范围的取值范围.1a2(n 1)【解析解析】(1)(1)因为因为a an n=1+(nN=1+(nN*,aR,aR且且a0),a0),又又a=-7,a=-7,所以所以a an n=1+(nN=1+(nN*).).结合函数结合函数f(x)=1+f(x)=1+的单调性的单调性,可知可知1a1a1 1aa2 2aa3 3aa4 4,1a2(n 1)12n912x9a a5 5aa6 6aa7 7 aan n1(nN1(nN*).).所以数列所以数
14、列aan n 中的最大项为中的最大项为a a5 5=2,=2,最小项为最小项为a a4 4=0.=0.(2)a(2)an n=1+=1+,=1+=1+,已知对任意的已知对任意的nNnN*,都有都有a an naa6 6成立成立,结合函数结合函数f(x)=1+f(x)=1+的单调性的单调性,可知可知5 6,5 6,即即-10a-8.-10a0,0,故故(n+1)a(n+1)an+1n+1-na-nan n=0,=0,即即 故故2n 1a2nan 1nan,an13212 aa12a2 a3，把以上各式分别相乘得把以上各式分别相乘得 ,即即a an n=.=.答案答案:43a3a4，nn 1an1
15、an，n1a1an1n1n【技法点拨技法点拨】两种常见递推数列及解法两种常见递推数列及解法(1)a(1)an+1n+1=pa=pan n+q(p0,1,q0)+q(p0,1,q0)的求解方法是的求解方法是:设设a an+1n+1+=p(a=p(an n+),+),即即a an+1n+1=pa=pan n+p-,+p-,与与a an+1n+1=pa=pan n+q+q比较即可比较即可知只要知只要=.=.qp 1(2)a(2)an+1n+1=pa=pan n+qp+qpn+1n+1(p0,1,q0)(p0,1,q0)的求解方法是两端的求解方法是两端同时除以同时除以p pn+1n+1,即得即得 =q
16、,=q,数列数列 为等差数列为等差数列.提醒提醒 :对于有些递推公式要注意参数的限制条件对于有些递推公式要注意参数的限制条件.n 1nn 1naappnnap【即时训练即时训练】已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=-2,=-2,且且a an+1n+1=3a=3an n+6,+6,则则a an n=_.=_.【解析解析】由由a an+1n+1=3a=3an n+6+6可得可得:a:an+1n+1+3=3 ,+3=3 ,所以所以 是以是以1 1为首项为首项,3,3为公比的等比数列为公比的等比数列,所以所以a an n+3=3+3=3n-1n-1,故故a an n=3 3n-1n-1-3.-3.答案答案:3 3n-1n-1-3-3n(a3)na3
