1、高三年级（数学） 第1页（共 4 页） 北京市延庆区高三模拟考试试卷 数学 2020. 3 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试 卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。 第一部分（选择题，共第一部分（选择题，共 40 分）分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 （1）已知复数 2i 2izaa=是正实数，则实数a的值为 （A）0 （B）1 （C）1 （D）1 （2）已知向量(1,
2、)ak= r ，( ,2)bk= r ，若a r 与b r 方向相同，则k等于 （A）1 （B）2 （C）2 （D）2 （3）下列函数中最小正周期为的函数是 （A）sinyx= （B） 1 cos 2 yx= （C）tan2yx= （D）|sin|yx= （4）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是 （A） 1 y x = （B）tanyx= （C） ee xx y = （D） 2,0 2,0 xx y xx + = （5）某四棱锥的三视图所示，已知 该四棱锥的体积为 4 3 3 ，则它的表 面积为 （A）8 （B）12 （C）44 3+ （D）20 （6） 25 1 (2)x x +
3、的展开式中， 4 x的系数是 （A）160 （B）80 （C）50 （D）10 1 1 正（主）视图 1 1 侧（左）视图 俯视图 高三年级（数学） 第2页（共 4 页） （7）在平面直角坐标系xOy中，将点(1,2)A绕原点O逆时针旋转90到点B，设直线 OB与x轴正半轴所成的最小正角为，则cos等于 （A） 2 5 5 （B） 5 5 （C） 5 5 （D） 2 5 （8） 已知直线, a b， 平面, ，b=I，/ /a，ab， 那么 “a” 是 “” 的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9） 某企业生产,A B两种型号的产品
4、，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩 大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B两种产品的 年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会 超过B产品的年产量（取lg20.3010=） （A）6 年 （B）7年 （C）8年 （D）9年 （10） 已知双曲线 22 :1 169 xy C= 的右焦点为F， 过原点O的直线与双曲线C交于 ,A B两 点，且60AFB=，则BOF的面积为 （A）3 3 2 （B）9 3 2 （C）3 2 （D） 9 2 第二部分第二部分（非选择非选择题，共题，共 110 分分） 二二、填空题共、填空题共 5
5、 小题小题，每小题，每小题 5 分分，共，共 25 分分。 （11）已知集合 |1 k Mx x = ，且3M ，则k的取值范围是 （12）经过点( 2,0)M 且与圆 22 1xy+=相切的直线l的方程是 （13）已知函数 22 ( )sinsin2cosf xxxx=+，则() 12 f = （14） 某网店统计连续三天出售商品的种类情况： 第一天售出19种商品， 第二天售出13 种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商 高三年级（数学） 第3页（共 4 页） 品有4种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天 售出的商品至少有 种. （15）
6、在ABC中，10AB =，D是BC边的中点. 若6AC =，60A =， 则AD 的长等于 ；若45CAD=，6 2AC =，则ABC的面积等于 . 三三、解答题解答题共共 6 小题小题，共，共 85 分分。解答。解答应应写出文字说明，写出文字说明，演演算算步骤步骤或证明过程。或证明过程。 （16） （本小题 14 分） 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，4AB =， PDPC，O是CD的中点，PO 平面ABCD，E是棱PC 上的一点，/ /PA平面BDE. （）求证：E是PC的中点； （）求证：PD和BE所成角等于90. （17） （本小题 14 分） 已知数列 n a是等差数列
7、， n S是 n a的前 n 项和， 10 16a=， . （）判断 2024 是否是数列 n a中的项，并说明理由； （）求 n S的最值. 从 8 10a =， 8 8a =， 8 20a =中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 （18） （本小题 14 分） A，B，C 三个班共有 120 名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部 分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时） ： A 班 12 13 13 18 20 21 B 班 11 11.5 12 13 13 17.5 20 C 班 11 13.5 15 16 16.5
8、 19 21 （）试估计 A 班的学生人数； O E D A C B P 高三年级（数学） 第4页（共 4 页） （） 从这120名学生中任选1名学生， 估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率； （）从 A 班抽出的 6 名学生中随机选取 2 人，从 B 班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人，求这 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时的概率. （19） （本小题 14 分） 已知函数 2 2 21 ( ) 1 axa f x x + = + ，其中0a . （）当1a =时，求曲线( )yf x=在原点处的切线方程； （）若函数( )f x在0,)+上存在最大值和最小值，求a
9、的取值范围. （20） （本小题 15 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Gab ab +=的左焦点为(2,0)F ，且经过点(2,1)C ， ,A B分别是G的右顶点和上顶点，过原点的直线 与G交于,P Q两点（点在第 一象限） ，且与线段交于点. （）求椭圆G的标准方程； （）若3PQ =，求直线 的方程； （）若的面积是的面积的4倍，求直线 的方程. （21） （本小题 14 分） 在数列 n a中，若 * n a N，且 1 , , 2 3, n n n nn a a a aa + = + 是偶数 是奇数 （1,2,3,n =L） ，则称 n a为 “J 数列”.设 n a
10、为“J 数列” ，记 n a的前n项和为 n S. （）若 1 10a =，求 3n S的值； （）若 3 17S =，求 1 a的值； （）证明： n a中总有一项为1或3. OlQ ABM l BOPBMQl 高三年级（数学） 第5页（共 4 页） 延庆区延庆区 2019-2020 学年度高三数学试卷评分参考学年度高三数学试卷评分参考 一、选择题一、选择题: （每小题每小题 4 分，共分，共 10 小题，共小题，共 40 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的） 1. C 2D 3D 4C 5. B 6B 7A 8.
11、C 9. B 10. A 二二、填空填空题题: （每小题每小题 5 分，共分，共 5 小题，共小题，共 25 分分） 11(,3)； 12. 3 (2) 3 yx= +； 13 13 2 ； 1416,29； 157,42. 10. 考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率渐近线、离心率） ，） ， 平行四边形的定义和性质（相邻内角互补） ，平行四边形的定义和性质（相邻内角互补） ， 三角形的性质（余弦定理、面积公式）三角形的性质（余弦定理、面积公式）. 正切两角和公式正切两角和公式 15. 在ACD中， sin2sin45 ACCD = ，在
12、 ABD中， sin1sin3 ABBD = ， 相除得：相除得： 3 sin3 5 =， 所以 7 2 sinsin(453) 10 A=+= ， 所以 1 sin42 2 ABC SAB ACA = . 三、解答题： （三、解答题： （共共 6 小题，共小题，共 85 分分. 解答应写出文字说明、演算步骤解答应写出文字说明、演算步骤.） 16.（）联结AC，设AC与BD交于F，联结EF， 1 分 因为 / /PA平面BDE， 平面PACI平面BDE=EF, 所以 / /PAEF 4 分 因为 ABCD是正方形， 所以 F是AC的中点 所以 E是PC的中点 6 分 （） （法一）因为 PO
13、平面ABCD， E D A C B P F O x A F1 F y B A D C B 1 3 2 高三年级（数学） 第6页（共 4 页） 所以 POBC 7 分 因为 ABCD是正方形， 所以 BCCD 因为 PO CDO=I 所以 BC 平面PDC 10 分 所以 BCPD 因为 PDPC 因为 BCPCC=I 所以 PD 平面PBC 13 分 因为 BE 平面PBC 所以 PDBE 所以 PD与BE成90角. 14 分 （法二）连接OF， 因为 PO 平面ABCD， 所以 PO CD， PO OF. 7 分 因为 ABCD是正方形， 所以 OFCD. 所以 ,OF OC OP两两垂直.
14、 以,OF OC OP分别为x、y、z建立空间直角坐标系Oxyz.8 分 则(0,0,2)P，(0, 2,0)D，(4,2,0)B，(0,1,1)E， 9 分 (0, 2, 2)PD = uuu v ，( 4, 1,1)BE = uuu v , 10 分 0 ( 4)( 2) ( 1)( 2) 1PD BE= + + uuu v uuu v （1 分） 0= 13 分 所以所以 PD与BE成90角. 14 分 17. 解：选 （）因为 108 16,10aa=， 所以3d = 2 分 所以 18 7102111aad= 4 分 所以 1 (1)11 (1) 3 n aandn=+= + 高三年
15、级（数学） 第7页（共 4 页） 314n= 6 分 令 3142024n=，则32038n = 此方程无正整数解 所以2024不是数列 n a中的项. 8 分 不能只看结果； 某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半； 只有结果，正确给 1 分. （） （法一）令0 n a ， 即 3140n，解得： 142 4 33 n = 当5n 时，0, n a 当4n 时，0, n a 11 分 当4n =时， n S的最小值为 4 11 85226S = = .13 分 n S无最大值 14 分 只给出最小值-26，未说明 n=4 扣 1 分. n S无最大值 1 分 （） （法
16、二） 2 1 ()325 222 n n n aa Snn + =， 251 4 266 b a = 11 分 当4n =时， n S的最小值为 4 325 16426 22 S = .13 分 n S无最大值 14 分 选 （） 108 16,8aa=Q， 4d= 2 分 18 782820aad= 4 分 1 (1)20(1)4 n aandn=+= + 424n= 6 分 令 4242024n=，则42048n = 高三年级（数学） 第8页（共 4 页） 解得512n = 2024是数列 n a中的第 512 项. 8 分 （）令0 n a ， 即 4240n，解得：6n 当6n =时，
17、0, n a = 当6n 时，0, n a 当6n 时，0, n a 11 分 当5n =或6n =时， n S的最小值为 56 20 16 12 8 460SS= =. 13 分 n S无最大值 14 分 选 （） 108 16,20aa=Q， 2d= 2 分 18 7201434aad=+= 4 分 1 (1)34(1)( 2) n aandn=+=+ 236n= + 6 分 令 2362024n+=，则994n = （舍去） 2024不是数列 n a中的项. 8 分 （在 1, a d的基础上利用单调性作出正确判定给满分） （）令0 n a ， 即 2360n+，解得：18n 当18n
18、=时，0, n a = 当18n 时，0, n a 当18n 时，0, n a 11 分 当17n =或18n =时， n S的最大值为 高三年级（数学） 第9页（共 4 页） 1718 18 (340) 306 2 SS + =. 13 分 n S无最小值. 14 分 18 （本小题满分 14 分） 解： （）由题意知，抽出的 20 名学生中，来自A班的学生有6名根据分层抽样 方法，A班的学生人数估计为 6 12036 20 = 3 分 只有结果 36 扣 1 分 （）设从选出的 20 名学生中任选 1 人，共有 20 种选法，4 分 设此人一周上网时长超过 15 小时为事件 D, 其中 D
19、 包含的选法有 3+2+4=9 种， 6 分 9 () 20 P D=. 7 分 由此估计从 120 名学生中任选 1 名，该生一周上网时长超过 15 小时的 概率为 9 20 . 8 分 只有结果 9 20 而无必要的文字说明和运算步骤，扣 2 分. （）设从A班抽出的 6 名学生中随机选取 2 人，其中恰有(12)ii 人一周上 网超过 15 小时为事件 i E,从B班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人，此人一周上网超 过 15 小时为事件F 则所求事件的概率为： 21111 35332 21 21 67 15 1811 () 15 735 C CC C C P E FE F C C +
20、 = U. 14 分 （）另解：从 A 班的 6 人中随机选 2 人，有 2 6 C种选法，从 B 班的 7 人中随机选 1 人，有 1 7 C种选法， 故选法总数为： 21 67 15 7105CC=种 10 分 设事件“此 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时”为E， 则E中包含以下情况： （1）从 A 班选出的 2 人超 15 小时，而 B 班选出的 1 人不超 15 小时， 高三年级（数学） 第10页（共 4 页） （2）从 A 班选出的 2 人中恰有 1 人超 15 小时，而 B 班选出的 1 人 超 15 小时， 11 分 所以 21111 35332 21 67 15
21、 1811 ( ) 15 735 C CC C C P E C C + = . 14 分 只有 21111 35332 21 67 15 1811 ( ) 15 735 C CC C C P E C C + = ，而无文字说明，扣 1 分 有设或答，有 11 ( ) 35 P E =，给 3 分 19 （本小题满分 14 分） （）解： 22 2 ) 1( )1 (2 )(1 + = x x xfa时，当. 切线的斜率2)0(= fk； 0)0(=f 曲线)(xfy =在原点处的切线方程为：xy2=. 5 分 （） 22 22 ) 1( 2) 12() 1(2 )( + + = x xaaxx
22、a xf 2 2222 222221 () (1)(1) axaxaaxxa xx + = + （）（） 7 分 （1）当时，0a0 1 00)( 21 = a xaxxf； 则的变化情况如下表：随、xxfxf)()( ）上单调递减，）上单调递增，在（在（+, 11 , 0)( aa xf 9 分 x 0 （0， a 1 ） a 1 （+， a 1 ） )(x f + 0 )(xf 1 2 a 递增 ) 1 ( a f 递减 法法 1： 2 ) 1 ()(a a fxf=的最大值为 10 分 ,1)0()(0)( 2 恒成立）时，（存在最小值，则若=+afxfxxf 高三年级（数学） 第11页
23、（共 4 页） 1 1 12 2 2 2 + + a x aax 即： xa a xaax 1 2 1 12 2 22 ）（在), 0( +x恒成立， 0 2 1 2 a a . 1001, 0 2 aaa， 13 分 所以a的取值范围为 1 , 0(. 14 分 法法 2： 2 ) 1 ()(a a fxf=的最大值为； 10 分 当 1 x a 时，22ax ， 22 2110axaa+ + ， 0)(,+xfx时； 即 1 , 0 a x时， 22 ( )1,f xaa； ) 1 +， a x时， 2 ( )0f xa （ ， 01)0()( 2 = afxf存在最小值，则若， 10a
24、所以a的取值范围为 1 , 0(. 14 分 用趋近说：0)(,+xfx时，论述不严谨，扣 1 分. （2）当时，0a0 1 00)( 21 = a xaxxf；. 则的变化情况如下表：随、xxfxf)()( x 0 （0，a） a （+ ，a） )(x f - 0 + )(xf 1 2 a 递减 )( af 递增 ）上单调递增，）上单调递减，在（在（+, 0)(aaxf 1 2 a y a 1 x 2 a 1 2 a y a 1 x 2 a 高三年级（数学） 第12页（共 4 页） 法法 1：1)()(=afxf的最小值为. 2 ( )0( )1,f xxf xa+若存在最大值，则，）时，恒
25、成立 2 2 2 21 1 1 axa a x + + 即： xa a xaax 1 2 1 12 2 22 ）（在), 0( +x恒成立， 101, 0, 0 2 1 2 2 aaa a a ，. 综上：a的取值范围是 1 , 0( 1,（. 法法 2：1)()(=afxf的最小值为； 当xa时， 2 22axa ， 22 2110axaa+ ， 0)(,+xfx； （论述不严谨，扣 1 分） 即0,xa时， 1, 1)( 2 axf；)xa +，时，)0 , 1)(xf 01)0()( 2 = afxf存在最大值，则若，1.a 综上：a的取值范围是 1 , 0( 1,（. 20 （本小题满
26、分 15 分） 解： （）法一：依题意可得 22 222 2, 21 1, . c ab abc = += =+ 解得 2 2 2. a b c = = = ， ， （试根法） 所以椭圆的标准方程为 22 1 42 xy +=. 3 分 法二：设椭圆的右焦点为 1 F，则 1 |3CF =， 1 2 a y a x 1 高三年级（数学） 第13页（共 4 页） 24,2aa=， 2c =Q， 2b =， 所以椭圆的标准方程为 22 1 42 xy +=. 3 分 （）因为点Q在第一象限，所以直线l的斜率存在， 4 分 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx=，设直线 l与该椭圆的交点 为
27、1122 ( ,),(,)P x yQ xy 由 22 24 ykx xy = += 可得 22 (1 2)40kx+=， 5 分 易知0 ，且 1212 2 4 0, 12 xxx x k += + ， 6 分 则 2222 12121212 ()()1()4PQxxyykxxx x=+=+ 7 分 2 2 22 41 10443 1212 k k kk + =+= + ， 所以 2 714 , 22 kk= (负舍)，所以直线l的方程为 14 2 yx=. 8 分 用Q到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分， 设点 11 (,)Q x y，3,PQ =Q 3 , 2 OQ= 29
28、, 4 OQ= 22 11 9 , 4 xy+= 又 22 11 24,xy+=Q 解得： 11 27 , 22 xy= 所以直线l的方程为 1 1 y yx x =，即 14 2 yx=. （）设(,) mm M xy，() 00 ,Q xy，则() 00 ,Pxy，易知 0 02x， 0 01y. 由 ()2,0A ，(0, 2)B，所以直线AB的方程为220xy+=. 9 高三年级（数学） 第14页（共 4 页） 分 若使BOP的面积是BMQ的面积的 4 倍，只需使得4OQMQ=， 10 分 法一： 即 3 4 M Q x x = . 11 分 设直线l的方程为ykx=，由 + 220
29、ykx xy = = 得， 22 (,) 1212 k M kk+ 12 分 由 22 24 ykx xy = += 得， 22 22 (,) 1212 k Q kk+ ， 13 分 代入可得 2 1418 270kk+=，即： 2 7 79 20 2 kk+=（约分后求解） 解得 9 28 14 k =，所以 9 28 14 yx =. 15 分 法二：所以 444 (,) 333 mm OQOMxy= uuu vuuuu v ，即 44 (,) 33 mm Qxy . 11 分 设直线l的方程为ykx=，由 220 ykx xy = = 得， 22 (,) 1212 k M kk+ 12
30、分 所以 88 (,) 3 3 23 3 2 k Q kk+ ，因为点Q在椭圆G上，所以 22 00 1 42 xy +=， 13 分 代入可得 2 1418 270kk+=，即： 2 7 79 20 2 kk+= 解得 9 28 14 k =， 所以 9 28 14 yx =. 15 分 法三：所以 00 333 (,) 444 OMOQxy= uuuu vuuu v ，即 00 33 (,) 44 Mxy . 11 分 点M在线段AB上，所以 00 33 2 20 44 xy+= ，整理得 00 8 2 3 xy= ， 12 分 高三年级（数学） 第15页（共 4 页） 因为点Q在椭圆G上
31、，所以 22 00 1 42 xy +=， 把式代入式可得 2 00 912 270yy+=，解得 0 2 21 3 y =. 13 分 于是 00 842 2 33 xy= m ，所以， 0 0 9 28 14 y k x =. 所以，所求直线 的方程为 9 28 14 yx =. 15 分 21.解： （）当 1 10a =时， n a中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,L， 所以 3 716 n Sn=+. 3 分 （） 若 1 a是奇数，则 21 3aa=+是偶数， 21 3 3 22 aa a + =， 由 3 17S =，得 1 11 3 (3)17 2 a aa
32、+ +=，解得 1 5a =，适合题意. 若 1 a是偶数，不妨设 * 1 2 ()ak k=N，则 1 2 2 a ak=. 若k是偶数， 则 2 3 22 ak a =， 由 3 17S =， 得217 2 k kk+=， 此方程无整数解； 若k是奇数， 则 3 3ak=+， 由 3 17S =， 得2317kkk+=， 此方程无整数解. 综上， 1 5a =. 8 分 （）首先证明：一定存在某个 i a，使得6 i a成立. 否则， 对每一个 * iN， 都有6 i a ， 则在 i a为奇数时， 必有 2 3 2 i ii a aa + + =； 在 i a为偶数时，有 2 3 2 i ii a aa + =+，或 2 4 i ii a aa + =. 因此，若对每一个 * iN，都有6 i a ，则 135 ,a a a L单调递减， 注意到 * n a N，显然这一过程不可能无限进行下去， l 高三年级（数学） 第16页（共 4 页） 所以必定存在某个 i a，使得6 i a成立. 经检验，当2 i a =，或4 i a =，或5 i a =时， n a中出现1； 当6 i a =时， n a中出现3， 综上， n a中总有一项为1或3. 14 分
