1、3.2.2 复数代数形式的乘除运算 已知两复数已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）是实数） 即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是就是 实部与实部实部与实部, ,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).). (1)(1)加法法则：加法法则：z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i; =(a+c)+(b+d)i; (2)(2)减法法则：减法法则：z z1 1- -z z2 2=(a=(a- -c)+(bc)+(b- -d)i.d)i. (a(a+bi )+bi )(c(c+ +d di i) ) = = (a(ac) c) +
2、+ (b(bd)d)i i x o y Z1(a,b) Z2(c,d) Z(a+c,b+d) z z1 1+ z+ z2 2=OZ=OZ1 1 +OZ +OZ2 2 = OZ = OZ 符合向量加法符合向量加法 的平行四边形的平行四边形 法则法则. . 1.1.复数复数加法加法运算的几何意义运算的几何意义? ? x o y Z1(a,b) Z2(c,d) 复数复数 z2z1 向量向量 Z Z1 1Z Z2 2 符合向量减符合向量减 法的三角形法的三角形 法则法则. . 2.2.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义? ? 复平面中点复平面中点 Z Z1 1与点与点Z Z2 2间的距离间的
3、距离 |z|z1 1- -z z2 2| |表示：表示：_ _._. 已知两复数已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，dR) 3.3.复数复数模模的几何意义：的几何意义： Z Z1 1(a(a，b)b) o o x x y y Z Z2 2(c(c，d)d) 特别地，特别地，|z|z|表示：表示： _ _._. 复平面中点复平面中点Z Z与原点间的与原点间的 距离距离 如：如：|z+(1+2i)|z+(1+2i)|表示：表示：_ _._. 点点( (- -1 1，- -2)2)的距离的距离 点点Z(Z(对应复数对应复数z)z)到到 1.掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则.
4、 （重点） 2.对复数除法法则的运用.（难点） 3.乘法的运算法则与运算律. 4.共轭复数的定义是什么. 探究点探究点1 复数乘法运算复数乘法运算 我们规定，复数乘法法则如下：我们规定，复数乘法法则如下： 设设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：是任意两个复数，那么它们的乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i. 即即 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i 注意：注意：两个复数的积是一个确定的复数两个复数的积是一个确定的复数. 探究点探究点2
5、2 复数乘法的运算律复数乘法的运算律 复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法 的分配律？的分配律？ 请验证乘法是否满足交换律请验证乘法是否满足交换律? ? 对任意复数对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则则z1 z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而而z2 z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i 所以所以 z1 z2=z2 z1 ( (交换律交换律) ) 乘法运算律乘法运算律
6、对任意对任意z1 ,z2 ,z3 C,C,有有 z1 z2=z2 z1 ( (交换律交换律) ) (z1 z2) z3= z1 (z2 z3) ( (结合律结合律) ) z1(z2+z3)=z1 z2+z1 z3 ( (分配律 分配律) ) 例例1 1 计算计算(1(1- -2i)(3+4i)(2i)(3+4i)(- -2+i).2+i). 解解: :(1(1- -2i)(3+4i)(2i)(3+4i)(- -2+i)2+i) =(11=(11- -2i)(2i)(- -2+i)2+i) = =- -20+15i.20+15i. 分析：分析：类似两个多项式相乘，把类似两个多项式相乘，把i i2
7、 2换成换成- -1 1 例例2 2 计算计算:(1) (3+4i)(3:(1) (3+4i)(3- -4i);4i); (2) (1+i)(2) (1+i)2 2. . 解解: : (1)(3+4i)(3(1)(3+4i)(3- -4i)4i) =3=32 2- -(4i)(4i)2 2 =9=9- -( (- -16)16) =25. =25. (2)(1+i)(2)(1+i)2 2 =1+2i+i=1+2i+i2 2 =1+2i=1+2i- -1 1 =2i.=2i. ( 23 )( 23 )ii (3)10i z z 1.1.计算计算 2.2.已知已知 , ,则则 = = 13 3-
8、-i 变式训练：变式训练： , , (3)()(3)(3 )10 3103, ,3 301, zabi a bR i abiabab i aba zi abb 【解解析析】设设则则 解解得得 【总结提升总结提升】 （1 1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立； （2 2）复数的混合运算也是先乘方，再乘除，最后加）复数的混合运算也是先乘方，再乘除，最后加 减，有括号应先处理括号里面的减，有括号应先处理括号里面的 探究点探究点3 3 共轭复数的定义共轭复数的定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相 反数时，这两
9、个复数叫做互为反数时，这两个复数叫做互为共轭复数共轭复数. .虚部不等于虚部不等于 的两个共轭复数也叫做的两个共轭复数也叫做共轭虚数共轭虚数. . 实数实数的共轭复数是它本身的共轭复数是它本身. . 思考思考：若：若z z1 1，z z2 2是共轭复数，那么是共轭复数，那么 (1)(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？ (2)z(2)z1 1zz2 2是一个怎样的数？是一个怎样的数？ 记法：记法：复数复数z=a+bi 的共轭复数记作的共轭复数记作 z z= =a-bi 解：解：作图作图 y x (a,b) (a,-b) z1=a+bi o
10、 y x (a,0) z1=a o x y z1=bi (0,b) (0,-b) o 得出结论：得出结论：在复平面内，共轭复数在复平面内，共轭复数z z1 1 ,z,z2 2所对应的所对应的 点关于点关于实轴实轴对称对称. . 令令z1=a+bi,则则z2=a-bi 则则z1 z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-b2i2 =a2+b2 结论：结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数. . 222 1212 .|z |z zzz zz，因因此此 探究点探究点4 4 共轭复数共轭复数的相关运算性质的相关运算性质 2222 |z zzzz z
11、zzab 1212 zzzzzzzz 1212 zzzzzzzz zRzz 0,为为纯纯虚虚数数zzzz 且 i(i)()i(i0 ()() i i ii i ) ii. 满满足足的的复复数数 叫叫做做复复数数除除以以复复数数的的 记记或或 商商 作作： cdab cd ab xyxy ab abc d d cd c (i)(i)i ()()ii 因因为为 所所以以 cdxyab cxdydxcyab 探究点探究点5 5 复数除法的法则复数除法的法则 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复 数的除法是乘法的逆运算数的除法是乘法的逆运算. .试探求复数除
12、法的法则试探求复数除法的法则. . 所所以以 cxdya dxcyb 22 22 acbd x cd bcad y cd 2222 (i)(i)i(i0). 所所以以 acbdbcad abcdcd cdcd 复数除法的法则是复数除法的法则是: : 2222 (i)(i)i (i0). acbdbcad abcd cdcd cd 方法方法: :在进行复数除法运算时在进行复数除法运算时, ,通常先把通常先把 i (i)(i), i i,. . 写写成成的的形形式式 再再把把分分子子与与分分母母都都乘乘 以以分分母母的的共共轭轭复复数数化化简简后后就就可可得得到到上上面面的的结结果果 这这与与作作
13、根根式式除除法法时时的的处处理理是是很很类类似似的的 ab abcd cd cd 在作根式除法时在作根式除法时, ,分子分母都乘以分母的“有理分子分母都乘以分母的“有理 化因式”化因式”, ,从而使分母“有理化”从而使分母“有理化”. .这里分子分母都乘这里分子分母都乘 以分母的“实数化因式”以分母的“实数化因式”( (共轭复数共轭复数),),从而使分母从而使分母 “实数化”“实数化”. . (12(.3)34 )ii算例计 22 (12 )(34 ) 12 34 (12 )(34 )3 864 (34 )(34 )34 5 1012 . 2 555 ii i i iiii ii i i 解解
14、 先写成先写成 分式形分式形 式式 然后分母实数化然后分母实数化, 分子分母同时乘分子分母同时乘 以分母的共轭复以分母的共轭复 数数 结果化简成结果化简成 代数形式代数形式 变式训练变式训练： (7)(34 )ii 2 1 () 1 i i 11 3232ii 注注: :复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、 化简等化简等. . 7734 343434 2525 1 25 ()() ()() iii iii i i 【解解析析】(1)(7+i) (3+4i)=(1)(7+i) (3+4i)= 2 2222 112 21 1112 (i) )()
15、 ()() ii i iii （ ）( ( 1132324 3 3232323213 ()() ()() iii iiii （ ） 1. （2015 新课标高考） 若 a 为实数且(2)(2 )4ai aii ， 则 a=（ ） A1 B0 C1 D2 B B 2.2. 若复数若复数z=1+i (iz=1+i (i为虚数单位为虚数单位) ) 是是z z的共轭复数，的共轭复数， 则则 + + 的虚部为（的虚部为（ ） A. 0 B. A. 0 B. - -1 C. 1 D. 1 C. 1 D. - -2 2 z z 2 2 z z 2 z A A 3. .( (20152015 全国卷全国卷)
16、)设复数设复数 z z 满足满足 1+z 1 i z , ,则则|z|=|z|= ( ( ) ) A.A.1 1 B .B . C.C. D.D.2 2 A A 4. ( (20152015 湖北高考湖北高考) )i i 为虚数单位为虚数单位, ,i i 607607= = ( ( ) ) A.iA.i B.B.- -i i C.1C.1 D.D.- -1 1 B B 5.已知方程已知方程x2-2x+2=0有两虚根为有两虚根为x1, x2, 求求x14+x24的值的值. 12 1,1,xi xi 解解： 444422 12 (1)(1)(2 )( 2 )8.xxiiii 所所以以 注注: :在
17、复数范围内方程的根与系数的关系仍适用在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用. . 6.（2015 上海高考）若复数 z 满足31zzi ， 其中 i 为虚数单位，则 z= 【解析】设( ,)zabi a bR，则 11 3()14121 42 abiabiiabzi 且 1.1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中 把把i i2换成换成1 1，并且把实部和虚部分别合并，并且把实部和虚部分别合并. . 2.2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立. . 3.3.当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两 个复数叫做互为个复数叫做互为共轭复数共轭复数. . 虚部不等于的两个共轭复数也叫做虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数共轭虚数. . 实数实数的共轭复数是它本身的共轭复数是它本身. . 4.4.复数代数形式的除法实质：复数代数形式的除法实质：分母实数化分母实数化. . 男儿不展风云志，空负天生八尺躯.
