1、勾股定理勾股定理想一想想一想现在先让我们一起来看看，直角三角形的现在先让我们一起来看看，直角三角形的三条边之间有什么关系三条边之间有什么关系.用等式的形式来用等式的形式来表示上面的结论表示上面的结论ABCPQR试一试试一试 观察图，如果每一小方格表示观察图，如果每一小方格表示1平方厘米，平方厘米，那么可以得到：那么可以得到：正方形正方形P的面积的面积_平方厘米；平方厘米；正方形正方形Q的面积的面积_平方厘米平方厘米.正方形正方形R的面积的面积_平方厘米平方厘米.用等式的形式来表用等式的形式来表示上面的结论示上面的结论916259+16=25P+Q=RABCRQP概括概括 数学上可以说明：对于任
2、意的数学上可以说明：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角直角三角形，如果它的两条直角边分别为边分别为a、b，斜边为，斜边为c，那么，那么一定有一定有 a2+b2=c2 这种关系我们称为勾股定理这种关系我们称为勾股定理 勾股定理直角三角形两直角勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明勾股定理：两直角边勾股定理：两直角边a，b的平方和等于斜边的平方和等于斜边c的平方的平方a2+b2=c2cb a ba a2+b2 =c2勾股定理的历史勾股定理的历史 我我 国古代称直角三角形中短的一条直角国古代称直角三角形中短的一条直角边为勾，长的一条
3、直角边为股，斜边为边为勾，长的一条直角边为股，斜边为弦，所以之一定理通常称为勾股弦定理，弦，所以之一定理通常称为勾股弦定理，简称勾股定理简称勾股定理.在在周髀算经周髀算经中叙述了西周开国时期中叙述了西周开国时期（约公元前一千一百多年）周公和商高（约公元前一千一百多年）周公和商高的对话，商高说：的对话，商高说：“股折矩以勾广三，股折矩以勾广三，股修四，经隅五股修四，经隅五.”说明已认识到这一定说明已认识到这一定理的特例，所以又叫理的特例，所以又叫商高定理商高定理.勾勾股股弦弦勾股定理的历史勾股定理的历史我中国有记载的最早勾股定理的证明，我中国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵
4、爽在他所是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著的著的勾股方圆图注勾股方圆图注中，用四个全等中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的证明的.每个直角三角形的面每个直角三角形的面积叫朱实，中间的正积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实，大方形面积叫黄实，大正方形面积叫弦实，正方形面积叫弦实，这个图也叫弦图这个图也叫弦图.勾股定理的历史勾股定理的历史在西方，这个定理叫在西方，这个定理叫“毕达哥拉斯定毕达哥拉斯定理理”，一般认为是古希腊数学家毕达哥，一般认为是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前五百五十年左右发现并证拉斯于公元前五百五十年左右发现并证明的明的.相传，毕
5、达哥拉斯发现这一定理时，相传，毕达哥拉斯发现这一定理时，曾宰牛百千，广设盛宴，表示庆贺，对曾宰牛百千，广设盛宴，表示庆贺，对这个定理的重视可想而知这个定理的重视可想而知.做一做做一做 在图的方格图中，用三角尺画出在图的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为两条直角边分别为5cm5cm、12cm12cm的直角的直角三角形，然后用三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这并验证上述关系对这个直角三角形是否成立个直角三角形是否成立.（每一小格代表 1 平方厘米）小试牛刀小试牛刀(1)在直角在直角ABC中，中，C=90，a=3，b=4，则，则c的值是的值是_，理由是理由是
6、_.(2)在直角在直角ABC中，中，B=90，a=3，b=4，则，则c的值是的值是_，理由是理由是_.(3)在在ABC中，中，a=3，b=4，c=5.则则 ABC 是是_三角形三角形.如图，将长为如图，将长为5.41米的梯子米的梯子AC斜靠在墙上，斜靠在墙上，BC长为长为2.16米，求米，求梯子上端梯子上端A到墙的到墙的底端底端B的距离的距离AB.（精确到（精确到0.01米）米）能力拓展题能力拓展题欲把一根欲把一根70cm70cm的木棍放在的木棍放在长、宽、高分别为长、宽、高分别为40cm40cm、30cm30cm、50cm50cm的木箱中，能的木箱中，能否放进去！否放进去！请说明理由请说明理
7、由巧探勾股数巧探勾股数像（像（3 3、4 4、5 5），（），（6 6、8 8、1010），（），（5 5、1212、1313）等）等满足满足a a2 2+b b2 2=c c2 2 的一组数通常称为勾股数若表的一组数通常称为勾股数若表1 1、表表2 2中的中的a a、b b、c c为勾股数，请你填表并探索规律为勾股数，请你填表并探索规律a3693nb48164nc515205na37911b41240c5132561从表从表1 1、2 2中你中你发现了什么规发现了什么规律？你能根据律？你能根据发现的规律写发现的规律写出的更多的勾出的更多的勾股数吗？股数吗？在直角三角形中，已知两边可以求第三边
8、在直角三角形中，已知两边可以求第三边.如图，在如图，在RtABC中，中，BC=24，AC=7，求，求AB的长的长.在在RtABC中，中，根据勾股定理根据勾股定理222BCACAB 解：解：B24AC762524722 25 AB如果将题目变为：如果将题目变为：在在RtABC中，中，AB=25，BC=24，求，求AC的长呢？的长呢？2524 试画出三边长度分别为如下数据的三试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：角形，看看它们是一些什么样的三角形：(1)a=3，b=4，c=5；(2)a=4，b=6，c=8；(3)a=6，b=8，c=10.3544688106钝角三角形
9、钝角三角形直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形判断由判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15，b=8，c=17(2)a=13，b=15，c=14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条是直角三角形，只要看两条较小边较小边的平方和是的平方和是否等于否等于最大边最大边的平方的平方.解：解：(1)152+82=225+64=289，172=289，152+82=172，这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形.(2)a=13，b=15，c=14解：解：(2)132+142=169
10、+196=365，152=225，132+142152，这个三角形不是直角三角形这个三角形不是直角三角形.用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.分析：分析：解题的关键是反证法的第一步否定结解题的关键是反证法的第一步否定结 论，需要分类讨论论，需要分类讨论.已知：已知：在在ABC中，中，AB=AC.求证：求证：B、C为锐角为锐角.证明：证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那假设等腰三角形的底角不是锐角，那 么只有两种情况：么只有两种情况：(1)两个底角都是直角；两个底角都是直角；(2)两个底角都是钝角；两个底角都是钝角；(1)由由A=B=90，则则A+
11、B+C=A+90+90180，这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，A=B=90这个假设不成立这个假设不成立.(2)由由90B180，90C180，这与三角形内，这与三角形内角和定理矛盾角和定理矛盾.两个底角都是钝角这个假设也不成立两个底角都是钝角这个假设也不成立.故原命题正确故原命题正确 等腰三角形的底角必定是锐角等腰三角形的底角必定是锐角.求证：在一个三角形中，如果两条边不相求证：在一个三角形中，如果两条边不相 等，那么它们所对的角也不相等等，那么它们所对的角也不相等.证：将原题转化为在证：将原题转化为在ABC中，中，ABAC，假设假设B=C，则则AB=AC（等角对等边）（等角对等边）这与已知这与已知ABAC矛盾矛盾.假设不成立假设不成立.BC.求证：求证：BCACB课堂小结课堂小结 1.1.说一说本节课我有哪些收获？说一说本节课我有哪些收获？2.2.本节课我还有哪些疑惑？本节课我还有哪些疑惑？
