1、第二章等式与不等式2.1等式2.1.1等式的性质与方程的解集1.1.常用乘法公式常用乘法公式(1)(1)平方差公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2，两个数的和与这，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差两个数的差的积等于这两个数的平方差.(2)(2)完全平方公式完全平方公式：(a(ab)b)2 2=a=a2 22ab+b2ab+b2 2，两数和，两数和(或差或差)的平方，等于这两数的平方和，加上的平方，等于这两数的平方和，加上(或减去或减去)这两数这两数积的积的2 2倍倍.(3)(3)其他恒等式：其他恒等式：(a+b)(a(a+b)(a
2、2 2-ab+b-ab+b2 2)=a)=a3 3+b+b3 3；(a+b)(a+b)3 3=a=a3 3+3a+3a2 2b+3abb+3ab2 2+b+b3 3；(a+b+c)(a+b+c)2 2=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2bc+2ac.+2ab+2bc+2ac.【思考思考】(1)(1)平方差公式的左右两边分别有什么特点？平方差公式的左右两边分别有什么特点？提示：提示：公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平
3、方相同项的平方减去相反项的平方.(2)(2)完全平方公式的左右两边分别有什么特点？完全平方公式的左右两边分别有什么特点？提示：提示：公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；公式右边第一、三项分别是左边第一、第二三项式；公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方；第二项是左边两项积的项的平方；第二项是左边两项积的2 2倍倍.2.2.十字相乘法十字相乘法(1)(1)二次项系数为二次项系数为1 1时：时：x x2 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(2)(2)二次系数不为二次系数不为1 1时：时：
4、acxacx2 2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)(3)(3)记忆口诀：拆两头，凑中间记忆口诀：拆两头，凑中间.【思考思考】十字相乘法分解因式的关键是什么？十字相乘法分解因式的关键是什么？提示：提示：把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因式相加，看它们的和是不是正好等因数，再把两个因式相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数于一次项系数.3.3.方程的解集：方程的解集：(1)(1)方程的解方程的解(根根)：能使方程左右两边相等的未知数的：能使方程左右两边相等的未知数的值
5、值.(2)(2)方程的解集：一个方程所有的解组成的集合方程的解集：一个方程所有的解组成的集合.【思考思考】把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解方程的解(根根)吗？吗？提示：提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根这个方程的根，也可能是这个方程的增根.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)计算计算(2a+5)(2a-5)=2a(2a+5)(2a-5)=2a2 2-25.-25.()(2)
6、(2)因式分解过程为：因式分解过程为：x x2 2-3xy-4y-3xy-4y2 2=(x+y)(x-4).=(x+y)(x-4).()(3)(3)用因式分解法解方程时部分过程为：用因式分解法解方程时部分过程为：(x+2)(x-3)=6(x+2)(x-3)=6，所以，所以x+2=3x+2=3或或x-3=2.x-3=2.()提示提示：(1)(1).(2a+5)(2a-5)=(2a).(2a+5)(2a-5)=(2a)2 2-25=4a-25=4a2 2-25.-25.(2)(2).x.x2 2-3xy-4y-3xy-4y2 2=(x+y)(x-4y).=(x+y)(x-4y).(3)(3).若若
7、(x+2)(x-3)=0(x+2)(x-3)=0，可化为，可化为x+2=0 x+2=0或或x-3=0.x-3=0.2.2.方程方程x(x-1)=xx(x-1)=x的根是的根是()A.x=2A.x=2B.x=-2B.x=-2C.xC.x1 1=-2=-2，x x2 2=0=0D.xD.x1 1=2=2，x x2 2=0=0【解析解析】选选D.D.因为因为x(x-1)=xx(x-1)=x，所以，所以x x2 2-x=x-x=x，所以所以x x2 2-2x=0-2x=0，所以，所以x(x-2)=0 x(x-2)=0，所以，所以x x1 1=2=2，x x2 2=0.=0.3.(3.(多选题多选题)下
8、列等式中，是恒等式的是下列等式中，是恒等式的是()A.(x-2)(x+2)=xA.(x-2)(x+2)=x2 2-4-4B.(a-b)B.(a-b)2 2=a=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2C.(-3+m)(3+m)=mC.(-3+m)(3+m)=m2 2-9-9D.16xD.16x2 2-9=24x-9=24x【解析解析】选选A A、B B、C.AC.A中，中，(x-2)(x-2)(x+2)=x(x+2)=x2 2-4-4，使用平方差公式化简，是恒等式；使用平方差公式化简，是恒等式；B B中，中，(a-b)(a-b)2 2=a=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2，使用完全平方公式
9、化简，是恒等式；，使用完全平方公式化简，是恒等式；C C中，中，(-3+m)(3+m)=(m-3)(m+3)=m(-3+m)(3+m)=(m-3)(m+3)=m2 2-9-9，平方差公式化简，是恒等式；平方差公式化简，是恒等式；D D中，中，16x16x2 2-9=24x-9=24x是方程，不是恒等式是方程，不是恒等式.类型一常用乘法公式的应用类型一常用乘法公式的应用【典例典例】1.1.化简化简(m(m2 2+1)(m+1)(m-1)-(m+1)(m+1)(m-1)-(m4 4+1)+1)的值的值是是()A.-2mA.-2m2 2B.0B.0C.-2C.-2D.-1D.-12.2.计算计算(x
10、+3y)(x+3y)2 2-(3x+y)-(3x+y)2 2的结果是的结果是()A.8xA.8x2 2-8y-8y2 2B.8yB.8y2 2-8x-8x2 2C.8(x+y)C.8(x+y)2 2D.8(x-y)D.8(x-y)2 2【思维思维引引】1.1.先把第一项中的先把第一项中的(m+1)(m-1)(m+1)(m-1)用平方差公式化简，再用平方差公式化简，再和和m m2 2+1+1利用平方差公式化简，最后去括号，合并同类利用平方差公式化简，最后去括号，合并同类项，化简项，化简.2.2.方法一：先用完全平方公式化简，然后去括号，合方法一：先用完全平方公式化简，然后去括号，合并同类项即可；
11、方法二：把并同类项即可；方法二：把x+3yx+3y和和3x+y3x+y分别看作一个分别看作一个整体，利用平方差公式化简整体，利用平方差公式化简.【解析解析】选选C.1.(mC.1.(m2 2+1)(m+1)(m-1)-(m+1)(m+1)(m-1)-(m4 4+1)+1)=(m=(m2 2+1)(m+1)(m2 2-1)-(m-1)-(m4 4+1)+1)=(m=(m4 4-1)-(m-1)-(m4 4+1)=m+1)=m4 4-1-m-1-m4 4-1=-2.-1=-2.2.2.选选B.B.方法一：方法一：(x+3y)(x+3y)2 2-(3x+y)-(3x+y)2 2=x=x2 2+6xy
12、+9y+6xy+9y2 2-(9x-(9x2 2+6xy+y+6xy+y2 2)=x=x2 2+6xy+9y+6xy+9y2 2-9x-9x2 2-6xy-y-6xy-y2 2=8y=8y2 2-8x-8x2 2.方法二方法二：(x+3y)(x+3y)2 2-(3x+y)-(3x+y)2 2=(x+3y)+(3x+y)(x+3y)-(3x+y)=(x+3y)+(3x+y)(x+3y)-(3x+y)=(x+3y+3x+y)(x+3y-3x-y)=(x+3y+3x+y)(x+3y-3x-y)=(4x+4y)(-2x+2y)=4(x+y)=(4x+4y)(-2x+2y)=4(x+y)2(-x+y)2
13、(-x+y)=8y=8y2 2-8x-8x2 2.【内化内化悟悟】1.1.利用数学公式化简，公式中的利用数学公式化简，公式中的a a，b b是一个代数式时，是一个代数式时，怎么处理？怎么处理？提示：提示：当公式中的当公式中的a a，b b是一个代数式时，利用整体代是一个代数式时，利用整体代入思想，把代数式看作一个整体代入即可入思想，把代数式看作一个整体代入即可.2.2.一个题目中要应用多个公式时，怎样选择公式使用一个题目中要应用多个公式时，怎样选择公式使用顺序？顺序？提示：提示：当一个题目中要使用多个数学公式时，我们要当一个题目中要使用多个数学公式时，我们要根据题目特点适当选择公式，尽可能将运
14、算简化根据题目特点适当选择公式，尽可能将运算简化.【类题类题通通】(1)(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的使用公式化简时，一定要分清公式中的a a，b b分别对分别对应题目中的哪个数或哪个整式应题目中的哪个数或哪个整式.(2)(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算可以有效地简化运算.【习练习练破破】1.1.如果如果(a-b-3)(a-b+3)=40(a-b-3)(a-b+3)=40，那么，那么a-ba-b的值为的值为 ()A.49A.49B.7B.7C.-7C.-7D.7D.7或或-7-7【解析解析】选选D.(
15、a-b-3)(a-b+3)=(a-b)D.(a-b-3)(a-b+3)=(a-b)2 2-9=40-9=40，即即(a-b)(a-b)2 2=49=49，则，则a-b=a-b=7.7.2.2.已知已知a a2 2+b+b2 2+2a-4b+5=0+2a-4b+5=0，则，则2a2a2 2+4b-3+4b-3的值为的值为_._.【解析解析】a a2 2+b+b2 2+2a-4b+5=(a+2a-4b+5=(a2 2+2a+1)+(b+2a+1)+(b2 2-4b+4)-4b+4)=(a+1)=(a+1)2 2+(b-2)+(b-2)2 2=0=0，所以，所以a=-1a=-1，b=2b=2，所以所
16、以2a2a2 2+4b-3=2+4b-3=2(-1)(-1)2 2+4+42-3=7.2-3=7.答案：答案：7 7类型二十字相乘法分解因式类型二十字相乘法分解因式【典例典例】把下列各式因式分解把下列各式因式分解.(1)x(1)x2 2+3x+2+3x+2(2)6x(2)6x2 2-7x-5-7x-5(3)5x(3)5x2 2+6xy-8y+6xy-8y2 2【思维思维引引】(1)x(1)x2 2+3x+2+3x+2的二次项的系数是的二次项的系数是1 1，常数项，常数项2=12=12 2，一次，一次项系数项系数3=1+23=1+2，这是一个，这是一个x x2 2+(p+q)x+pq+(p+q)
17、x+pq型式子型式子.(2)6x(2)6x2 2-7x-5-7x-5的二次项系数是的二次项系数是6=26=23 3，常数项，常数项-5-5=1=1(-5)(-5)，一次项系数，一次项系数-7=2-7=2(-5)+3(-5)+31 1，这是一个，这是一个acxacx2 2+(ad+bc)x+bd+(ad+bc)x+bd型式子，因此可用公式型式子，因此可用公式acxacx2 2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)分解因式分解因式.(3)5x(3)5x2 2+6xy-8y+6xy-8y2 2的二次项系数是的二次项系数是5=15=15 5
18、，常数项，常数项-8y-8y2 2=2y=2y(-4y)(-4y)，一次项系数，一次项系数6y=16y=1(-4y)+5(-4y)+5(2y)(2y)，这也是一个这也是一个acxacx2 2+(ad+bc)x+bd+(ad+bc)x+bd型式子，因此可用公式型式子，因此可用公式acxacx2 2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)分解因式分解因式.【解析解析】(1)x(1)x2 2+3x+2=(x+1)(x+2)+3x+2=(x+1)(x+2)1 12+12+11=31=3(2)6x(2)6x2 2-7x-5=(2x+1)(3x-
19、5)-7x-5=(2x+1)(3x-5)2 2(-5)+3(-5)+31=-71=-7(3)5x(3)5x2 2+6xy-8y+6xy-8y2 2=(x+2y)(5x-4y)=(x+2y)(5x-4y)1 1(-4y)+5(-4y)+5(2y)=6y(2y)=6y【内化内化悟悟】利用十字相乘法分解因式时，怎样把二次项和常数项利用十字相乘法分解因式时，怎样把二次项和常数项分解？分解？提示：提示：当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与
20、一次项系数的符应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同数的符号相同.【类题类题通通】十字相乘法因式分解的形式十字相乘法因式分解的形式尝试把某些二次三项式如尝试把某些二次三项式如axax2 2+bx+c+bx+c分解因式，先把分解因式，先把a a分分解成解成a=aa=a1 1a a2 2，把，把c c分解成分解成c=cc=c1 1c c2 2，并且排列如下：，并且排列如下：这里按斜线交叉相乘的
21、积的和就是这里按斜线交叉相乘的积的和就是a a1 1c c2 2+a+a2 2c c1 1，如果它，如果它正好等于二次三项式正好等于二次三项式axax2 2+bx+c+bx+c中一次项的系数中一次项的系数b b，那么，那么axax2 2+bx+c+bx+c就可以分解成就可以分解成(a(a1 1x+cx+c1 1)(a)(a2 2x+cx+c2 2)，其中，其中a a1 1，c c1 1是上图中上面一行的两个数，是上图中上面一行的两个数，a a2 2，c c2 2是下面一行的两是下面一行的两个数个数.【习练习练破破】1.x1.x2 2+10 x+16+10 x+16分解因式为分解因式为 ()A.
22、(x+2)(x+8)A.(x+2)(x+8)B.(x-2)(x+8)B.(x-2)(x+8)C.(x+2)(x-8)C.(x+2)(x-8)D.(x-2)(x-8)D.(x-2)(x-8)【解析解析】选选A.xA.x2 2+10 x+16=(x+2)(x+8).+10 x+16=(x+2)(x+8).1 18+18+12=102=102.x2.x2 2-13xy-30y-13xy-30y2 2分解因式为分解因式为()A.(x-3y)(x-10y)A.(x-3y)(x-10y)B.(x+15y)(x-2y)B.(x+15y)(x-2y)C.(x+10y)(x+3y)C.(x+10y)(x+3y)
23、D.(x-15y)(x+2y)D.(x-15y)(x+2y)【解析解析】选选D.xD.x2 2-13xy-30y-13xy-30y2 2=(x-15y)(x+2y)=(x-15y)(x+2y)1 12y+12y+1(-15y)=-13y(-15y)=-13y3.6x3.6x2 2-29x+35-29x+35分解因式为分解因式为()A.(2x-7)(3x-5)A.(2x-7)(3x-5)B.(3x-7)(2x-5)B.(3x-7)(2x-5)C.(3x-7)(2x+5)C.(3x-7)(2x+5)D.(2x-7)(3x+5)D.(2x-7)(3x+5)【解析解析】选选B.6xB.6x2 2-29
24、x+35=(3x-7)(2x-5)-29x+35=(3x-7)(2x-5)3 3(-5)+2(-5)+2(-7)=-29(-7)=-29【加练加练固固】1.1.因式分解因式分解(x(x2 2-7x)-7x)2 2+10(x+10(x2 2-7x)-24.-7x)-24.【解析解析】(x(x2 2-7x)-7x)2 2+10(x+10(x2 2-7x)-24=(x-7x)-24=(x2 2-7x+12)(x-7x+12)(x2 2-7x-2)-7x-2)=(x-3)(x-4)(x=(x-3)(x-4)(x2 2-7x-2).-7x-2).2.2.已知已知a a2 2-ab-6b-ab-6b2 2
25、=0(a0=0(a0，b0)b0)，求，求 的值的值.baab【解析解析】因为因为a a2 2-ab-6b-ab-6b2 2=0=0，所以，所以(a-3b)(a+2b)=0(a-3b)(a+2b)=0，所以所以a=3ba=3b或或a=-2ba=-2b，当当a=3ba=3b时，时，当当a=-2ba=-2b时，时，=-2 .=-2 .bab3b1133,ab3bb33bab2b12ab2bb2 12类型三方程的解集类型三方程的解集角度角度1 1一元一次方程的解集一元一次方程的解集【典例典例】(多选题多选题)下列方程中，解集为下列方程中，解集为-3-3的方程的方程是是()A.x+1=0A.x+1=0
26、B.2x+1=-8-xB.2x+1=-8-xC.3-3x=1C.3-3x=1D.2x+6=0D.2x+6=013【思维思维引引】解一元一次方程时，通过移项、合并同类项、系数化解一元一次方程时，通过移项、合并同类项、系数化为为1 1等过程，解方程等过程，解方程.【解析解析】选选ABD.ABD.把把x=-3x=-3分别代入各选项，只有分别代入各选项，只有C C选项左选项左右两边的值不相等右两边的值不相等.角度角度2 2一元二次方程的解集一元二次方程的解集【典例典例】求下列方程的解集：求下列方程的解集：(1)x(x-2)+x-2=0.(1)x(x-2)+x-2=0.(2)x(2)x2 2+5x-6=
27、0.+5x-6=0.【思维思维引引】(1)(1)提取公因式提取公因式x-2x-2把原方程化为两个因式的积的形式，把原方程化为两个因式的积的形式，解方程解方程.(2)(2)对于二次三项式，一般先采用十字相乘法分解因式，对于二次三项式，一般先采用十字相乘法分解因式，分解因式后再解方程即可分解因式后再解方程即可.【解析解析】(1)(1)因式分解，得：因式分解，得：(x-2)(x+1)=0.(x-2)(x+1)=0.于是得于是得x-2=0 x-2=0或或x+1=0 x+1=0，即，即x=2x=2或或x=-1x=-1，因此方程的解集，因此方程的解集为为-1-1，2.2.(2)(2)分解因式得：分解因式得
28、：x x2 2+5x-6=(x-1)(x+6)+5x-6=(x-1)(x+6)，1 1(-1)+1(-1)+16=56=5因为因为x x2 2+5x-6=0+5x-6=0，所以所以(x-1)(x+6)=0(x-1)(x+6)=0，所以所以x-1=0 x-1=0或或x+6=0 x+6=0，即即x=1x=1或或x=-6.x=-6.因此方程的解集为因此方程的解集为-6-6，1.1.【类题类题通通】利用因式分解法解一元二次方程的步骤：利用因式分解法解一元二次方程的步骤：将方程的右边化为将方程的右边化为0 0；将方程的左边进行因式分解；将方程的左边进行因式分解；令每个因式为令每个因式为0 0，得到两个一
29、元一次方程；，得到两个一元一次方程；解一元一次方程，得到方程的解解一元一次方程，得到方程的解.【发散发散拓拓】对于二次三项式，采用十字相乘法分解对于二次三项式，采用十字相乘法分解因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，两个因式的和正好等于一次项系数乘，两个因式的和正好等于一次项系数.注意，交叉相注意，交叉相乘横着写乘横着写.【习练习练破破】求下列方程的解集：求下列方程的解集：(1)5x(1)5x2 2-2x-=x-2x-=x2 2-2x+.-2x+.(2)12x(2)12x2 2+5x-2=0.+5x-2=0.1434【解析解析】(1)(
30、1)移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得4x4x2 2-1=0.-1=0.因式分解，得因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.(2x+1)(2x-1)=0.于是得于是得2x+1=02x+1=0或或2x-1=02x-1=0，即，即x=-x=-或或x=x=，因此方程的解集为因此方程的解集为 12121 1,.2 2(2)(2)分解因式得：分解因式得：12x12x2 2+5x-2=(3x+2)(4x-1)+5x-2=(3x+2)(4x-1)3 3(-1)+4(-1)+42=52=5因为因为12x12x2 2+5x-2=0+5x-2=0，所以所以(3x+2)(4x-1)=0(3x+2)(4x-1
31、)=0，所以所以3x+2=03x+2=0或或4x-1=04x-1=0，即即x=-x=-或或x=x=，因此方程的解集为，因此方程的解集为 2 1,.3 42314角度角度3 3分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用【典例典例】解方程解方程axax2 2-(a+1)x+1=0.-(a+1)x+1=0.【思维思维引引】把二次项系数分为把二次项系数分为a=0a=0和和a0a0两种情况讨两种情况讨论，第一种情况是解一元一次方程，第二种情况是解论，第一种情况是解一元一次方程，第二种情况是解一元二次方程一元二次方程.【解析解析】当当a=0a=0时，原方程可化为时，原方程可化为-x+1=0-x+1=0，所以所以
32、x=1x=1，当当a0a0时，对于时，对于axax2 2-(a+1)x+1-(a+1)x+1来说，因为来说，因为a a1=a1=a，(-1)(-1)(-1)=1(-1)=1，a a(-1)+1(-1)+1(-1)=-(a+1).(-1)=-(a+1).如图所示如图所示axax2 2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)，所以原方程可化为，所以原方程可化为(ax-1)(x-1)=0(ax-1)(x-1)=0，所以所以ax-1=0ax-1=0或或x-1=0 x-1=0，所以所以x=x=或或x=1.x=1.1a【类题类题通通】形如形如axax2 2+bx
33、+c=0(+bx+c=0(含参含参)的方程的解法的方程的解法方程的二次项系数中含有参数时，要讨论二次项系数方程的二次项系数中含有参数时，要讨论二次项系数是否可以等于零，当二次项系数等于零时，讨论方程是否可以等于零，当二次项系数等于零时，讨论方程变为一元一次方程或其他情况，当二次项系数不为变为一元一次方程或其他情况，当二次项系数不为0 0时，时，解一元二次方程解一元二次方程.【习练习练破破】解方程解方程12x12x2 2-ax-a-ax-a2 2=0.=0.【解析解析】当当a=0a=0时，原方程可化为：时，原方程可化为：12x12x2 2=0=0，所以，所以x=0 x=0，当，当a0a0时，因为时，因为3 34=124=12，-a-aa a=-a=-a2 2，3 3a+4a+4(-a)=3a-4a=-a(-a)=3a-4a=-a，如图所示，如图所示所以所以12x12x2 2-ax-a-ax-a2 2=(3x-a)(4x+a)=(3x-a)(4x+a)，所以原方程可化为所以原方程可化为(3x-a)(4x+a)=0.(3x-a)(4x+a)=0.所以所以3x-a=03x-a=0或或4x+a=04x+a=0，所以所以x x1 1=，x x2 2=-.=-.a3a4
