1、第1课时 边边边第2课时 边角边条件判定第3课时 角边角、角角边条件判定第4课时 斜边、直角边 （HL条件判定）探究活动探究活动1 1：一个条件可以吗？：一个条件可以吗？（1）有一条边相等的两个三角形 不一定全等.（2）有一个角相等的两个三角形 不一定全等.结论：结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等.“边边边”定理第1课时 边边边6cm300结论：有两个条件对应相等不能保证三角形全等.60o300不一定全等.探究活动探究活动2 2：两个条件可以吗？：两个条件可以吗？3cm4cm不一定全等.30060o3cm4cm不一定全等.30o 6cm（1）有两个角对应相等的两个三角形（2）有两条边对
2、应相等的两个三角形（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等.（1）有三个角对应相等的两个三角形60o30030060o90o90o探究活动探究活动3 3：三个条件可以吗？：三个条件可以吗？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm（2）三边对应相等的两个三角形会全等吗？动手试一试：先任意画出一个ABC，再画出一个ABC,使AB=AB,BC=BC,A C=AC.把画好的ABC剪下，放到ABC上，他们全等吗？ABCA BC想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？作法：（1）画BC=BC；（2）分别以B、C为圆心，线段A
3、B、AC长为半径画圆，两弧相交于点A；（3）连接线段AB、A C.文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”）“边边边”判定方法ABCDEF在ABC和 DEF中，ABC DEF（SSS）.AB=DE，BC=EF，CA=FD，几何语言：如图，有一个三角形钢架，AB=AC，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架求证：ABD ACD CBDA解题思路：先找隐含条件 公共边AD再找现有条件 AB=AC最后找准备条件BD=CDD是BC的中点例1证明：D 是BC中点，BD=DC 在ABD 与ACD 中，ABD ACD（SSS）CBDAAB=AC(已知），BD=CD（已证），A
4、D=AD（公共边），准备条件：证全等时要用的条件要先证好；指明范围：写出在哪两个三角形中；摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；写出结论：写出全等结论.证明的书写步骤：证明的书写步骤：【跟进训练】【跟进训练】如图,C是BF的中点，AB=DC,AC=DF.求证:ABC DCF.BCADF在ABC 和DCF中，AB=DC，ABC DCFAC=DF，BC=CF，证明：C是BF中点，BC=CF.(SSS).【变式】【变式】已知:如图,点B、E、C、F在同一直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:（1）ABC DEF；（2）A=D.证明:ABC DEF(SSS).在ABC 和DEF中，AB=D
5、E，AC=DF，BC=EF，BE=CF，BC=EF.BE+EC=CF+CE，（1）（2）ABC DEF，A=D（全等三角形对应角相等）.已知：AOB求作：AOB=AOB 用尺规作一个角等于已知角ODBCA OCABD 用尺规作一个角等于已知角例2 作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D；（2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC 长为半 径画弧，交OA于点C；（3）以点C为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中 所画的弧交于点D；（4）过点D画射线OB，则AOB=AOB已知：AOB求作：AOB=AOB用尺规作一个角等于已知角的方法步骤1.如图，D、F是线段BC
6、上的两点，AB=CE，AF=DE，要使ABFECD，还需要条件 _ (填一个条件即可）.BF=CDAEBDFC2.如图，ABCD，ADBC,则下列结论：ABCCDB；ABCCDA；ABD CDB；BADC.正确的个数是 ()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个OABCDC3.已知：如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：ABCAED.证明：BD=CE,BDCD=CECD.BC=ED.在ABC和ADE中，AC=AD，AB=AE，BC=ED，ABCAED（SSS）.4.已知：如图，AC=FE，AD=FB,BC=DE.求证：(1)ABCFDE;(2)C=E.证明：(1)AD=FB，AB=F
7、D（等式的性质）.在ABC和FDE 中，AC=FE，BC=DE，AB=FD，ABCFDE（SSS）.ACEDBF（2）ABCFDE（已证）.C=E（全等三角形的对应角相等）.DC CO OA AB B5.如图,ADBC,ACBD.求证:CD.(提示:连结AB)证明：连结AB两点,ABDBAC(SSS)AD=BC，BD=AC，AB=BA，在ABD和BAC中，D=C.【拓展】如图，ABAC，BDCD，BHCH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBAABDACD(SSS)AB=AC，BD=CD，AD=AD，ABHACH(SSS)AB=AC，BH=CH，AH=AH，BDHCDH(SS
8、S)BH=CH，BD=CD，DH=DH，边边 边内 容有三边对应相等的两个三角形全等应用思路分析书写步骤结合图形找隐含条件和现有条件，证准备条件注 意四个步骤1.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.课堂总结课堂总结“边角边”定理ABCABC“两边及夹角”“两边和其中一边的对角”它们能判定两个三角形全等吗？第2课时 边角边条件判定 动手试一试：动手试一试：尺规作图画出一个ABC，使ABAB，ACAC，AA（即使两边和它们的夹角对应相等）.把画好的ABC剪下，放到ABC上，它们全等吗？A B C SASSAS能否判定的两个三角形全等能否判
9、定的两个三角形全等?A B C A D E B C 作法：（1）画DAE=A；（2）在射线AD上截取AB=AB,在射线AE上截取AC=AC；（3）连接BC.思考：A B C 与 ABC 全等吗？如何验证？这两个三角形全等是满足哪三个条件？在ABC 和 DEF中，ABC DEF（SAS）文字语言：文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）“边角边”判定方法几何语言：几何语言：AB=DE，A=D，AC=AF，A B C D E F 必须是两边“夹 角”如果AB=CB，ABD=CBD，那么 ABD 和 CBD 全等吗？分析:ABD CBD边:角:边:AB=CB
10、(已知)ABD=CBD(已知)ABCD(SAS)BD=BD(公共边)证明：在ABD 和 CBD中，AB=CB，ABD=CBD，ABDCBD(SAS).BD=BD，例1【变式1】已知：如图,AB=CB,1=2.求证:(1)AD=CD；(2)DB 平分 ADC.ADBC1243在ABD与CBD中，证明:ABDCBD（SAS），AB=CB，1=2，BD=BD（公共边），AD=CD，3=4，DB 平分 ADC.ABCD【变式2】已知:AD=CD，DB平分ADC，求证:A=C.12在ABD与CBD中，证明:ABDCBD（SAS），AD=CD，1=2，BD=BD（公共边），A=C.DB 平分 ADC，1=
11、2.如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CDCA，连接BC并延长到点E，使CECB连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?CAEDB例2CAEDB证明：在ABC 和DEC 中，ABC DEC（SAS），），AB=DE（全等三角形的对应边相等）.AC=DC，ACB=DCE（对顶角相等），），CB=EC，归纳：归纳：证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.【跟进训练】已知:如图,AB=DB,CB=EB,12，求证:A=D.证明:12，1+DBC 2+DBC(等式的性质)，即A
12、BCDBE.在ABC和DBE中,ABDB，ABCDBE，CBEB，ABCDBE(SAS).A=D.1A2CBDE 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到ABD.这个实验说明了什么？B A CDABC和ABD满足AB=AB,AC=AD,B=B,但ABC与ABD不全等.SSASSA能否判定两个三角形全等？能否判定两个三角形全等？画一画：画ABC 和DEF，使B=E=30，AB=DE=5 cm，AC=DF=3 cm 观察所得的两个三角形是否全等？ABMCDABCABD结论：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.下列条件中，不能证明ABC
13、DEF的是()AABDE，BE，BCEFBABDE，AD，ACDFCBCEF，BE，ACDFDBCEF，CF，ACDF解析：要判断能不能使ABCDEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.C方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的例31.在下列图中找出全等三角形进行连线.?308 cm9 cm?308 cm8 cm8 cm5 cm30?8 cm5 cm308 cm?5 cm8 cm5 cm?308 cm9 cm?308 cm8 cm2.如图，AB=D
14、B，BC=BE，欲证ABEDBC，则需要增加的条件是 ()A.AD B.EC C.A=C D.ABDEBC D3.如图，点E、F在AC上，AD/BC，AD=CB，AE=CF.求证：AFDCEB.FABDCE证明：AD/BC，A=C，AE=CF，在AFD和和CEB中，AD=CB，A=C，AF=CE，AFDCEB（SAS）.AE+EF=CF+EF，即 AF=CE.4.已知：如图，AB=AC,AD是ABC的角平分线，求证：BD=CD.证明：AD是ABC的角平分线，BAD=CAD.在ABD和ACD中，AB=AC，BAD=CAD，AD=AD，ABDACD（SAS）.BD=CD.【变式1】已知：如图，AB
15、=AC,BD=CD，求证：BAD=CAD.证明：BAD=CAD.在ABD和ACD中，ABDACD（SSS），AB=AC，BD=CD，AD=AD，【变式2】如图，AB=AC,BD=CD，E为AD上一点，求证：BE=CE.证明：BAD=CAD.在ABD和ACD中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，BE=CE.在ABE和ACE中，AB=AC，BAD=CAD，AE=AE，ABDACD（SSS）.ABEACE（SAS）.【拓展】如图，已知CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB的中点，求证：DM=DN.在ABD与CBD中，证明:CA=CB ，AD=BD ，CD=CD，ACDBCD（SSS），连接
16、CD，如图所示.A=B.又M、N分别是CA、CB的中点，AM=BN.在AMD与BND中，AM=BN，A=B，AD=BD，AMDBND（SAS），DM=DN.边角 边内容有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意1.已知两边，必须找“夹角”.2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 课堂总结课堂总结“角边角”定理如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ABCABC“两角及夹边”“两角和其中一角的对边”它们能判定两个三角形全等吗？第3课时 角边角、角角边条件判定 先任意画出一个ABC，再画一个A B C ，使A B =A
17、B，A =A，B =B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的A B C 剪下，放到ABC上，它们全等吗？ACBACBABCED作法：（1）画AB=AB;（2）在AB的同旁画DAB=A，EBA=B，AD、BE相交于点C.想一想：从中你能发现什么规律？“角边角”判定方法文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.几何语言：A=A，AB=A B，B=B，在ABC和和A B C中，ABC A B C（ASA）.AB CA B C 已知：ABCDCB，ACB DBC，求证：ABCDCBABCDCB，BCCB（公共边），ACBDBC，证明：在ABC和DCB中，A
18、BCDCB（ASA）.BCAD 判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等 例1 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,B=C,求证：AD=AE.ABCDE分析：证明ACDABE,就可以得出AD=AE.证明：在ACD和ABE中，A=A，AC=AB，C=B，ACDABE（ASA)，AD=AE.例2若三角形的两个内角分别是60和45，且45所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?6045用“角角边”判定三角形全等6045思考：这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？75 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.A=A
19、，B=B，AC=AC，在ABC和和ABC中，ABC A B C（AAS）.AB CA B C 在ABC和DEF中，AD，B E，BC=EF.求证：ABCDEF证明：在ABC中，A+B+C180.BE，BCEF，CF.ABCDEF（ASA）.C180AB.同理同理 F180DE.又又 AD，B E,CF.在ABC和DEF中，例3 如图，已知：在ABC中，BAC90，ABAC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)BDAAEC；例4证明：(1)BDm，CEm，ADBCEA90，ABDBAD90.ABAC，BADCAE90，ABDCAE.在BDA和AEC中，ADB=
20、CEA=90，ABDCAE,ABAC，BDAAEC(AAS).(2)DEBDCE.BDAE，ADCE，DEDAAEBDCE.证明：BDAAEC,方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化 1.ABC和DEF中，ABDE，BE，要使ABCDEF，则下列补充的条件中错误的是（）AACDF BBCEF CAD DCF 2.在ABC与ABC中，已知A44，B67，C69，A44，且ACAC，那么这两个三角形（）A一定不全等 B一定全等 C不一定全等 D以上都不对 AB 3.如图，已知ACB=DBC，ABC
21、=CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.ABCDABCDEF4.如图ACB=DFE，BC=EF，那么应补充一个条件 ，才能使ABCDEF（写出一个即可）.B=E或A=D或 AC=DF（ASA）（AAS）（SAS）AB=DE可以吗？可以吗？ABDE5.已知：如图，ABBC，ADDC，1=2,求证：AB=AD.ACDB1 2证明：ABBC，ADDC，B=D=90.在ABC和ADC中，1=2 ，B=D，AC=AC，ABCADC（AAS)，AB=AD.【学以致用】如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能
22、配一块与原来一样的三角形模具?如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?321答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.【拓展】已知：如图，ABC ABC，AD、A D 分别是ABC 和ABC的高.试说明AD AD，并用一句话说出你的发现.ABCDA B C D 解：因为ABC ABC，所以AB=AB，ABD=ABD.因为ADBC，ADBC，所以ADB=ADB.在ABD和ABD中，ADB=ADB，ABD=ABD，AB=AB，所以ABDABD.所以AD=AD.发现：全等三角形对应边上的高也相等.ABCDA B C D 边 角 边角 角 边内 容应 用为证明线段和角相等提供了新的证法注
23、意注意“角角边”“角边角”中两角与边的区别课堂总结课堂总结1 1、判定两个三角形全等方法，、判定两个三角形全等方法，。SSSASAAASSAS2 2、如图，、如图，AB BEAB BE于于B B，DE BEDE BE于于E E，（1 1）若）若 A=DA=D，AB=DEAB=DE，则，则 ABCABC与与 DEF_DEF_ （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）根据）根据 （用用简写法）简写法）ABCDEF 全等全等ASA第第4课时课时 斜边、直角边斜边、直角边 （HL条件判定）条件判定）ABCDEF（2 2）若）若 A=DA=D，BC=EFBC=EF，则则 ABCABC与与 DEFDEF
24、 （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）根据）根据 （用简写法）用简写法）AAS全等全等（3 3）若）若AB=DEAB=DE，BC=EFBC=EF，则则 ABCABC与与 DEFDEF （填（填“全等全等”或或“不全不全等等”）根据）根据 （用简写法）用简写法）全等全等SAS（4 4）若）若AB=DEAB=DE，BC=EFBC=EF，AC=DFAC=DF则则 ABCABC与与 DEFDEF （填（填“全等全等”或或“不全不全等等”）根据）根据 （用简写法）用简写法）全等全等SSS问题问题2任意画一个任意画一个RtABC，使，使C=90，再画，再画一个一个RtABC使使C=90，BC=BC，
25、AB=AB，然后把画好的，然后把画好的RtABC剪下来放到剪下来放到RtABC上，你发现了什么？上，你发现了什么？实验操作探索实验操作探索“HL”判定方法判定方法ABCABC（1）画画MCN=90；（2）在射线）在射线CM上取上取BC=BC；（3）以以B为圆心，为圆心，AB为半径画弧，为半径画弧，交射线交射线C N于点于点A；（4）连接）连接AB实验操作探索实验操作探索“HL”判定方法判定方法现象：现象：两个直角三角形能重合两个直角三角形能重合说明：说明：这两个直角三角形全等这两个直角三角形全等画法：画法：A NMCB斜边斜边和和一条直角边对应相等一条直角边对应相等的的两个直角三角形两个直角三
26、角形全等全等.斜边、直角边公理斜边、直角边公理 (HL)ABCA BC 在RtABC和Rt 中AB=BC=RtABCCBABACB(HL)CBARtC=C=90斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.CDAB例例1 1 如图，如图，AC=ADAC=AD，CC，DD是直角，求证：是直角，求证：ABCABCABDABD证明：证明：在在RtRtACBACB和和RtRtADBADB中中 AB=ABAB=AB（公共边）（公共边）,AC=AD AC=AD.Rt RtACBRtACBRtADB(HL).ADB(HL).练习练习1 1：如图，如图，AB=CD,
27、AB=CD,BFAC,DEAC,BFAC,DEAC,AE=CFAE=CF求证：求证：ABFABFCDECDEAFCEDBAE=CFAE=CF AE+EF=CF+EFAE+EF=CF+EF即即AF=CEAF=CE ABFABFCDECDEG如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF,连接BD,交AC于G.求证：BD平分EFABCDEFEGDEGD FGBFGBDEGDEG BFGBFGBD平分EF例例2 如图，如图，ACBC，BDAD，ACBD.求证：求证：BCAD.ABCD证明：证明：ACBC，BDAD C与与D都是直角都是直角.AB=BA,AC=BD.RtRtABCABCRtRtBAD
28、 BAD(HLHL).).BC BCADAD在在 RtRtABC ABC 和和 RtRtBAD BAD 中，中，练习练习2 2：如图，两根长度为如图，两根长度为1212米的绳子，一端米的绳子，一端系在杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，系在杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。的理由。解：BD=CD理由：在理由：在RtADB和和RtADC中中 所以所以RtRtABDRtABDRtACD(ACD(HLHL)所以所以BD=CD AB=AC,AD=AD.议一议议一议如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度如图
29、，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯相等，两个滑梯的倾斜角的倾斜角ABC和和DFE的大小有什么关系？的大小有什么关系？ABC+DFE=90联系实际 综合应用解解：在：在RtABC和和RtDEF中中 BC=EF,AC=DF.RtABC RtDEF(HL).ABC=DEF(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等).DEF+DFE=90,ABC+DFE=90知识回顾：知识回顾：直角三角形直角三角形 全等的条件：全等的条件：1 1）定义（重合）法；）定义（重合）法；SSSSSS；SASSAS；ASAASA；AAS.AAS.2 2）解题）解题中常用的中常用的4 4种方法种方法3）HL直角三角形全等用直角三角形全等用这节课你有什么收获呢？这节课你有什么收获呢？
