1、高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）合肥市2022 年高三第一次教学质量检测 数学(理)试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分分.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分.13.2 14.1或9 15.29 16.(1)13；(2)324 三、解答题：三、解答题：17.(本小题满分本小题满分12分分)在抽取的样本中，被认定为小微企业的频率为0.8，以此估计总体中被认定为小微企业的概率为0.8.2016-2020年该创新小镇新增企业数共有120家，估计2021年
2、被认定为小微企业的共有968.0120家.6分 由表中数据计算得3x，24y，7.5b，1.5a，所以1.57.5yx.2022年，即当7x时，由线性回归方程可得54 y，所以，估计2022年这个创新小镇新增企业的数量约为54家.12分 18.(本小题满分本小题满分12分分)解：(1)6sincos3sin2yxxx，3sin 23f xx.由222232kxkkZ得，5 1212kxkkZ，)(xf的单调递增区间为5 1212kkkZ，；6分(2)由3sin523AfA 得5sin3A.2BA，A为锐角，2cos3A.由正弦定理得sinsinabAB，即3sinsin2bAA，从而6cos4
3、bA.21coscos212sin9BAA ，由余弦定理222cos2acbBac得，2191696cc，解得73c.12分 19.(本小题满分本小题满分12分分)解：(1)取BE的中点为O，连接OA，OD.ABAE，AOBE.BECD，ADCD，ADBE.AOADA，BE平面AOD，BEOD.在平面BCDE中，90BCD,CDBE,BEBC，又BEOD,BCOD.BECD，四边形BCDO为矩形，12CDOBBE.6分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D A B D B C C D A 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页）A BDCM
4、EOx y z(2)平面ABE平面BCDE，交线为BE.由(1)知，AOBE，AO平面BCDE，AOOE，AOOD.由(1)知，OEOD，OAODOE，两两垂直.以O为原点，直线OAODOE，分别为xyz，轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.由已知得D(0，2，0)，E(0，0，1)，M(11 1 2，)，0 2 1DE，11 1 2DM，.设平面MDE的一个法向量mxyz，.由00m DEm DM，得2010.2yzxyz，取1y，则2z，2x，2 1 2m，.平面ABE的一个法向量为0 1 0n，设平面MDE与平面ABE所成角为，1|cos|cos3|m nm nmn ，从而2 2sin
5、3.12分 20.(本小题满分本小题满分12分分)解：(1)因为 02p，是抛物线E的焦点，所以点M到点02p，距离为02px.由已知得0005224pxxx，解得5p.抛物线E的方程为210yx.5分(2)假设存在t满足题意，由题意可以判断，直线l的斜率存在且不为0，设其斜率为k，则直线l的方程为yk xt，以线段AO为直径的圆的方程为220 xtxy.由220()xtxyyk xt解得22211k tktBkk，由2ACAB得C22212 11ktktkk，由3ADAB得D22223 11ktktkk，.代入抛物线E的方程得，422221 10421.109tkkkktk，解得5125tk
6、 ，.当12t 且直线l的斜率为55时，点BC，恰为线段AD的两个三等分点.12分 21.(本小题满分本小题满分12分分)解：(1)fx的定义域为(0,)由 ln xfxxa得，1xafx.切点为(1，1)，且1a ，切线的斜率为2，高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 4 页）从而所求切线方程为210 xy.4分(2)由(1)得，1xafx.不等式 2afxxf xx恒成立，即不等式1ln0aaxxx恒成立.当0a 时，不等式1ln0aaxxx恒成立，满足条件；当0a 时，(0,)x，1ln0axxx恒成立，所以(0,)x，2lnaxxx恒成立.设 2lng xxxx，则 12 lngx
7、xxx 1(1)2 lnxxx.当01x，时，0gx；当1x，时，0gx.g x在01，上单调递增，在1，上单调递减，11ag，满足条件；当0a 时，(0,)x，1ln0axxx恒成立，所以(0,)x，2lnaxxx恒成立.由知，2lng xxxx在0 1，上单调递增，在1，上单调递减.0a，11ae，111111(1)1(1)aaaaag eeeaeaaea.2lnaxxx不恒成立，即0a 不满足条件.综上得，1a，或0a.12分 22.(本小题满分本小题满分10分分)解：(1)曲线1C的参数方程为3cossin xtyt，(t为参数)由22cossin1tt得，2213xy，曲线1C的普通
8、方程为2219xy.曲线2C的极坐标方程为28 sin120，222sinxyy，曲线2C的直角坐标方程为228120 xyy，即2244xy.5分 (2)设3cos sinPtt，tR，记2C04，22223cos0sin4PCtt22=9cossin8sin16ttt 2=8sin8sin25tt21=8 sin272t，当1sin 1,12t 时，22PC取最大值27，224PQPC，PQ的最大值为23.10分 高三数学试题（理科）答案 第 4 页（共 4 页）23.(本小题满分本小题满分10分分)解：(1)由条件 21212321211.xxf xxxxxx，作出函数 yf x的图象和直线6y，记交点为CD，.易求57 6 622CD，=6CD.如图，所围图形为梯形ABCD，梯形的高为3，另一底长为3，封闭图形的面积为12736322S.5分(2)对Rx，1y，213yf xy，等价于Rx，1y，231yf xy，等价于 2minmin31yf xy.11f xxxaa，2344122126111yyyyyy，当且仅当3y 时取等号，16a，解得5a 或7a ，a的取值范围为(,7 5,).10分
