1、3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程 通过图片我们看到，在我们所生活的世通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手动手画一个标准的椭圆画一个标准的椭圆呢？呢？实验操作实验操作(1)(1)取一条定长的细绳；取一条定长的细绳；(2)(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；把它的两端都固定在图板的同一点处；(3)(3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆如果把细绳的两端拉开一段
2、画出的轨迹是一个圆如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆.探究点探究点1 1 椭圆的定义椭圆的定义根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：1.1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？的还是运动的？2.2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？明了什么？3.3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大在画椭圆的过程中，绳
3、子长度与两定点距离大小有怎样的关系？小有怎样的关系？椭圆定义：椭圆定义：我们把平面内与两个定点我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和的距离的和等于常数等于常数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆.两个定点两个定点F1，F2叫做椭圆的叫做椭圆的焦点焦点.两焦点间的距离叫做两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距.结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|F|F1 1F F2 2|椭圆椭圆|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2|线段线段|MF|
4、MF1 1|+|MF|+|MF2 2|F|F1 1F F2 2|不存在不存在思考：思考：在平面内动点在平面内动点M M到两个定点到两个定点F F1 1，F F2 2的距离之的距离之和等于定值和等于定值2a2a的点的轨迹是否一定为椭圆？的点的轨迹是否一定为椭圆？【提升总结提升总结】第一步：第一步：如何建立适当的坐标系呢？如何建立适当的坐标系呢？想一想：想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？类似的方法呢？OxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyM探究
5、探究2 2 根据椭圆的定义我们来求根据椭圆的定义我们来求椭圆的方程椭圆的方程 设设M(x,y)(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为焦点分别为F1 1和和F2 2，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为2c(c0)2c(c0)，M与与F1 1和和F2 2 的距离的和等于的距离的和等于2a(2a2c0).2a(2a2c0).解：解：以焦点以焦点F F1 1,F,F2 2的所在直线为的所在直线为x x轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的的垂直垂直平分线平分线为为y y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系xOy(xOy(如图如图).).设设M(x,y)M(x,
6、y)是椭圆上任意一点，椭圆是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为的焦距为2c(c0)2c(c0)，M M与与F F1 1和和F F2 2的距离的的距离的和等于正常数和等于正常数2a 2a(2a2c)(2a2c)，则，则F F1 1，F F2 2的坐标分别是的坐标分别是(c,0)c,0)、(c,0)(c,0).x xF F1 1F F2 2M MOy y122|.MFMFa222212|(),|(),MFxcyMFxcy22222()().xcyxcya所所以以由椭圆的定义得由椭圆的定义得因为因为222222244()()(),xcyaaxcyxcy222(),acxaxcy移项，再平方移项，再平方解：
7、设椭圆的标准方程为(1)取一条定长的细绳；结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？(1)取一条定长的细绳；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.|MF1|+|MF2|F1F2|不存在解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？（3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.椭圆的标准方程有哪些特征呢？探究2 根据椭圆的定义我们来求椭圆的方程(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？设M(x,
8、y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1，F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).1 椭圆及其标准方程MNF2的周长为（）(1)取一条定长的细绳；根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：(1)取一条定长的细绳；已知F1，F2是椭圆 的两个焦点，222221.xyaac 整理得整理得4222222222222,aa cxc xa xa cxa ca y两边再平方，得两边再平方，得22222222()(),acxa ya ac222()aac两两边边同同除除以以，得得：222210().xyabab所所以以的的方方程程椭椭圆圆为为22
9、2-0(),bacab解解令令：1F2FxyOP22-,a cac请请看看图图片片：你你能能从从图图中中找找出出表表示示的的线线段段吗吗？ac22ca 222210().yxabab似似的的也也可可以以得得到到的的方方程程类类椭椭圆圆为为2222210.()yxabab也也把把形形如如叫叫做做椭椭圆圆的的标标准准方方程程，2222110.xyabab我我们们把把形形如如的的方方程程叫叫做做椭椭圆圆的的标标准准方方程程，它表示焦点在它表示焦点在y y轴上的椭圆轴上的椭圆.它表示焦点在它表示焦点在x x轴上的椭圆轴上的椭圆.1oFyx2FM1 12 2yoFFMx（1 1）椭圆的标准方程的形式：左
10、边是两个分式）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是的平方和，右边是1;1;（2 2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x x2 2与与y y2 2的分母哪一个大，的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上则焦点在哪一个轴上;（3 3）椭圆的标准方程中）椭圆的标准方程中a a，b b，c c满足满足a a2 2=b=b2 2+c+c2 2.椭圆的标准方程有哪些特征呢？椭圆的标准方程有哪些特征呢？【提升总结提升总结】例例1 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0),),(2,0),(2,0),并且经过点并且经过点 .求它的标准方程求它的标准方程.5
11、3(,)22 课本课本4242页页A A组第组第2 2题的第（题的第（1 1）小题）小题课本课本3636页页1 1、2 2题题【变式练习变式练习】已知椭圆经过两点已知椭圆经过两点 和和 ，求椭，求椭圆的标准方程圆的标准方程.)25,23()5,3(221(0,0,),mxnymnmn解：解：设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为222235()()122(3)(5)1mnmn，11,.610mn则有则有 解得解得 221610 xy所以，所求椭圆的标准方程为所以，所求椭圆的标准方程为 .1.1.已知已知F F1 1，F F2 2是椭圆是椭圆 的两个焦点，的两个焦点，过过F F1 1的直线交椭圆于
12、的直线交椭圆于M M，N N两点，则三角形两点，则三角形MNFMNF2 2的周长为（的周长为（）A.10 B.20 A.10 B.20 C.30 D.40 C.30 D.40 192522yxB ByoF1F2MxN已知F1，F2是椭圆 的两个焦点，(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？探究2 根据椭圆的定义我们来求椭圆的方程通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.MNF2的周长为
13、（）设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2 的距离的和等于2a(2a2c0).(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？（3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.椭圆的标准方程有哪些特征呢？所以，所求椭圆的标准方程为 .已知F1，F2是椭圆 的两个焦点，所以，所求椭圆的标准方程为 .在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？(1)取一条定长的细绳；MNF2的周长为（）|MF1|+|MF2|F1F2|不存在例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),222210 xyabab 222210 yxabab定定 义义图图 形形方方 程程焦焦 点点F(F(c c，0)0)F(0F(0，c)c)a,b,ca,b,c的关系的关系222bacP|PFP|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,2a|F|=2a,2a|F1 1F F2 2|1 12 2y yo oF FF FP Px xy yx xo o2F FP PF F1(a b ca,中,中 最最大大)
