1、第二讲 微积分基本公式1 12022-12-3微积分基本公式微积分基本公式一、牛莱公式及其应用二、积分上限函数及其应用2 22022-12-3微积分基本公式微积分基本公式一、牛莱公式及其应用二、积分上限函数及其应用3 32022-12-3变速直线运动的路程变速直线运动的路程)(tss 1T2T)(1Ts)(2Ts2121()d()()TTv tts Ts T 推广推广)(tvv 21d)(TTttv)()(12TsTs)()(tvts 物理事实物理事实)()(xfxF 一般情况下一般情况下)()(d)(aFbFxxfba?4 42022-12-3定义定义 称为积分上限的函数称为积分上限的函数.
2、性质性质定理定理1 1)(xfy xbaoy)(xxxxu例例1 1积分上限的函数积分上限的函数设设)(d)()(bxattfxxa 在在,ba在区间在区间如果函数如果函数)(xf,ba上连续上连续,那么积分上限的函数那么积分上限的函数 xattfxd)()(上可导，并且它的导数上可导，并且它的导数)()(d)(dd)(bxaxfttfxxxa xatt d12求求5 52022-12-3定理定理3 3定理定理2 2牛牛莱公式莱公式)()(d)(aFbFxxfba那么那么如果函数如果函数F F(x x)为连续函数为连续函数f f(x x)在在 a a,b b 上的一个原函数上的一个原函数()d
3、baf xx注注()()F bF a()()Fba()()fba定积分定积分不定积分不定积分牛牛莱公式莱公式 微分微分中值定理中值定理 积分积分中值定理中值定理函函 数数导导 数数就是就是f f(x x)在在 a a,b b 上的一个原函数上的一个原函数在区间在区间如果函数如果函数)(xf,ba上连续上连续,那么函数那么函数 xattfxd)()(牛顿牛顿 -莱布尼茨公式莱布尼茨公式 6 62022-12-3牛牛莱公式莱公式()dbaf xx注注()()F bF a()()Fba()()fba积分学积分学牛牛莱公式莱公式 微分微分中值定理中值定理 积分积分中值定理中值定理微分学微分学牛顿牛顿
4、-莱布尼茨公式莱布尼茨公式 定理定理3 3定理定理2 2)()(d)(aFbFxxfba则则如果函数如果函数F F(x x)为连续函数为连续函数f f(x x)在在 a a,b b 上的一个原函数上的一个原函数就是就是f f(x x)在在 a a,b b 上的一个原函数上的一个原函数.在区间在区间如果函数如果函数)(xf,ba上连续，则函数上连续，则函数 xattfxd)()(7 72022-12-3u例例2 2u例例3 3u例例5 5 计算曲线计算曲线y y=sin=sinx x在在0,0,上上与与x x轴围成的平面图形的面积轴围成的平面图形的面积.yoxxysin汽车以每小时汽车以每小时3
5、6km 的速度行驶的速度行驶,停车停车,2sm5a刹车刹车,问从开始刹车到停车走了多少距离问从开始刹车到停车走了多少距离?到某处需要减速到某处需要减速设汽车以等加速度设汽车以等加速度u例例6 6u例例4 410()sin101xxf xxx 求求11()d.f xxu例例7 7求极限求极限11lim1nniinn.1d312 xx计算计算计算计算8 82022-12-3微积分基本公式微积分基本公式一、牛莱公式及其应用二、积分上限函数及其应用9 92022-12-3微积分基本公式微积分基本公式一、牛莱公式及其应用二、积分上限函数及其应用10 102022-12-3推论推论例例例例例例例例定义定义
6、 性质性质积分上限的函数积分上限的函数称为积分上限的函数称为积分上限的函数.设设)(d)()(bxattfxxa 若若在在)(xf,ba上连续，则上连续，则)()(xfx )(d)()(xgattfx若若在在)(xf,ba上连续，上连续，)(),(xhxg可导可导)()()(xgxgfx bxttfxd)()()()(xfx bxhttfx)(d)()()()()(xhxhfx )()(d)()(xgxhttfx)()()()()(xhxhfxgxgfx 20dsinxtt求求 02tdxte求求 0cos2dxtt求求 xxttccossin2)dos(求求11 112022-12-3应用应用u例例8 80)(),0)(xfCxf证明证明xxdttfdtttfxF00)()()(在在),0 内单调增加内单调增加.只要有函数的地方，就可以有积分上限函数的题目只要有函数的地方，就可以有积分上限函数的题目只要是积分上限函数的题目，就应该考虑其导数只要是积分上限函数的题目，就应该考虑其导数u例例9 9求求21cos20dlim.txxetx 12 122022-12-3
