1、一二一、指数函数的定义函数y=ax(a0,a1)叫作指数函数,其中x是自变量.【做一做1】函数f(x)=(m2-m-1)ax是指数函数,则实数m=()A.2B.1C.3D.2或-1解析:由指数函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或-1,故选D.答案:D一二二、指数函数y=ax(a0,a1,xR)的图像和性质一二一二【做一做2】(1)函数y=(-1)x在R上是()A.增函数B.奇函数C.偶函数D.减函数(2)如图是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像,则a,b,c,d与1的大小关系是()A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab1dc一二(2)(方法一)在中底数小于
2、1且大于零,在y轴右边,底数越小,图像越靠近x轴,故有ba.在中底数大于1,底数越大,图像越靠近y轴,故有dd1ab.故选B.答案:(1)D(2)B一二函数y=a|x|(a0,且a1)的定义域、值域、奇偶性、单调性分别如下:一二思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)指数函数y=mx(m0,且m1)是R上的增函数.()(2)指数函数y=ax(a0,且a1)是非奇非偶函数.()(3)所有的指数函数图像过定点(0,1).()(4)函数y=a|x|与函数y=|ax|的图像是相同的.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三探究四思想方法指数函数定义的理
3、解指数函数定义的理解【例1】(1)下列函数中,一定是指数函数的是.(填序号)(2)若指数函数g(x)的图像经过点(-1,5),则g(2)=.探究一探究二探究三探究四思想方法探究一探究二探究三探究四思想方法1.判断一个函数是否是指数函数,关键是分析该函数的解析式是否完全符合指数函数的解析式y=ax(a0,且a1),其特征是:(1)底数a为大于0且不等于1的常数,不含有自变量x;(2)指数位置是自变量x,且x的系数是1;(3)ax的系数是1.2.确定指数函数解析式的实质是确定参数a的值,这时可通过待定系数法求解.探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练变式训练1(1)已知指数函数图像经过点P(-1
4、,3),则f(3)=.(2)已知函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x为指数函数,则a=.探究一探究二探究三探究四思想方法指数型函数的定义域与值域问题指数型函数的定义域与值域问题【例2】(1)求下列函数的定义域与值域:分析:(1)求定义域要根据函数自身的要求,找出关于x的不等式或不等式组,解此不等式或不等式组可得定义域.求值域要根据定义域,借助换元思想与指数函数的单调性求解;(2)先求出y=2x-x2的最值,再结合指数函数的单调性确定原函数的最值.探究一探究二探究三探究四思想方法探究一探究二探究三探究四思想方法函数y=af(x)的定义域、值域的求法(1)函数y=af(x)的定义域即y=f
5、(x)的定义域.(2)函数y=af(x)的值域的求法如下:换元,令t=f(x);求t=f(x)的定义域xD;求t=f(x)的值域tM;利用y=at的单调性求y=at,tM的值域.探究一探究二探究三探究四思想方法答案:(1)A(2)(0,1 探究一探究二探究三探究四思想方法指数型函数的图像指数型函数的图像问题问题 A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度(2)函数y=ax-1+2(a0,且a1)的图像恒过定点.(3)方程2|x|+x=2的实根的个数为.探究一探究二探究三探究四思想方法(2)(方法一)指数函数y=ax(a0,a1)的图像过定点
6、(0,1),函数y=ax-1+2中令x-1=0,即x=1,则y=1+2=3.函数图像恒过定点(1,3).(方法二)函数可变形为y-2=ax-1,把y-2看作x-1的指数函数,则当x-1=0,即x=1时,y-2=1,即y=3.函数图像恒过定点(1,3).(方法三)由图像变换可知:指数函数y=ax(a0,且a1)的图像过定点(0,1),y=ax-1的图像恒过定点(1,1).y=ax-1+2的图像恒过点(1,3).探究一探究二探究三探究四思想方法(3)由2|x|+x=2,得2|x|=2-x.在同一坐标系中作出函数y=2|x|与y=2-x的图像(如图),可观察到两个函数图像有且仅有2个交点,故方程有2
7、个实数根,应填2.答案:(1)D(2)(1,3)(3)2 探究一探究二探究三探究四思想方法1.牢记指数函数y=ax(a0,a1)的图像恒过定点(0,1),分布在第一和第二象限.2.对于形如“f(x)-g(x)=0”的等式,若讨论方程根的个数,一般将等式化归为“f(x)=g(x)”的形式,并且使等号两边的函数能方便画出图像,这样把方程根的个数问题变成了两函数图像交点个数问题.探究一探究二探究三探究四思想方法3.平移变换(0),如图(1)所示.4.对称变换,如图(2)所示.探究一探究二探究三探究四思想方法(2)如果a1,b0,a1).分析:由于(1)(2)中的底数相同,因此可直接应用指数函数的单调
8、性进行比较,而(3)中的底数不同,指数也不同,可借助中间值来比较大小,(4)中底数相同,但范围不确定,应讨论.解:(1)因为3.31,所以指数函数y=3.3x在R上为增函数.又因为0.10.2,所以3.30.13.30.2.(2)因为00.8-0.2,所以0.8-0.11,0.93.10.93.1.(4)当a1时,函数y=ax在R上是增函数,此时a1.3a2.5;当0aa2.5.故当a1时,a1.3a2.5;当0aa2.5.探究一探究二探究三探究四思想方法如何比较幂值的大小若底数相同,则可根据指数函数的单调性得出结果;若底数不相同,则首先考虑能否化为同底数,然后根据指数函数的单调性得出结果;不
9、能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之,比较时要尽量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断.探究一探究二探究三探究四思想方法【例5】解下列不等式.(2)a2x+1-a-3x0(a0,且a1).分析:本题考查利用指数函数性质解指数不等式的方法.求解时需将所给不等式化为两边均含相同底数的形式,利用指数函数的单调性转化为关于指数的不等式求解.探究一探究二探究三探究四思想方法探究一探究二探究三探究四思想方法解指数方程或指数不等式要注意:1.指数方程的类型可分为:(1)形如af(x)=ag(x)(a0,a1)的方程,化为f(x)=g(x)求解.(2)形如
10、a2x+bax+c=0的方程,用换元法求解.2.指数不等式的类型为:af(x)ag(x)(a0,a1):当a1时,f(x)g(x);当0a1时,f(x)0,且a1)是奇函数.(1)求k的值;(2)若f(1)0,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(x-4)0;(3)若f(1)=,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在1,+)上的最小值为-2,求m的值.分析:(1)根据f(x)是R上的奇函数,利用f(0)=0求k即可;(2)先利用f(1)0求得实数a的范围,再根据函数的单调性解关于x的不等式即可;(3)先利用f(1)=求出实数a的值,再利用换元法将问题转化为二次函数的最值问题.探究一探究二
11、探究三探究四思想方法探究一探究二探究三探究四思想方法1.特殊值法主要用在解选择题上,在解答题中有时也起到很重要的作用,如本例中利用奇函数在原点有意义的特殊性求解,比利用奇函数的定义求解简单.2.对指数函数的性质要记准记牢,特别是指数函数的单调性在解题中的应用要掌握,如本例中就需要根据函数的单调性得到关于x的不等关系.3.在解含有字母的问题时要重视分类讨论思想的应用,如本例中在求二次函数的最值时,就需要根据字母m的范围确定顶点的位置.123456答案:B 78123456答案:B 781234563.当a1时,函数y=ax和y=(a-1)x2的图像只可能是()解析:由a1知函数y=ax的图像过点(0,1),分布在第一象限和第二象限,且从左到右是上升的.由a1知,函数y=(a-1)x2的图像开口向上,对称轴为y轴,顶点为原点.故选项A正确.答案:A781234564.函数f(x)=a3-x+1(a0,a1)的图像恒过定点.答案:(3,2)78
