1、第四章第四章 圆与方程圆与方程圆的概念圆的概念v1定义：平面内到定点的距离等于定义：平面内到定点的距离等于_的点的集合叫做圆，其中定的点的集合叫做圆，其中定点叫点叫_，定长叫，定长叫_v2确定圆的基本条件确定圆的基本条件 已知已知_和和_可以确定一个圆可以确定一个圆 _确定圆的位置，确定圆的位置，_确定圆的大小确定圆的大小定长定长圆心圆心半径半径圆心圆心半径半径 圆心圆心半径半径圆心圆心半径半径4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程 1.设圆的圆心是设圆的圆心是C(a,b),半径为半径为r,则则圆的标准方程是圆的标准方程是_.(x-a)2+(y-b)2=r2 在坐标平面上，平面被圆分成三个部分：
2、圆上的点，圆内的点及圆外的点，那么如何判断点与圆的这三种位置关系呢？在坐标平面上，平面被圆分成三个部分：圆上的点，圆内的点及圆外的点，那么如何判断点与圆的这三种位置关系呢？判断方法是由两点间的距离公式判断方法是由两点间的距离公式,求出该点到圆心的距离求出该点到圆心的距离,再与圆的半径比较大小即可再与圆的半径比较大小即可.设点设点P(x0,y0)到圆到圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心的圆心C的距离为的距离为d,则则2200|()(),dPCxayb点与圆的位置关系点与圆的位置关系(1)将所给的点将所给的点P与圆心与圆心C的距离的距离d跟半径跟半径r比较：比较：若若|PC|r，则点，则
3、点M在圆在圆C上；上；若若|PC|r，则点，则点M在圆外；在圆外；若若|PC|r，则点，则点M在圆内在圆内(2)可利用圆的标准方程来确定可利用圆的标准方程来确定点点P(m，n)在圆在圆C上上_；点点P(m，n)在圆在圆C外外_；点点P(m，n)在圆在圆C内内_.(ma)2(nb)2r2(ma)2(nb)2r2(ma)2(nb)2r2下表归纳点与圆的位置关系及判断方法下表归纳点与圆的位置关系及判断方法位置关系位置关系判定方法判定方法几何法：用几何法：用|MC|与与r作比较作比较代数法：用圆的标准方程来代数法：用圆的标准方程来判定判定点点M在圆在圆C上上|CM|r(ma)2(nb)2r2点点M在圆
4、在圆C外外|CM|r(ma)2(nb)2r2点点M在圆在圆C内内|CM|r(ma)2(nb)2r22.求圆的标准方程的常用方法求圆的标准方程的常用方法(1)几何法几何法利用圆的几何性质利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程得结果代入圆的标准方程得结果.(2)待定系数法待定系数法由三个独立条件得到三个方程由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而从而确定圆的标准方程确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是一般步骤是:先设方程先设方程,再列再列式式,后求解
5、后求解.题型一题型一 求圆的标准方程求圆的标准方程例例1:求满足下列条件的圆的标准方程求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心在原点圆心在原点,半径为半径为3;(2)圆心在点圆心在点(-2,1),半径为半径为(3)经过点经过点P(5,1),圆心在点圆心在点(8,-3).分析分析:(1)(2)直接写圆的方程直接写圆的方程,(3)可根据两点间的距离公式求半径可根据两点间的距离公式求半径,再写出圆的标准方程再写出圆的标准方程.5;解解:(1)圆心圆心(0,0),半径为半径为3,圆的方程为圆的方程为x2+y2=9.(2)圆心圆心(-2,1),半径半径圆的方程为圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.(
6、3)圆的半径圆的半径 又圆心为又圆心为(8,-3),圆的方程为圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.5,r 22(85)(31)5,r 规律技巧规律技巧:圆的标准方程圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中中,有三个参数有三个参数a,b,r,只要求出只要求出a b r,这时圆的方程被确定这时圆的方程被确定,因此因此,确定圆的方程确定圆的方程,需要三个独立条件需要三个独立条件.题型二题型二 用待定系数法求圆的方程用待定系数法求圆的方程例例2:求圆心在直线求圆心在直线2x-y-3=0上上,且过点且过点(5,2)和点和点(3,-2)的圆的方程的圆的方程.分析分析:因为条件与圆心有直接关系
7、因为条件与圆心有直接关系,因此设圆的标准方程即可解决问题因此设圆的标准方程即可解决问题.圆的方程为圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.解法解法2:圆过圆过A(5,2),B(3,-2)两点两点,圆心一定在线段圆心一定在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.规律技巧规律技巧:确定圆的方程需要三个独立条件确定圆的方程需要三个独立条件,“选标准选标准 定参数定参数”是解题的基本方法是解题的基本方法.其中其中,选标准是根据已知条件选恰当的圆选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式的方程的形式,进而确定其中三个参数进而确定其中三个参数.题型三题型三 点和圆的位置关系点和圆的位置关系例例3:已知圆
8、心已知圆心C(3,4),半径半径r=5,求此圆的标准方程求此圆的标准方程,并判断点并判断点A(0,0),B(1,3)在圆上在圆上 圆圆外还是圆内外还是圆内.解法解法1:所求圆的方程为所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.点点A(0,0)与圆心与圆心C(3,4)的距离的距离d=5,而而r=5,d=r,点点A在圆上在圆上.点点B(1,3)与圆心与圆心C(3,4)的距离的距离 点点B在圆内在圆内.22(13)(34)55,d 规律技巧规律技巧:判断点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系,通常用两种方法通常用两种方法,一种是利一种是利用点与圆心的距离用点与圆心的距离d与半径与半径r的大小关系来
9、判定的大小关系来判定.另一种方法是把点另一种方法是把点P(x0,y0)代入圆代入圆的方程的方程.若若(x-x0)2+(y-y0)2r2,则点则点P在圆外在圆外,若若(x-x0)2+(y-y0)2=r2,则点则点P在圆上在圆上;若若(x-x0)2+(y-y0)2r2,则点则点P在圆内在圆内.4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程1.方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)当当_时时,方程表示一个点方程表示一个点,该点的坐标为该点的坐标为_;(2)当当_时时,方程不表示任何图形方程不表示任何图形;(3)当当_时时,方程表示的曲线为圆方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为它的圆心坐标为_,半径等于半
10、径等于_,上述方程称为圆的一般式上述方程称为圆的一般式方程方程.D2+E2-4F=0(,)22DED2+E2-4F0(,)22DE22142DEF2.比较二元二次方程比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出如下结论可以得出如下结论:当二元二次方程具条件当二元二次方程具条件:(1)x2和和y2的系数相同的系数相同,且不等于且不等于0,即即_;(2)没有没有xy项项,即即_;(3)_时时,它才表示圆它才表示圆.A=C0B=0D2+E2-4AF01.圆的标准方程圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2明确了圆
11、心明确了圆心C(a,b),半径半径r,把标准方程展开就可得圆的一般方程把标准方程展开就可得圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中其中D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2).仅当仅当D2+E2-4F0时时,方程方程才表示一个圆才表示一个圆.2.求圆的方程求圆的方程,需知三个条件需知三个条件,知过不共线三点求圆的方程知过不共线三点求圆的方程,用一般式简单用一般式简单.知圆心和知圆心和半径用标准形式简单半径用标准形式简单.题型一题型一 圆的方程的判断圆的方程的判断例例1:判断下列方程是否表示圆判断下列方程是否表示圆,若是若是,化成标准方程化成标准方程.(1)x2+y2+2x+1=
12、0;(2)x2+y2+2ay-1=0;(3)x2+y2+20 x+121=0;(4)x2+y2+2ax=0.分析分析:先将方程配方先将方程配方,化成圆的标准形式化成圆的标准形式,然后再作出判断然后再作出判断.解解:(1)原方程可化为原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点它表示点(-1,0),不表示圆不表示圆.(2)原方程可化为原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1,它表示圆心在它表示圆心在(0,-a),半径为半径为 的圆的圆,标准方标准方程为程为x2+(y+a)2=(3)原方程可化为原方程可化为:(x+10)2+y2=-210,故方程不表示任何曲线故方程不表示任何曲线,故不能表示圆故不
13、能表示圆.(4)原方程可化为原方程可化为(x+a)2+y2=a2.当当a=0时时,方程表示点方程表示点(-a,0),不表示圆不表示圆;当当a0时时,方程表示以方程表示以(-a,0)为圆心为圆心,半径为半径为|a|的圆的圆,标准方程为标准方程为(x+a)2+y2=a2.21a22(1).a 规律技巧规律技巧:对形如对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通的二元二次方程可以通过配方变形成过配方变形成“标准标准”形式后形式后,观察是否表示圆观察是否表示圆;也可以由圆的也可以由圆的一般方程的定义判断一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正是否为正,确定它是否表示圆确定它是否表示圆.题
14、型二题型二 求圆的一般方程求圆的一般方程例例2:试判断试判断A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点是否在同一圆上四点是否在同一圆上.分析分析:先求过先求过A B C三点的圆的方程三点的圆的方程,再把再把D代入圆的方程代入圆的方程,看是否成立即可看是否成立即可.解解:设设A B C三点所在圆的方程为三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把把A B C三点的坐标三点的坐标分别代入圆的方程得分别代入圆的方程得过过A B C三点的圆的方程是三点的圆的方程是x2+y2-2x+2y-23=0,将将D(4,3)代入方程代入方程,适合适合.故故A B C D四点在同一圆上四
15、点在同一圆上.规律技巧规律技巧:求圆的方程常用求圆的方程常用“待定系数法待定系数法”.用用“待定系数法待定系数法”求圆的方程的大致求圆的方程的大致步骤是步骤是:根据题意根据题意,选择标准方程或一般方程选择标准方程或一般方程;根据条件列出关于根据条件列出关于a,b,r或或D,E,F的方程组的方程组;解出解出a,b,r或或D,E,F,代入标准方程或一般方程代入标准方程或一般方程.变式训练变式训练2:求过三点求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程的圆的方程.解解:设所求圆的方程为设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将将A B C三点坐标代入整理得三点坐标代入整理
16、得所求圆的方程为所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.圆的标准方程与一般方程的特点对比圆的标准方程与一般方程的特点对比标准方程标准方程一般方程一般方程(xa)2(yb)2r2x2y2DxEyF0(D2E24F0)指出了圆心坐标和半径大小，几指出了圆心坐标和半径大小，几何特征明显何特征明显是一种特殊的二元二次方程，代数是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显特征明显二者都含有三个特定的系数，要确定方程，均需要三个独立条件二者都含有三个特定的系数，要确定方程，均需要三个独立条件求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程求轨迹方程的五个步骤求轨迹方程的五个步骤v(1)设点：建立适当的坐标系，设曲线上任
17、意一点设点：建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标的坐标(x，y)；v(2)列式：写出点列式：写出点M适合的条件；适合的条件；v(3)代换：用坐标代换：用坐标(x，y)表示条件表示条件p(M)，列出方程，列出方程f(x，y)0；v(4)化简：化方程化简：化方程f(x，y)0为最简形式；为最简形式；v(5)验证：验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点验证：验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点例例3:等腰三角形的顶点是等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是底边的一个端点是B(3,5),求求另一个端点另一个端点C的轨迹方程的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么并说明它的轨迹
18、是什么.解解:设另一端点设另一端点C的坐标为的坐标为(x,y),依题意依题意,得得:|AC|=|AB|,由两点间距离公式得由两点间距离公式得,平方整理得平方整理得,(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点这是以点A(4,2)为圆心为圆心,以以 为半径的圆为半径的圆,但但A B C为三角形的顶点为三角形的顶点,A B C三点不共线三点不共线.当当B与与C重合时重合时,C(3,5),当当BC为直径时为直径时,C(5,-1),2222(4)(2)(43)(25)xy10端点端点C的轨迹方程是的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(3x+y-140).故端点故端点C的轨迹是以的轨迹是以A(4,
19、2)为圆心为圆心,为半径的圆为半径的圆,但要除去但要除去(3,5)和和(5,-1)两两点点.如下图所示如下图所示.10 规律技巧规律技巧:在求轨迹方程时在求轨迹方程时,必须考虑必须考虑C点是三角形的一个顶点是三角形的一个顶点点,故故A B C不能共线不能共线,这一点容易造成失误这一点容易造成失误,应引起高度重视应引起高度重视.4.2.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系1、直线与圆有三种位置关系、直线与圆有三种位置关系:(1)直线与圆直线与圆_,有两个公共点有两个公共点.(2)直线与圆直线与圆_,有一个公共点有一个公共点.(3)直线与圆直线与圆_,没有公共点没有公共点.相交相交相切相切相离
20、相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法、判断直线与圆的位置关系的两种方法(1)利用圆心到直线的距离利用圆心到直线的距离d与半径与半径r的大小判断的大小判断:dr相离相离.(2)联立直线与圆的方程联立直线与圆的方程,转化为一元二次方程转化为一元二次方程,利用判别式利用判别式“”进行判断进行判断:0相交相交,=0相切相切,r;圆圆C与直线与直线l相切相切d=r;圆圆C与直线与直线l相交相交d0.故直线故直线l的方程为的方程为x-2y+5=0,或或2x-y-5=0.1,2k 解法解法2:如右图所示如右图所示,OH是圆心到直线是圆心到直线l的距离的距离,OA是圆的半径是圆的半径,AH是弦长是弦长A
21、B的一半的一半,在在RtAHO中中,OA=5,规律技巧规律技巧:关于弦长问题关于弦长问题,通常有两种方法通常有两种方法,其一称为代数法其一称为代数法,即将直线方程代入圆的方程即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量消去一个变量y(或或x),利用韦达利用韦达定理定理,代入两点间距离公式求解代入两点间距离公式求解.其二称为几何法其二称为几何法,即半弦长即半弦长 弦心距弦心距 半径组成直角三角形半径组成直角三角形,利用直角三角形求解利用直角三角形求解.本例说明本例说明几何法比代数法简便几何法比代数法简便.变式训练变式训练3:求直线求直线l:3x+y-6=0被圆被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长截得
22、的弦长.消去消去y得得x2-3x+2=0,解得解得x1=1,x2=2,y1=3,y2=0.两交点坐标两交点坐标A(1,3),B(2,0),弦长弦长22|(30)(21)10.A B 4.2.2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 圆与圆的位圆与圆的位置关系置关系外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含公共点个数公共点个数_1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系2.圆与圆位置关系的判定圆与圆位置关系的判定几何方法：设两圆半径分别为几何方法：设两圆半径分别为r1，r2，圆心距离为，圆心距离为d，则，则两圆位置两圆位置关系关系图形情况图形情况d与与r1、r2的关系的关系外离外离_dr1r2外切外切_相交相
23、交_dr1r2|r2r1|dr1r2内切内切_内含内含_d|r2r1|d|r1r2|一般地一般地,设圆设圆C1和和C2的方程分别为的方程分别为(x-x1)2+(y-y1)2=r21,(x-x2)2+(y-y2)2=r22.圆心分别为圆心分别为C1(x1,y1),C2(x2,y2),半径分别为半径分别为r1,r2,两圆圆心距两圆圆心距d=|C1C2|=那么那么,当当dr1+r2时时,两圆两圆_.当当d=r1+r2时时,两圆两圆_.当当|r1-r2|dr1+r2时时,两圆两圆_.当当d=|r1-r2|时时,两圆两圆_.当当0dr1+r2;两圆两圆C1、C2外切外切|C1C2|=r1+r2;两圆两圆C1 C2相交相交|r1-r2|C1C2|r1+r2;两圆两圆C1、C2内切内切|C1C2|=|r1-r2|;圆圆C1内含于圆内含于圆C20|C1C2|r,直线与圆相离直线与圆相离,所以轮船不会受到台风影响所以轮船不会受到台风影响.1,74xy22|28|283,6547d 规律技巧规律技巧:选定原点选定原点,建立恰当的直角坐标系建立恰当的直角坐标系,可以简化几何问可以简化几何问题题,将几何问题转化为代数问题将几何问题转化为代数问题.
