1、第十三章 全等三角形13.3.3 全等三角形的判定利用“角边角”和“角角边”判定两个三角形全等知识回顾填一填三sanbian相等两边和它们夹角相等两边和其中一边的对角相等两角和它们的夹边相等两角和一角的对边相等三边对应相等两边和它们的夹角对应相等两边和其中一边的对角对应相等两角和其中一角的对边对应相等两角和它们的夹边对应相等图形条件能否判定两个三角形全等？情景导入 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃吗？如果能，应该带哪一块去？为什么？获取新知知识点判定两三角形全等的基本事实：“角边角“1探究活动
2、一 每人画ABC中，使B=45，BC=3cm，C=30，然后把你的三角形和同桌的三角形叠放在一起，它们能够完全重合吗？探究活动二 如图，在ABC和ABC中，B=B，BC=BC，C=C.把ABC和ABC叠放在一起，它们能够完全重合吗？可以这样验证：将ABC叠放在ABC上，使边BC落在边BC上，顶点A与顶点A在边BC的同侧由BCBC可得边BC与边BC完全重合因为BB，CC，B的另一边BA落在边BA上，C的另一边落在边CA上，所以B与B完全重合，C与C完全重合由于“两条直线相交只有一个交点”，所以点A与点A 重合.所以，ABC和ABC全等.探究活动二 如图，在ABC和ABC中，B=B，BC=BC，C
3、=C.把ABC和ABC叠放在一起，它们能够完全重合吗？基本事实三如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等.(可简记为“角边角”或“ASA”).归 纳u几何语言：A=A（已知），AB=A B（已知），B=B（已知），在ABC和A B C中，ABC A B C（ASA）.AB CA B C 温馨提示：(1)相等的元素：两角及它们的夹边；(2)在书写两个三角形全等的条件角边角时，一定要把夹边相等写在中间，以突出角边角的位置及对应关系例1 如图，ADBC，BEDF，AECF，求证：ADFCBE.解析：根据平行线的性质可得AC，DFEBEC，再根据等式的性质可得AFCE，然后利用
4、ASA可证明ADFCBE.例题讲解ADFCBE(ASA)证明：ADBC，BEDF，（已知）AC，DFEBEC.（两直线平行，内错角相等）AECF，（已知）AEEFCFEF，即AFCE.（等式的基本性质1）在ADF和CBE中，DFABEC，AF=CE，AC，已知：如图，ADBE，AFDE，BCEF.求证：ABCDEF.变式练习1 证明：ADBE(已知)，ABDE(等式的基本性质).BCEF(已知)，ABCE(两直线平行，同位角相等).在ABC和DEF中，AFDEABDEABCE ，ABCDEF(ASA).知识点三角形全等的判定定理：“角角边“2 1、如果两个三角形的两个角对应相等，那么它们的第三
5、个角对应相等吗?2、由两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等，能推出这两个三角形的全等吗？（小组讨论，并证明猜想）探究活动三已知：如图，在ABC和ABC中，A=A，B=B,BC=BC.求证:ABCABC.证明：A+B+C=180，A+B+C=180,A=A,B=B,A+B=A+B，C=C.CCCBBCBBABCABC（ASA）在ABC和ABC中,判定定理：如果两个三角形的两角和其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为“角角边”或“AAS”）几何语言：在ABC 和 AB C中 ABC AB C（AAS）归纳A=A C=C CB=CB 例2 如图，CACD，BE，BCE ACD
6、.求证：ABDE.例题讲解解析：由BCEACD推出BCAECD，然后由已知条件CACD，BE,即可得出ABCDEC，即可得出ABDE.证明：BCEACD（已知），BCEACEACDACE（等式的性质），即BCAECD.在ABC和DEC中，BE BCAECD CACD ABCDEC(AAS)ABDE.练一练 如图，在ABC中，ADBC于点D，BEAC于E.AD与BE交于F，若BFAC，求证：ADCBDF.解析：先证明ADCBDF，DACDBF，再由BFAC，根据AAS即可得出两三角形全等ADC BDF(AAS)证明：ADBC，BEAC，ADCBDFBEA90（垂直的定义）.AFEBFD（对顶角相
7、等），DACAEFAFE180（三角形内角和定理），BDFBFDDBF180（三角形内角和定理），DACDBF.在ADC和BDF中，ACBF，DACDBF，ADCBDF，证明三角形全等的“三类条件”：(1)直接条件：即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角(2)隐含条件：即已知没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边、公共角、对顶角(3)准备条件：即已知中所给条件不是三角形的对应边和对应角，需要进一步推理证明三角形全等的思路：思路一：已知两边对应相等证明两个三角形全等,当已知两边对应相等时,通常采取下列方法:找两边的夹角,利用“SAS”证明两个三角形全等;找第三边,利用“SSS”证明两个三角形
8、全等.思路二：已知一边及其邻角对应相等 当已知一边及其邻角对应相等时:找任意角,利用“AAS”或“ASA”证明两个三角形全等;找夹这个角的另一条边,利用“SAS”证明两个三角形全等.切记不能用“SSA”证明两个三角形全等.思路三已知一边及其对角对应相等当已知一边及其对角对应相等时,找任意角,利用“AAS”证明两个三角形全等.思路四已知两角对应相等当已知两角对应相等时,通常采取下列方法:找其中任意一角的对边,利用“AAS”证明两个三角形全等;找两角的夹边,利用“ASA”证明两个三角形全等.1.如图所示,亮亮书上的三角形被污染了一部分,很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形,那么这两
9、个三角形完全一样的依据是()A.SSSB.SASC.AASD.ASA随堂演练D 2.已知：ABC和 ABC中,AB=AB,A=A,B=B,则ABC ABC的根据是（）A.SAS B.ASA C.AAS D.都不对B3.如图，已知ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中一定和ABC全等的图形是()A甲、乙B甲、丙C乙、丙D乙C 4.如图,A=D,要使得AOBDOC,还需补充一个条件,不正确的是()A.OA=ODB.AB=DCC.OB=OCD.ABO=DCO D5.如图,填空:(填“SSS”“SAS”“ASA”或“AAS”)(1)已知BD=CE,CD=BE,利用可以判定BCDCBE;(2)已
10、知AD=AE,ADB=AEC,利用可以直接判定ABDACE;(3)已知OE=OD,OB=OC,利用可以判定BOECOD;(4)已知BEC=CDB,BCE=CBD,利用可以直接判定BCECBD.SSSASAASAAAS6.如图，12，只需添加一个条件即可证明ABCBAD，这个条件可以是 （写出一个即可）CD或CABDBA或ADBC（答案不唯一）7.如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E为对角线BD上一点，ABEC，且ADBE（1）求证：ABDECB（2）若BDC70求ADB的度数证明：(1)ADBC，ADBCBE，在ABD和ECB中，ABDECB（ASA）；(2)ABDECB，BDBC，BDC
11、BCD70，DBC40，ADBCBD408.(1)如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC,直线m经过点A,BD直线m,CE直线m,垂足分别为D,E.求证:DE=BD+CE.(2)如图,将(1)中的条件改为:在ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有BDA=AEC=BAC=,其中为任意钝角,请问(1)中的结论DE=BD+CE是否仍成立?若成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由.(1)证明:BD直线m,CE直线m,BDA=AEC=90.BAC=90,BAD+CAE=90.BAD+ABD=90,CAE=ABD.在ADB和CEA中,ADBCEA(AAS),BD=AE,AD=CE,DE=AE+AD=BD+CE.(2)结论DE=BD+CE仍成立.证明:BDA=BAC=,ABD+BAD=BAD+CAE=180-,CAE=ABD.在ADB和CEA中,ADBCEA(AAS),BD=AE,AD=CE,DE=AE+AD=BD+CE.课堂小结全等三角形的判定（3）应用事实定理有两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（简记为“角角边”或“AAS”)有两角及夹边对应相等的两个三角形全等.（简记为“角边角”或“ASA”)为证明线段和角的相等提供了新的方法四种思路
