1、 微专题 05 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对 称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）f axf ax f x关于xa轴对称（当0a 时，恰好就是偶函数） （2） f axf bxf x关于 2 ab x 轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如f axf bx的等式只需注意两点，一是等式 两侧f前面的符号相同，且括号内x前面的符号相反；二是, a b的取值保证 2 ab x 为所给 对 称 轴 即 可 。 例 如 ： f x关 于1x 轴 对 称 2f xfx， 或 得 到 31f
2、xfx 均可，只是在求函数值方面，一侧是 f x更为方便 （3）f xa是偶函数， 则f xafxa ， 进而可得到： f x关于xa轴对称。 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在f xa中，x仅是括号中的一 部分，偶函数只是指其中的x取相反数时，函数值相等，即f xafxa ，要与以 下的命题区分： 若 f x是偶函数，则f xafxa ： f x是偶函数中的x占据整个括号，所 以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有f xafxa 本结论也可通过图像变换来理解，f xa是偶函数，则f xa关于0x 轴对称， 而 f x可视为f xa平移了a个单位（方向由a的符号决定） ，所
3、以 f x关于xa对 称。 3、中心对称的等价描述： （1）f axf ax f x关于,0a轴对称（当0a 时，恰好就是奇函数） （2） f axf bxf x 关于,0 2 ab 轴对称 在已知对称中心的情况下， 构造形如f axf bx 的等式同样需注意两点， 一是 等式两侧f和x前面的符号均相反；二是, a b的取值保证 2 ab x 为所给对称中心即可。例 如： f x关于1,0中心对称 2f xfx ，或得到35fxfx 均 可，同样在求函数值方面，一侧是 f x更为方便 （3）f xa是奇函数，则f xafxa ，进而可得到： f x关于,0a轴对 称。 要注意奇函数是指自变量取
4、相反数，函数值相反，所以在f xa中，x仅是括号中的一 部分，奇函数只是指其中的x取相反数时，函数值相反，即f xafxa ，要与以 下的命题区分： 若 f x是奇函数，则f xafxa ： f x是奇函数中的x占据整个括号，所 以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有f xafxa 本结论也可通过图像变换来理解，f xa是奇函数，则f xa关于0,0中心对称， 而 f x可视为f xa平移了a个单位（方向由a的符号决定） ，所以 f x关于,0a对 称。 4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部” ，即一旦函数具备对称性，则只需要 分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在
5、以下几点： （1）可利用对称性求得某些点的函数值 （2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像 （3）极值点关于对称轴（对称中心）对称 （4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关 于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 （二）函数的周期性 1、 定义： 设 f x的定义域为D， 若对xD ， 存在一个非零常数T， 有 f x Tf x， 则称函数 f x是一个周期函数，称T为 f x的一个周期 2、周期性的理解：可理解为间隔为T的自变量函数值相等 3、若 f x是一个周期函数，则 f x Tf x，那么 2f xTf xTf x， 即2T也是
6、 f x的一个周期，进而可得：kT kZ也是 f x的一个周期 4、最小正周期：正由第 3 条所说，kT kZ也是 f x的一个周期，所以在某些周期函数 中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正 周期，比如常值函数 f xC 5、函数周期性的判定： （1）f xaf xb：可得 f x为周期函数，其周期Tba （2） f xaf xf x的周期2Ta 分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：2f xaf xa 所以有： 2f xaf xaf xf x ，即周期2Ta 注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个
7、等式，进而通 过两个等式看能否得出周期 （3） 1 f xaf x f x 的周期2Ta 分析： 11 2 1 f xaf x f xa f x （4） f xf xak（k为常数） f x的周期2Ta 分析： ,2f xf xak f xaf xak，两式相减可得： 2f xaf x （5） f xf xak（k为常数） f x的周期2Ta （6）双对称出周期：若一个函数 f x存在两个对称关系，则 f x是一个周期函数，具体 情况如下： （假设ba） 若 f x的图像关于,xa xb轴对称，则 f x是周期函数，周期2Tba 分析： f x关于xa轴对称2fxfax f x关于xb轴对称2
8、fxfbx 22faxfbx f x的周期为222Tbaba 若 f x的图像关于 ,0 ,0ab中心对称，则 f x是周期函数，周期2Tba 若 f x的图像关于xa轴对称，且关于,0b中心对称，则 f x是周期函数，周期 4Tba 7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹” ，只要了解一个周期的性质，则得到整 个函数的性质。 （1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值 （2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴” （3）单调区间：由于间隔kT kZ的函数图象相同，所以若 f x在, a bbaT上 单调增（减） ，则
9、f x在,akT bkTkZ上单调增（减） （4） 对称性： 如果一个周期为T的函数 f x存在一条对称轴xa （或对称中心） ， 则 f x 存在无数条对称轴，其通式为 2 kT xakZ 证明： f x关于xa轴对称 2f xfax 函数 f x的周期为T fxkTfx 2f xkTfax f x关于 2 kT xa轴对称 注：其中（3） （4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法 二、典型例题： 例 1：设( )f x为定义在R上的奇函数，(2)( )f xf x ，当01x时，( )f xx，则 (7.5)f_ 思路：由(2)( )f xf x 可得： f x的周期4T ，考虑将
10、(7.5)f用01x中的函 数值进行表示：(7.5)3.50.5fff，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇 偶性进行微调： 1 0.50.5 2 ff ，所以 1 (7.5) 2 f 答案： 1 (7.5) 2 f 例 2： 定义域为R的函数 f x满足 22f xf x， 当0,2x时， 3 2 1 2 x f x ， 则 5 2 f （ ） A. 1 4 B. 1 8 C. 1 2 D. 1 4 思路：由 1 222 2 fxfxfxfx，可类比函数的周期性，所以考虑将 5 2 x 向0,2x进行转化： 33 22 51113111 22242424 fff 答案：D 小炼有话说：
11、f x虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔 2 个单 位的自变量，函数值呈 2 倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范 围进行靠拢。 例 3：定义在R上的函数 f x对任意xR，都有 11 2,2 14 f x f xf f x ，则 2016f等于（ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 1 3 D. 3 5 思 路 ： 由 1 2 1 f x f x f x 及 所 求2010f可 联 想 到 周 期 性 ， 所 以 考 虑 1 1 121 4 112 1 1 f x f xf x f xf x f xf x f x ，所以 f x是周期为 4 的
12、周期函数，故 20164ff，而由已知可得 123 4 125 f f f ，所以 3 2016 5 f 答案：D 例 4（2009 山东） ：定义在R上的函数 f x满足 2 log1,0 12 ,0 xx f x f xf xx ，则 2009f的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 思 路 ： 所 给 f x的 特 点 为0x 才 有 解 析 式 能 够 求 值 ， 而0x 只 能 通 过 12f xf xf x减少自变量的取值，由所求2009f可联想到判断 f x是否 具有周期性，0x 时， 12f xf xf x， 则有123f xf xf x， 两式相加可得： 3f
13、xf x ，则 36f xf xf x ，即 f x在0x 时 周期是 6，故 200952fff ，而 21001011fffffff 答案：C 小炼有话说： （1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量 靠拢，而2009x 数较大，所以考虑判断函数周期性。 （2）如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被除 数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题 中200963345，从而 20095ff （3）本题推导过程中 3f xf x 也有其用处，其含义是间隔为 3 的自变量函数值互 为相反数，相比
14、周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调” 从而将自变量放置已知区间内 例 5：函数 f x是周期为4的偶函数，当0,2x时， 2 log11f xx，则不等式 0xf x 在1,3上的解集为_ 思路：从已知出发可知0,2x时， f x为增函数， 且 2 1log 2 10f ， 所以0,1x时， 0f x ， 1,2x时， 0f x ， 由偶函数可得：1,0x 时， 0f x ， 2, 1f x 时， 0f x 。从而可作出草图。由所解不等式 0xf x 可 将1,3分为1,00,3两部分，当0x 时， 0f x ，所以1,0x ，当0x 时， 0f x ，所以 1
15、,3f x ，综上解集为：1,01,3 答案：1,01,3 例 6：已知 f x是定义在R上的函数，满足 0,11f xfxf xf x，当 0,1x时， 2 f xxx ，则函数 f x的最小值为（ ） A. 1 4 B. 1 4 C. 1 2 D. 1 2 思路：由11f xf x可得 f x是周期为 2 的周期函数，所以只需要求出一个周期 内的最值即可。 由 0f xfx可得 f x为奇函数， 所以考虑区间1,1， 在0,1x 时， 2 11 24 f xx ，所以 max 11 24 f xf ，而由于 f x为奇函数，所以在 1,0x 时， min 111 224 f xff ， 所
16、以 1 2 f 即为 f x在1,1的最 小值，从而也是 f x在R上的最小值 答案：B 例 7： 已知定义域为R的函数 f x满足4fxf x ， 且函数 f x在区间2,上 单调递增，如果 12 2xx，且 12 4xx，则 12 f xf x的值（ ） A. 可正可负 B. 恒大于 0 C. 可能为 0 D. 恒小于 0 思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性， 而 12 4xx可得 21 4xx， 因为 1 2x ， 所以 1 42x， 进而将 21 ,4xx装入了2, 中 ， 所 以 由 21 4xx可 得 21 4f xfx， 下 一 步
17、需 要 转 化 1 4fx， 由 4fxfx 可得 f x关于2,0中心对称，所以有 4fxf x 。代入 1 x 可得 11 4fxf x ，从而 2112 0f xf xf xf x 思路二： 本题运用数形结合更便于求解。 先从4fxf x 分析出 f x关于2,0中 心 对 称 ， 令2x 代 入 到4fxf x 可 得 20f。中心对称的函数对称区间单调性相同，从而可作 出草图。而 12 12 42 2 xx xx ，即 12 ,x x的中点位于 2x 的左侧，所以 1 x比 2 x距离2x 更远，结合图象便可 分析出 12 f xf x恒小于 0 答案：D 小炼有话说： （1）本题是
18、单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系， 与所求函数值关系，而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性，所以需要将自变量装 入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系 （2）数形结合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点，不仅仅是单调性相同，而且 是呈“对称”的关系，从而在图像上才能看出 12 f xf x的符号；第二个是 20f， 进而可知 2,0;,2 ,0xf xxf x ；第三个是 12 12 42 2 xx xx ，既然是数形结合，则题中条件也要尽可能转为图像特点，而 12 4xx表现出中点的位置，从而能够判断出 12 ,x x
19、距离中心对称点的远近。 例 8：函数 f x的定义域为R，若1f x 与1f x 都是奇函数，则（ ） A. f x是偶函数 B. f x是奇函数 C. 2f xf x D. 3f x是奇函数 思路：从已知条件入手可先看 f x的性质，由1 ,1f xf x为奇函数分别可得到： 11 ,11f xfxf xfx ，所以 f x关于 1,0 ,1,0中心对称， 双对称出周期可求得2114T ，所以C不正确，且由已知条件无法推出一定符合 ,A B。 对于D选项， 因为4T ， 所以511f xf xfx ， 进而可推出 f x 关于3,0中心对称，所以3f x为 f x图像向左平移3个单位，即关于
20、0,0对称，所 以3f x为奇函数，D正确 答案：D 例 9：已知定义域为R的函数 yf x在0,7上只有1和3两个零点，且2yf x与 7yf x 都是偶函数，则函数 yf x在0,2013上的零点个数为（ ） A. 404 B. 804 C. 806 D. 402 思路：已知区间仅是0,7，而所求区间为0,2013，跨度如此之大，需要函数性质。从条件 入手2 ,7f xf x为偶函数可得 f x关于2,7xx轴对称，从而判断出 f x是 周期函数，且27210T ，故可以考虑将0,2013以 10 为周期分组，先判断出一个 周期内零点的个数，再乘以组数，加上剩余部分的零点即可 解：2 ,7
21、f xf x为偶函数 22 ,77f xfxf xfx f x关于2,7xx轴对称 f x为周期函数，且27210T 将0,2013划分为0,1010,202000,20102010,2013 f x关于2,7xx轴对称 4,14f xfxf xfx 160ff 814860fff 34310fff 在0,10中只含有四个零点 而0,1010,202000,2010共201组 所以201 4804N 在2010,2013中，含有零点 201110,201330ffff共两个 所以一共有 806 个零点 答案：C 小炼有话说： （1）周期函数处理零点个数时，可以考虑先统计一个周期的零点个数，再看
22、所 求区间包含几个周期，相乘即可。如果有不满一个周期的区间可单独统计 （2）在为周期函数分段时有一个细节： “一开一闭” ，分段的要求时“不重不漏” ，所以在给 周期函数分段时，一端为闭区间，另一端为开区间，不仅达到分段要求，而且每段之间保持 队型，结构整齐，便于分析。 （3）当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时，零点的统计不能仅限于已知条件，而要看 是否由于对称产生新的零点。其方法一是可以通过特殊值的代入，二是可以通过图像，将零 点和对称轴标在数轴上，看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解） 例 10： 设函数 yf x是定义在R上以 1 为周期的函数， 若 2g xf xx在
23、区间2,3 上的值域为2,6，则函数 g x在12,12上的值域为（ ） A. 2,6 B. 20,34 C. 22,32 D. 24,28 思路：设 0 2,3x ，则 0 2,6g x ，因为 f x为周期函数，故以 f x为突破口， 000000 2222g xnf xnxnf xxng xn， 考虑在12, 11中 14n ， 所以 000 142142826,34g xg xg x ， 在11,12中9n ， 所以 000 92 91820, 12g xg xg x ，所以 g x在12,12的值域为 20,34 答案：B 三、近年模拟题题目精选 1、 （2014，庆安高三期中）已知
24、函数)(xf是 R 上的偶函数，且满足3)() 1(xfxf，当 1,0x 时，( )2f xx，则)5 .2007(f的值为（ ） A0.5 B1.5 C1.5 D1 2、 （2014，安徽）设函数 f x满足 sinf xf xx，当0,x时， 0f x ， 则 23 6 f （ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 0 D. 1 2 3、 （2014，四川）设 f x是定义在R上的周期为 2 的函数，当1,1x 时， 2 42, 10 ,01 xx f x xx ，则 3 2 f _ 4、 （2014，新课标全国卷 I）设函数 ,f xg x的定义域都为R，且 f x是奇函数， g x
25、是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A. f x g x是偶函数 B. fx g x是奇函数 C. fx g x是奇函数 D. fx g x是奇函数 5、 （2014，会宁县校级月考）已知 11 ,2f xf xf xfx ，方程 0f x 在0,1内有且只有一个 1 2 ，则 f x在区间0,2014内根的个数为（ ） A. 1006 B. 1007 C. 2013 D. 2014 6、 已知定义在R上的函数( )f x满足：()( ),(1)(1)fxf xfxfx ， 当1 , 1x 时， 3 ( )f xx，则(2009)f_ 7、 已知定义在R上的函数 f x满足 ,22fxf x
26、f xf x ， 且1,0x 时， 1 2 5 x f x ，则 2 log 20f（ ） A. 1 B. 4 5 C. 1 D. 4 5 8、 已知( )f x是定义在R上的奇函数， 且对任意实数x， 恒有(2)( )f xf x ， 当0 ,2x 时， 2 ( )2f xxx，求(0)(1)(2)(2012)ffff 习题答案：习题答案： 1、答案：B 解 析 ： 由3)() 1(xfxf可 得 ：()(1 )3fxfx， 两 式 相 减 可 得 ： 11f xf x， 所 以 f x的 周 期2T ， 再 由 f x是 偶 函 数 可 得 ： 2007.50.50.51.5fff 2、答
27、案：A 解析：由 sinfxfxx可知 231717171 sin 66662 fff ， 171111111 sin 66662 fff ， 1155511 sin 666622 fff ，所以可得： 231 62 f 3、答案：1 解析： 2 311 421 222 ff 4、答案：C 解析： f x为奇函数，可知 f x为偶函数，所以根据奇偶性的规律可得： f x g x为 奇函数， fx g x是偶函数， fx g x是奇函数， fx g x是偶函数，故 C 正确 5、答案：D 解析：112f xf xT， ,2f xfx 可得 f x关于1x 轴对称， 因为 f x在0,1内有且只有
28、一个零点 1 2 ，所以由对称性可得 f x在0,2只有两个零点 1 3 , 2 2 。所以一个周期中含有两个零点，区间0,2014共包含 1007 个周期，所以有 2014 个零 点 6、答案：1 解析：由()( )fxf x 可得： f x关于0,0中心对称，由(1)(1)fxfx可得： f x关于1x 轴对称，所以可求出 f x的周期4T ，则 200911ff 7、答案：1 解析： fxf x 可知 f x为奇函数，22f xf x可得4T ，所以 2 4 log 5 2222 5541 log 204logloglog21 4455 ffff 8、答案：0 解析：由(2)( )f xf x 可得： f x的周期4T ，由于 f x具备周期性，故求和时可 考虑按照周期将一个周期的函数值归为一组，求出一组的结果，在考虑求和的式子中含有多 少组周期即可： 11,200,3111,400ffffffff 12340ffff 故 (0)(1)(2)(2012)0503 00fffff
