1、 微专题 28 三角函数及函数sinyAx性质 一、基础知识： 1、正弦函数sinyx的性质 （1）定义域：xR （2）值域：1,1y （3）周期：2T （4）对称轴（最值点） ： 2 xkkZ （5）对称中心（零点） ：,0kkZ，其中0,0是对称中心，故sinyx也是奇函数 （6）单调增区间：2,2, 22 kkkZ 单调减区间： 3 2,2, 22 kkkZ 2、余弦函数cosyx的性质 （1）定义域：xR （2）值域：1,1y （3）周期：2T （4）对称轴（最值点） ：xkkZ其中0x 是对称轴，故cosyx也是偶函数 （5）对称中心（零点） ：,0 2 kkZ （6）单调增区间：2
2、,2,kkkZ 单调减区间：2,2,kkkZ 3、正切函数tanyx的性质 （1）定义域：|, 2 xx xkkZ （2）值域：yR （3）周期：T （4）对称中心：,0 2 k kZ （5）零点：,0kkZ （6）单调增区间：, 22 kkkZ 注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的x的值 4、sinyx的性质：与正弦函数sinyx相比，其图像可以看做是由sinyx图像变换得 到（x轴上方图像不变，下方图像沿x轴向上翻折） ，其性质可根据图像得到： （1）定义域：xR （2）值域：0,1y （3）周期：T （4）对称轴： 2 k xkZ （5）零点：xkkZ
3、 （6）单调增区间：, 2 kkkZ 单调减区间：, 2 kkkZ 5、sin0yAxA的性质： 此类函数可视为正弦函数sinyx通过坐标变换所得， 通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下： （1）定义域：xR （2）值域：,yA A （3）周期： 2 T （4） 对称轴 （最值点） ， 对称中心 （零点） ， 单调区间需通过换元计算换元计算所求。 通常设tx， 其中0，则函数变为sinyAt，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出t所 满足的条件，然后将t还原为x再解出x的值（或范围）即可 注：1、余弦函数也可看做sinyAx的形式，即cossin 2 yxx ，
4、所以其性 质可通过计算得到。 2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为 sinyAx，再求其性质 二、典型例题： 例 1：函数 3sin2cos2f xxx （ ） A. 在, 36 上单调递减 B. 在, 6 3 上单调递增 C. 在,0 6 上单调递减 D. 在0, 6 上单调递增 思路： 31 3sin2cos22sin2cos22sin 2 226 f xxxxxx 单调递增区间：222 26236 kxkkxkkZ 单调递减区间： 32 222 26263 kxkkxkkZ 符合条件的只有 D 答案：D 例 2：函数 2 2cos1 4 yx 的一
5、个单调递减区间为（ ） A. 3 , 22 B. 3 , 44 C. , 2 2 D. , 4 4 思路： 先变形解析式， 2 2cos1cos 2sin2 44 yxxx ， 再求出单调区间： 222 2244 kxkkxkkZ ，0k 时，D 选项符合要求 答案：D 例 3：sin2 3 yx 的递减区间为（ ） A. 5 2,2, 1212 kkkZ B. 511 4,4, 33 kkkZ C. 511 , 1212 kkkZ D. 5 , 1212 kkkZ 思路：在解函数性质之前首先把x的系数变正：sin2sin 2 33 yxx ，再求其 单 调 区 间 ： 5 222 2321
6、21 2 kxkkxkkZ ， 由 于 kZ，所以区间 5 , 1212 kk 等同于 5 , 1212 kk 答案：D 例 4：已知函数sincos 1212 yxx ，则下列关于函数性质判断正确的是（ ） A. 最小正周期为，一个对称中心是,0 12 B. 最小正周期为，一个对称中心是,0 6 C. 最小正周期为2，一个对称中心是,0 12 D. 最小正周期为2，一个对称中心是,0 6 思路： 1 sincossin 2 121226 yxxx 2 2 T 对称中心：2 6122 k xkxkZ 0k 时，一个对称中心是,0 12 答案：A 例 5：函数 ln sin 2 6 f xx 的
7、单调递增区间为（ ） A. , 123 kkkZ B. , 63 kkkZ C. 7 , 312 kkkZ D. 5 , 36 kkkZ 思路：求单调区间可设2 6 tx ，即ln sinyt，只需找到t所满足的条件然后解出x的 范围即可。t的取值需要满足两个条件，一是保证sin0t ，二是取sinyt单调增的部分， 所以可得：022 2 ktkkZ ，即0222 62 kxkkZ ，解得： 123 kxkkZ 答案：A 例 6：设函数 sin 2 3 f xx ，则下列关于函数 f x的说法中正确的是（ ） A. f x是偶函数 B. f x的最小正周期是 C. f x图像关于点,0 6 对
8、称 D. f x在区间 7 , 3 12 上是增函数 思路：先判断 f x的周期，可结合图像进行判断，可得： 2 T ；对于对称轴，对称中心， 单调区间，可考虑设2 3 tx ，即sinyt，借助图像先写出t所符合的条件，再求出x的 值（或范围）即可。 对称轴：2 232122 k tkxkxkZ ，不是偶函数 对称中心：2 362 k tkxkxkZ ，关于点,0 6 对称 单调增区间： 22222 232612 ktkkxkkxkkZ 答案：C 例 7：函数2sin 4 6 yx 的图像的两条相邻对称轴间的距离为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 思路：根据sinyAx图像的特点可
9、得：相邻对称轴之间的距离是周期的一半 2 2 T ，所以间距为： 1 24 T 答案：B 例 8：已知函数 sin2cos2f xxax的图像关于直线 8 x 对称，则a的值为_ 思路一： f x可以利用辅角公式变形为sinyAx的形式，但是由于系数含参，所 以辅角只能用一个抽象的代替： 22 22 1 1sin2cos21sin 2,tan 11 a f xaxxaxa aa 因为 f x关于直线 8 x 对称， 3 2 824 kk tan1a 思路二： 本题还可以利用特殊值法求出a的值， 再进行验证即可： 因为 f x关于直线 8 x 对称，所以代入一组特殊值： 0sin1 42 ffa
10、a ，再代入验证 sin2cos22sin 2 4 f xxxx ，其一条对称轴为 8 x ，符合题意 答案：1a 例 9：已知 2sin0f xx在, 3 4 单调递增，求的取值范围 思 路 ： 2 s i nfxx的 图 像 可 视 为sinyx仅 由 放 缩 得 到 。 , 3 434 xx ， 由 f x在, 3 4 单 调 递 增 可 得 ： , 342 2 3 32 2 42 ，即 3 0 2 答案： 3 0 2 例 10：已知函数sin0yx在区间0, 2 上为增函数，且图像关于点3 ,0对称， 则的取值集合为_ 思路：sinyx的图像可视为sinyx的图像横坐标变为了 1 ，0
11、, 2 x ，则 0, 2 x ， 因为sinyx在0, 2 上单调增， 所以 22 ， 即01； 另一方面， sinyx的对称轴为 k xkxkZ ，所以3 k 解得 3 k ，再结合 01可得 1 2 ,1 3 3 答案： 1 2 ,1 3 3 三、近年好题精选 1、函数 sin0, 2 f xx 的最小正周期是，若其图象向右平移 6 个单 位后得到的函数为奇函数，则函数 f x的图象（ ） A关于点,0 12 对称 B关于直线 12 x 对称 C关于点,0 6 对称 D关于直线 6 x 对称 2、 （2015，湖南）将函数 sin2f xx的图像向右平移0 2 个单位后得到函数 g x的
12、图像，若对满足 12 2f xg x的 12 ,x x，有 12min 3 xx ，则（ ） A. 5 12 B. 3 C. 4 D. 6 3、 （2016，重庆万州二中）若函数cos2yx与函数sin 2yx在0, 4 上的单调性相 同，则的一个值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 4 D. 3 2 4、将函数 2sin0 3 f xx 的图像向左平移 3 个单位，得到函数 yg x的 图像，若 yg x在0, 4 上为增函数，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5、 （2015，天津）一直函数 sincos0 ,f xxxxR，若函数 f x在, 内单调递增，且
13、函数 f x的图像关于直线x对称，则的值为_ 6、 （2014，安徽）若将函数 sin 2 4 f xx 的图像向右平移个单位，所得图像关于y 轴对称，则的最小正值是_ 7、 （2014，北京）设函数 sinf xAx（, ,A 是常数，0,0A）若 f x在 区间, 6 2 上具有单调性， 且 2 236 fff ， 则 f x的最小正周期为_ 8、已知 2sincossin0f xxxx的图像在0,1x上恰有一个对称轴和一 个对称中心，则实数的取值范围是_ 9、 （2014，福建）已知函数 1 cossincos 2 f xxxx （1）若0 2 ，且 2 sin 2 ，求 f的值 （2）
14、求函数 f x的最小正周期及单调递增区间 10、 （2016，山东潍坊中学高三期末）已知函数 22 coscos 3 f xxx （Rx） （1）求 f x最小正周期和单调递增区间； （2）求 f x在区间, 3 6 上的最大值和最小值 习题答案：习题答案： 1、答案：B 解析：由最小正周期可得：2，向右平移 6 个单位后解析式为sin 2 6 yx ， 即sin 2 3 yx ，由奇函数可知 3 ，所以 sin 2 3 fxx ，对称轴： 2 32122 k xkkZxkZ ， 对称中心：2 362 k xkkZxkZ ，即,0 62 k ，配合选项可 得 B 正确 2、答案：D 解析： s
15、in 22g xf xx，由 12 2f xg x可知 12 ,f xg x分别取 到 最 大 最 小 值 ， 不 妨 设 12 22,222, 22 xkxmk mZ ， 所 以 12 2 xxkm ，由 12min 3 xx 可知 236 3、答案：C 解析：先求出cos2yx的单调性，0222kxk，解得单调递减区间为： , 2 kkkZ ， 即c o s 2yx在0, 4 上单调递减。 所以sin 2yx在0, 4 单 调减，0,2, 42 xx ，所以 3 ,2,2 222 kk ，有 2 2 22 32 2 22 k kk k ，可知 C 符合题意 4、答案：B 解析：先利用图像变
16、换求出 g x解析式： 2sin 333 g xfxx ， 即 2sing xx，其图像可视为sinyx仅仅通过放缩而得到的图像。若最大，则要求 周期T取最小，由0, 4 为增函数可得： 4 x 应恰好为 g x的第一个正的最大值点 2 42 5、答案： 2 解析： 2sin 4 fxx ，由 f x在, 内单调递增，且对称轴为x可知 f x在x达到最大值，所以 22 sin12 442 kkZ ，由 f x 在, 单增可知2 22 T ，从而解得 2 6、答案： 3 8 解析：平移后的解析式为：sin 2sin 22 44 yxx ，由对称轴为0x 可知2 4282 k kkZ ，令1k 即
17、得到最小正值 3 8 7、答案： 解析：由 2 23 ff 可得 2 7 23 212 x 为一条对称轴，由 26 ff 可知 0 3 ，为一个对称中心。因为 f x在区间, 6 2 单调，所以可知 7 12 x 与0 3 ，为相邻 的对称轴与对称中心，所以 7 4 123 T 1 3 , 2 2 f x m i nm a x 13 , 22 f xf x 8、答案： 35 , 88 解析： 2sincossinsin21cos22sin 21 4 f xxxxxxx 由0,1x可得：2,2 444 xx ，若恰有一个对称轴和对称中心，则对称轴和 对称中心为0,0 , 2 x ，所以 35 2
18、, 2488 9、解析： （1）由0, 2 及 2 sin 2 可得： 2 cos 2 122211 cossincos+ 222222 f （2） 1 cossincos 2 f xxxx 2 1 cos sincos 2 xxx 11cos2112 sin2sin2cos2sin 2 222224 x xxxx T 222 242 kxkkZ 解得： 3 88 kxk f x的单调递增区间为 3 , 88 kkkZ 10、解析： （1） 22 coscos 3 f xxx 1cos 2 31cos212 1cos2cos 2 2223 x x xx 1131 1cos2cos2sin21cos 2 22226 xxxx 周期T 单调递增区间： 511 2222 61212 kxkkxk 所以 f x单调递增区间： 511 , 1212 kkkZ （2）, 3 6 x 2, 62 2 x c o s20 , 1 6 x
