1、 微专题 40利用函数性质与图像解不等式 高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等 式，分式不等式，指对数不等式等） ；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。 相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能 力，难度较大。本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。 一、基础知识： （一）构造函数解不等式 1、函数单调性的作用： f x在, a b单调递增，则 121212 ,x xa b xxf xf x(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数 值大值大小关系
2、的桥梁）小关系的桥梁） 2、假设 f x在, a b上连续且单调递增， 00 ,0xa bf x，则 0 ,xa x时， 0f x ; 0, xx b时， 0f x (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号） 3、导数运算法则： （1） f x g xfx g xf x gx （2） 2 f xfx g xf x gx g xgx 4、构造函数解不等式的技巧： （1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合 着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可 以确定入手点
3、（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关 系的函数。在构造时多进行试验与项的调整 （3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。所以如果能够 确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。那么问题便易于解决了。 （二）利用函数性质与图像解不等式： 1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。 通常可作草图帮助观察。例如： f x的对称轴为1x ，且在1,但增。则可以作出草图 （不比关心单调增的情况是否符合 f x，不会影响结论） ，得到：距离1x 越近，点的函数 值越小。从而得到函数值与自变量的等价
4、关系 2、图像与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是 如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个 函数的大小关系如 f xg x，其中 ,f xg x的图像均可作出。再由 f xg x可 知 f x的图像在 g x图像的下方。按图像找到符合条件的范围即可。 二、典型例题： 例 1：定义在0,上的可导函数 f x满足： xfxf x， 10f，则 0 f x x 的 解集为（ ） A. 0,1 B. 0,11, C . 1, D. 思路：本题并没有 f x的解析式，所以只能考虑利用函数的单调性来解不等式。由条件 xfxf
5、x可得 0xfxf x， 进而联想到有可能是通过导数的乘除运算法则所得， 再结合所解不等式 0 f x x ，发现 2 fxxfxfx xx ，刚好与条件联系起来，故设 f x F x x ， 则 2 0 f xx f xf x Fx xx F x在0,上单调递减。 1 1=0 1 f F，所以 0 f x x 的解集为1, 答案：C 小炼有话说： （1）在解题过程中目标要明确：既然不能用传统方法解不等式，则要靠函数单调性，进而目 标为构造函数并求单调性，要确定单调性则要分析所构造函数的导函数的符号 （2）此题构造的关键点有二：一是 xfxf x轮流求导的特点，进而联想到导数乘除法 运算，二是
6、所求不等式所给予的“暗示” 。所以解此类题目一定要让条件与结论“对上话” （3）体会条件 10f的作用：提供零点以便配合单调性求解 例 2： 函数)(xf的定义域为R，2) 1(f， 对任意的Rx， 有2)( x f， 则42)(xxf 的解集是 ； 思路：所解不等式化为( )240f xx，令 24g xf xx，则 2g xfx 由2)( x f可得 0g x （这也是为何构造 g x的原因） ， g x在R上单调递增。考虑 112 1 40gf ， 01,g xx 答案：1, 例 3：设定义在1,1上的函数 f x的导函数为 5cosfxx，且 00f，则不等 式 2 110fxfx的解
7、集为_ 思路：由 5cosfxx可得原函数 5sinf xxxC（注意由导函数反求原函数时注意由导函数反求原函数时 要带个常数要带个常数C） ，再由 00f可得0C ， 5sinf xxx（看到函数解析式的反应： 定义域？奇偶性？）显然 f x是奇函数，且在1,1单调递增。进而不等式可利用单调性解 出x的 范 围 。 222 110111fxfxfxfxfx ， 所 以 2 2 111 1111, 2 11 x xx xx 答案： 1, 2x 小炼有话说： （1）本题尽管求出的 f x的解析式，但由于靠解析式所解得不等式过于复杂， 所以依然选择利用单调性 （2）要掌握一些能直接判断 f x单调
8、性与奇偶性的方法，常见的判断方法如下： 奇偶性： 奇+奇奇 偶+偶偶 奇奇偶 奇偶奇 偶偶偶 单调性： 增+增增 减+减减 增（-1）减 1/增 减（仅在函数值恒正或恒负时成立） （3）本题求解有一个重要细节：由于 f x定义在1,1上，所以 2 11f xfx，要保 证 2 1,1xx均在1,1上 （4）要培养一个习惯：拿到函数，首先看定义域，其次看函数的三个性质是否有能直接判断 的（尤其奇偶性） ，再根据条件分析。 例 4： 函数)(xf是定义在R上的奇函数，0)2(f， 当0x时， 有0 )()( 2 x xfxf x 成立， 则不等式0)(xfx的解集是（ ） A( 2,0)(2,)
9、B( 2,0)(0,2) C(, 2)(0,2) D(, 2)(2,) 思路： 2 ( )( ) 00 fxxfxf x xx ， 令 f x F x x ， 则 F x在0,单调递增， 因为)(xf是奇函数，所以可判断 F x为偶函数。另一方面，0)(xfx的解集与 f x x 的 解集相同， 进而只需求出 0F x 的解集。 2 20 2 f F， 由增函数可得2,x时， 0F x ，由对称性可知, 2x 时， 0F x 答案：D 例 5：若函数 f x是定义在R上的偶函数，且在区间0,上是单调增函数.如果实数t满 足 1 lnln21ftff t 时，那么t的取值范围是 . 思路：根据函
10、数 f x为偶函数，而lnt与 1 ln t 互为相反数的特点可化简所求不等式： 1 lnln21ln1ftffftf t ，由偶函数与 单调性作草图可得：距离y轴约近，函数值越小，所以可得 ln1t ，解出t的范围即可 解：所解不等式等价于： lnln21ftftf f x为偶函数 lnlnftft ln1ftf f x为偶函数，且0,上单增 ln11ln1tt 1 ,te e 答案： 1 ,te e 小炼有话说：遇到单调性与对称轴已知的函数，可以作草图并得到距离对称轴远近与函数值 的大小的等价关系。 例 6： 已知定义在R上的可导函数 yf x的导函数为 fx，满足 fxf x，且 1yf
11、 x为偶函数， 21f，则不等式 x f xe的解集为_ 思路：考虑条件能够提供什么，1yf x为偶函数1f x的图像关于0x 轴对称 f x的图像关于1x 轴对称； ( )0fxf xfxf x，由轮流求导的特点 联想到导数的乘除运算法则（极有可能是除法，则要猜想分母） ，观察所求不等式与条件的联 系 1 x x f x f xe e ，而 2 xx xx x f xe fxe f xfxf x ee e ，进而找到 联系。构造函数 x f x F x e ，则 0 xx f xfxf x Fx ee ，得到 F x在 , 单调递增，所解不等式也变为求 1F x 的解。考虑 1F x 时x的
12、值，再利用 单调性求解。 21f，而 22 21 21 f F ee ，考虑 0 0 00 f Ff e ， f x 图像关于1x 轴对称，故 021ff, 01F 由 F x在, 单调递增可得 1F x 的解集为,0 答案：,0 小炼有话说： （1）本题所给条件比较零散。而解题思路则是像一根线把各个条件与求解联系起来。此类题 目在不知如何入手时不妨先将条件进行简单转化，看条件能提供什么，再与所求部分（或者 是选择题中的选项）进行对照。从对照中往往就能够得知如何构造函数。 （2）本题对条件 21f的利用，以及猜想 1F x 的解是一个难点。对于指对数运算， 结果比较整齐时（尤其是0,1） ，要
13、想到一些特殊结果，比如 0 1,log 10 a a 等。 例 7 ： 设 函 数 f x是 定 义 在,0上 的 可 导 函 数 ， 其 导 函 数 为 fx， 且 有 2 2f xxfxx，则不等式 2 20142014420xfxf的解集为（ ） A. , 2012 B. 2012,0 C. , 2016 D. 2016,0 思路：此题一入手便发现需用函数单调性解不等式，观察条件： 2 2f xxfxx出现轮 流求导， 所解不等式中 2 20142014xfx， 2 4222ff 均具备 “ 2 x f x” 的形式，进而找到连结条件与所求的桥梁。下面对条件进行变形： 22323 22f
14、 xxfxxxf xx fxxx f xx(注意0x，不等式变 号） ，令 2 F xx f x，则 3 0Fxx，故 F x在,0上单调递减。所解不等式 变为20142F xF 201422016xx 答案：C 小 炼 有 话 说 ： 此 题 在 处 理 条 件 23 x f xx时 也 有 另 一 个 选 择 ， 即 2424 11 00 44 x f xxx f xx ，但是这与所求不等式之间没有联系（不 等式中没有出现 4 1 4 x的形式） ，所以此套方案舍弃，将 3 x仅仅用于判断符号。在数学题目中，在数学题目中， 条件就像树状图一样，一个条件可以引出很多种思路与想法。但是如何进行
15、选取要借助其他条件就像树状图一样，一个条件可以引出很多种思路与想法。但是如何进行选取要借助其他 条件与所求带来的暗示条件与所求带来的暗示 例 8： （2015 红桥一模）已知函数 ,1 12 xxx fxg x x ，若 f xg x，则实 数x的取值范围是（ ） A. 1515 , 22 B. 1515 , 22 C. 15 15 , 22 D. 1515 ,11, 22 思路：本题如果按照传统不等式解法，则要通过零点分段 法去掉绝对值，再解不等式，过程较为复杂。分析 1 1,1 1 1 1,1 1 x x f x x x ， 1,0 1,0 x x g x x ，每一 段均可作出图像，而所
16、解不等式 f xg x在图像上是 f x位 于 g x下 方 的 部 分 。 所 以 作 出 图 像 找 到 边 界 值 ： 1 1 :11 1 11 1 g xx Ax xf x x ，解得 51 2 x ， 1 1 :11 1 11 1 g xx Bx xf x x ，解得： 51 2 x ，所以满足 f xg x的x 的范围是 1515 , 22 答案：B 例9 ： 已 知 23 ,22 x f xm xmxmg x， 若 同 时 满 足 条 件 ： ,0xR f x 或 0g x ； , 4 ,0xf x g x ，则m的取值范围是 _ 思路：本题如果用代数方法求解，则由于 f x本身
17、含参，在解含参不等式时涉及分类讨论较 为复杂，同时对于条件，均可翻译为图像上的特点，表示 ,f xg x的图像在每一点 处至少有一个在x轴下方，表示在, 4 中至少存在一个位置， ,f xg x分居x轴两 侧；再考虑到 ,f xg x图像便于作出，所以可用数形结合求出m的范围 解：因为 g x为常系数函数，先做出 g x图像 由图像可得：1x 时， 0g x ， 故 f x图像必为开口向下的抛物线 （否则不满足条件） ， 可得0m， f x与x轴有两个交点 12 2 ,3xm xm，结合条件可得，较小的根 应小于4，较大的根应小于 1。故对m进行分类讨论： 23 21 34 mm m m 或
18、23 24 31 mm m m 解得：42m 答案：4, 2m 例 10：定义在R上的可导函数 f x满足： 2 fxf xx， 当0x时， fxx， 则不等式 1 1 2 fxfxx的解集为_ 思路：不易入手时可先梳理条件与结论能提供什么： 所解不等式 11 110 22 f xfxxf xfxx，令 1 1 2 F xfxfxx，可猜出 1 0 2 F ，进而目标转向求 F x的单调性。 11Fxfxfx（注：1fx是复合函数， 求导时要用复合函数求导法则： 1111fxfxxfx ） ，想办法确定其符号 2 fxf xx：两边求导可得 2fxfxx 当0x时 fxx：此为 fx用x表示的
19、一个条件，进而有可能将 Fx中抽象的 fx ， 1fx表示出来 由此发现，只要能确定当0x 时 fx与x的关系，即可处理 Fx的符号，联系条件 当0x 时， 22)fxxfxxxx ， fxx =11110Fxfxfxxx ，进而 F x单调递减 1 , 2 x 时， 1 0 2 F xF 答案： 1 , 2 小炼有话说： （1）在解决此类条件零碎的问题时，除了将所给条件和结论进行进一步的分析外，还要在做 得过程中明确下一步需要做什么，需要得到什么。 （2）在考试中本题也可利用特殊函数得到答案。由 2 fxf xx可构造一个符合条件 的函数如“ 2 1 2 x+奇函数”的形式。在根据 fxx进
20、行调整。例如 2 1 2 fxxx，然 后求解不等式即可。 （因为从题目上看可发现只要满足条件的函数 f x均可使不等式的解集 相同） 三、历年好题精选 1 1、已知定义域为已知定义域为R的函数的函数)(xf在在), 2( 上单调递减，且上单调递减，且)2( xfy为偶函数，则关于为偶函数，则关于x 的不等式的不等式0) 1() 12(xfxf的解集为（的解集为（ ） A. A. 4 ,2, 3 B.B. 4 ,2 3 C.C. 4 ,2, 3 D.D. 4 ,2 3 2、若关于若关于x的不等式的不等式12axx有解，有解，则实数则实数a的取值范围是的取值范围是_ 3、（2014， 庆安高三期
21、中） 设， 庆安高三期中） 设 2),1(log 2,2 )( 2 3 1 xx xe xf x ， 则不等式， 则不等式2)(xf的解集为的解集为 （ ） A (1,2)(3,) B),10( C(1,2)( 10,) D)2 , 1 ( 4、 （2016，北京西城高三期末），北京西城高三期末）已知函数已知函数 ( )f x的部分图象如 的部分图象如 图所示，若不等式图所示，若不等式2()4f xt 的解集为的解集为( 1,2)，则实，则实 数数t的值为的值为_. 5 5、 设不等式设不等式 2 220xaxa的解集为的解集为A， 若， 若1,3A， 则实数， 则实数a的取值范围是 （的取值
22、范围是 （ ） A. A. 11 1, 5 B. B. 11 1, 5 C. C. 11 2, 5 D. D. 1,3 6 6、设函数设函数 2 1 ln 1 1 f xx x ，则使得则使得 21f xfx成立的成立的x的取值范围是的取值范围是 （ ） A. A. 1 ,1 3 B. B. 1 ,1, 3 C. C. 1 1 , 3 3 D. D. 11 , 33 7 7、 （20152015 新课标新课标 IIII）设函数）设函数 fx是奇函数是奇函数 f xxR的导函数的导函数，10f ，当当0x 时时， 0xfxf x，则使得则使得 0f x 成成立的立的x的范围是的范围是（ ） A.
23、 A. , 10,1 B. B. 1,01, C. C. , 11,0 D. D. 0,11, 8 8、 （20142014，新课标全国卷，新课标全国卷 IIII）已知偶函数）已知偶函数 f x在在0,单调递减单调递减， 20f，若若 10f x ，则则x的取值范围是的取值范围是_ 9 9、 （20142014，浙江）设函数，浙江）设函数 2 2 ,0 ,0 xx x f x xx ，若若 2ff a ，则实数则实数a的取值范围是的取值范围是 _ 1010、 （2012016 6，重庆万州，重庆万州二中）已知二中）已知定义在实数集定义在实数集R的函数的函数 f x满足满足 14f，且，且 f
24、x导函导函 数数 3fx ，则不等式，则不等式ln3ln1fxx的解集为（的解集为（ ） A. A. 1, B. B. , e C. C. 0,1 D. D. 0,e 1111、设偶函数设偶函数 f x满足满足 240f xxx，则不等式，则不等式20f x的解集为（的解集为（ ） A. , 24, B. ,04, C. ,06, D. , 22, 1212、已知函数已知函数 1 lnsin 1 x f xx x ，则关于，则关于a的不等式的不等式 2 240f af a的解集是的解集是 _._. 1313、设函数设函数 2 3 ,1 ,1 x x f x xx ，若，若 9f x ，则，则x
25、的取值范围是（的取值范围是（ ） A. , 23, B. 2,3 C. , 32, D. , 23, 1414、设设 f x是定义在是定义在R上的奇函数，在上的奇函数，在,0上有上有 2220xfxfx且且 20f， 则不等式则不等式20xfx 的解集为的解集为_ 1515、设函数设函数 f x在在R上存在导数上存在导数 fx，对任意的，对任意的xR，有，有 2 fxf xx，且，且 0,x时，时， fxx，若，若 222faf aa，则实数，则实数a的取值范围是（的取值范围是（ ） A. A. 1, B. B. ,1 C. C. ,2 D. D. 2, 16、定义在定义在R上的函数上的函数(
26、 )f x满足：满足：( )( )1,(0)4,f xfxf则不等式则不等式( )3 xx e f xe（其（其 中中e为自然对数的底数）的解集为（为自然对数的底数）的解集为（ ） A.A.0, B B. . ,03, C C. . ,00, D D. .3, 1717、已知函数已知函数 2 2,1 ( ), (1)2,1 x f x xx 则不等式则不等式 2 (1)(2 )fxfx的解集是（的解集是（ ） A | 112xx B |1221x xx 或 C | 121xx D |112x xx 或 1818、定义在定义在R上的函数上的函数( )f x满足：满足：(1)1f，且对于任意的，且
27、对于任意的xR, ,都有都有 1 ( ) 2 fx ，则不，则不 等式等式 2 2 log1 (log) 2 x fx 的解集的解集为为 _._. 习题答案： 1 1、答案：C 解析：由)2( xfy为偶函数可知 f x关于2x 轴对称，因为)(xf在), 2( 上单调递 减，所以结合对称性与单调性，数形结合可知距离2x 越近的点，函数值越大。则 (21)(1)21212fxf xxx ， 即231xx， 可 解 得 ： 4 ,2, 3 x 2、答案：, 11,a 解析：不等式变形为：21axx，设 23,2 211,12 32 ,1 xx f xxxx x x 结合图像可知： 若不等式21a
28、xx有解， 则 f x的图像有位于ya下方的部分， 所以1a ，解得, 11,a 3、答案：C 解析：若2x，则 1 22101 x exx ，所以有1,2 若2x时，可得： 22 3 log1219xx 解得： 10,10x ，所 以 10,x 综上所述：不等式的解集为(1,2)( 10,) 4、答案：1 解析：由图像可知：当xt的范围应该在0,3，即不等式的解集为：,3tt，依题意可 得：1t 5 5、答案：A 解析：分两种情况，若A，则 2 04420aa解得12a ，当A设 方程 2 220xaxa的两根为 12 ,x x，则问题转化为 12 ,1,3x x ，从而用根分布进行求 解，
29、 设 2 22f xxaxa， 则： 2 3010 1150 30 4420 0 1313 af a f aa aa ， 解得： 11 2, 5 x ， 综上所述，可得： 11 1, 5 x 6 6、答案：A 解析：由 2 1 ln 1 1 f xx x 可知 f x为偶函数，当0x 时，可判断出 f x单调 递增，由对称性和单调性通过作图可知：距离y轴越近，则函数值越小。所以 2121fxfxxx，解得 1 1 3 x 7 7、答案：A 解析： 设 f x g x x ， 所以 g x为偶函数， 且 2 xfxf x gx x ， 由已知可得：0x 时， 0g x ， 所以 g x在0,单调
30、递减。 由 f x为奇函数可知 110ff ， 所以 10g， 所以可得0,1x时， 0 f x g x x ， 从而 0f x ， 同理1,x 时， 0f x ，再由 f x奇函数的特点可得, 1x 时， 0f x 。综上所述： , 10,1x 时， 0f x 8 8、答案：1,3 解析：令1tx，则先解 0f t ， f x在0,单调递减， 20f 0,2t 时， 0f t f x是偶函数 0f t的解集为2,2t 21213xx 9 9、答案：, 2 解析： 通过数形结合处理， f x的图像如图所示， 令 tf a， 则先解 2f t ，由图可得：2t 即 2f a ，再由图可 知2a
31、1010、答案：D 解析：由 3fx 可得： 330fxf xx ，设 3g xf xx，可得 g x 为减函数， 1131gf。所解不等式中令lntx，则 31f tt，即解 1g t ， 由 g x为减函数及 11g可知1t 。苏哟哟ln10,xxe 11、答案：B 思路： f x是偶函数，在0,中可得2,x时， 0f x ，由对称性可得： 2, 2x 时， 0f x ，所以对于不等式20f x，只需 22, 2x ，解得： 4,0x 1212、答案： 3,2a 思路：虽然 f x有具体解析式，但 2 2 ,4f af a若代入解析式，则形式过于复杂， 所以考虑利用函数性质求解。分析 f
32、x可得以下性质： 定义域1,1； 2 ln1sin 1 f xx x 可判定 f x单调递增； 0fxf x可判定 f x 为奇函数，从而 222 240244f af af af afa 进而可得： 2 2 121 141 24 a a aa ，解得： 3,2a 注：本题解题时注：本题解题时要注意要注意 2 2,4aa应在定义域之中应在定义域之中，也是本题的易错点，也是本题的易错点 1313、答案：A 解析：方法一：当1x时， 39 x f x ，解得：2x，当1x时， 2 9f xx， 解得：3x ，综上可得： , 23,x 方法二：本题分段函数易于作图，可以考虑作图，所解不 等式为 f
33、x位于水平线9y 上方的部分， 计算出临界值 再利用图像直接写出解集 1414、答案： 1,00,1 解析： f x为奇函数 2fx为奇函数 设 2g xxfx g x为偶函数，故只需考虑,0x 的情况即可 222020xfxfxxfx ，即 0gx g x在,0单调递减 1120gf 110gg 1,0x 时 10g xg 有偶函数性质可得：20xfx 的解集为 1,00,1 1515、答案：B 解析：所解不等式没有具体表达式，考虑利用函数性质求解。由 222faf aa可 得： 2220faf aa，构造函数 222g afaf aa，可猜得： 10g，进而考虑 g a的单调性。 22g
34、afafa，若要判断 g a的符 号，首要解决 2,fafa。条件 fxx提供了将 fx放缩为表达式的方式，但仅 局限于0,x，而所求2, a a并不知其符号，所以考虑解决,0x 的情况。由 2 22fxf xxfxfxxfxxfx，当,0x 时， 0,x ， 22fxxfxxxx ，可得,0x 或0,x时， 均有 fxx，从而 22220g afafaaa ，可得 g a单 调递减。再由 10g可得： 0g a 的解集为,1 16、答案：A 思路：这道题条件零散，寻找其中的联系。所求不等式中有( ) x e f x，而在所给不等式 ( )( )1f xfx中存在 f x轮流求导，想到导数的乘
35、除法则。两边同乘 x e（只有 x e的导函 数与原函数相同） ， ( )( )0 xxxxx e f xe fxee f xe 0 xxxx e f xeh xe f xe单调递增，由此再观察所求不等式便会发现联系 ( )3( )3 xxxx e f xee f xe ， 0013hf ，由单调性可得当0x时， 3h x ，即( )3 xx e f xe 17、答案：B 通过作图可得： 2 (1)(2 )fxfx只需 2 12xx，即 2 21012xxx 或 12x 1818、答案：(0,2) 解析：设 2 logtx，即解不等式 111 222 t f tf tt ，因为 1 ( ) 2 fx ，所以 11 0 22 fxf xx ，设 1 2 g xf xx，则 g x为减函数，且 1 1 2 g 1t 时， 11 1 22 g tf ttg，所以 2 log10,2xx
