1、 微专题 47多变量表达式的范围放缩消元法 一、基础知识： 在有些多变量表达式的题目中，所提供的条件为不等关系，则也可根据不等关系进行消 元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得最值 1、放缩法求最值的理论基础： 不等式的传递性：若 ,f x yg xg xm，则,f x ym 2、常见的放缩消元手段： （1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消 元 （2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其 等于 0，达到消元的效果 （3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果 （4）主元法
2、：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利 用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。 3、放缩消元过程中要注意的地方： （1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的 不等号为“” ；若求最大值，则对应的不等号为“” 。放缩的方向应与不等号的方向一致 （2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不 等式的传递性， 所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。 若将关于, x y 的表达式,f x y 进行放缩消去y，得到 g x，例如 ,f x yg x，则下一步需要求出 g x的最小值（记
3、 为m） ，即 ,f x yg xm，通过不等式的传递性即可得到,f x ym。同理，若放缩 后得到： ,f x yg x，则需要求出 g x的最大值（记为M） ，即 ,f x yg xM， 然后通过不等式的传递性得到,f x yM （3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式 中等号能够一直传递下去 二、典型例题： 例 1：设集合 3 |12bab a 中的最大元素与最小元素分别为,M m，则Mm的值 为_ 思路：考虑分别求出 3 b a 的最大值与最小值，先求 3 b a 的最大值，只需a取最小，b取最 大： 33 25 1 b a 即5M ，再求 3
4、 b a 的最小值，由1ab可知利用ba进行放 缩 ， 从 而 消 去b， 可 得 ： 33 ba aa ， 再 利 用 均 值 不 等 式 可 得 ： 333 22 3baa aaa ，所以 3 b a 的最小值2 3m ，从而52 3Mm 答案：52 3 例 2： 已知, ,A B C是任意三点，,BCa CAb ABc， 则 cb y abc 的最小值是_ 思路：因为abc，所以结合不等号的方向可将a消去，从而转化为关于, b c的表达式： 2 cbcbcb abcbcbcbcc ，然后可从 b c 出发，构造出与第一项互为倒数的性质 以 便 于 利 用 均 值 不 等 式 解 出 最
5、值 ： 1 21 21 222 bbbc ccc ， 从 而 有 ： 1 211 2 2222 cbc bcc ，所以 1 2 2 cb y abc 答案： 1 2 2 例 3：设实数, ,a b c满足 22 1abc，则abc的最大值为_ 思路：由abc可联想到ab与 22 ab的关系，即 22 2 2 ab ab ，所以 22 2 2 ab abcc ， 然 后 可 利 用 22 abc进 一 步 放 缩 消 元 ， 得 22 22 2 ab abcccc ，在利用1c 即可得到最大值：221cc， 所以abc的最大值为21，其中等号成立条件为： 22 2 2 11 ab ab abc
6、cc 答案：21 小炼有话说：本题也可从 22 ab入手，进行三角换元： cos sin ar br ，由 22 abc可得 rc，然后根据不等号的方向进行连续放缩，消去, , r c 即可得到最值： cossin2 sin2221 4 abcrrcrcrccc 例 4：已知关于x的一元二次不等式 2 0axbxc在实数集上恒成立，且ab，则 abc T ba 的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 思路：由不等式恒成立可得： 2 40bac ，结合所求表达式和不等号方向可知更易于消 去c，即 2 4 b c a ，所以 2 22 2 44 4 44 b ab aabb a
7、T baaba ，对于该其次分式可两边同时除以 2 a，可得： 2 44 1 4 1 bb aa T b a ，令 b t a 由ab可知1,t从而将问题转化为 求 2 44 1 tt y t 的最小值。 2 449 6112 11 tt yt tt ，从而 1 3 4 Ty 答案：D 小炼有话说： 本题的关键之处在于选择消去的元， 如果选择, a b， 则因分式中含, a b的项较多， 消元会比较复杂，不利于求得最值。所以处理多变量表达式的最值时，选择消去合适的元是 关键 例 5 （2010， 四川） 设0abc， 则 22 11 21025aacc aba ab 的最小值为 （ ） A.
8、2 B. 4 C. 2 5 D. 5 思路：表达式含变量个数较多，且没有等量条件消元，所以考虑式子中是否存在不等关系来 减少变量个数，观察式子可发现存在完全平方式，即 2 22 102550aaccac，从而 消去了c， 得 222 1111 21 02 5aa cca a ba a ba ba a b ， 然后根据分母特征： 2 ,ab a abaab构造 22 1111 aaabab aba ababa ab ，由均值 不等式得： 22 4 1111 44aababaabab aba abab a ab ，验证等 号成立条件： 2 2 2 5 2 11 2 2 5 a ac b aabab
9、 abaab c ，从而最小值为4 答案：D 小 炼 有 话 说 ： 本 题 在 处 理 2 11 a aba ab 的 最 值 时 还 可 以 从 分 式 入 手 ： 111abb aba abab abb ab ， 从 而 对 分 母 利 用 均 值 不 等 式 ： 2 2 24 baba b ab 消去b，所以 22 2 114 4aa aba aba 例 6：已知正数, ,x y z满足 222 1xyz，则 1 2 z s xyz 的最小值是_ 思路：所求表达式涉及 3 个变量，首先确定主元，通过观察可发现分母中的2xy可与条件中 的 22 xy具备不等关系，而 222 1xyz 可
10、用z表示，且不等号的方向与所求一致，故考 虑利用不等式进行放缩消元，进而得到关于z的表达式求得最值 解： 222222 11xyzxyz ，因为 22 2xyxy 所以有 222 111 21xyxyz 22 2 11111 = 2111 11 42 zzz s xyzzz zzzzz z 2 111 424 z 2 1 4 11 42 s z （等号成立条件： 222 6 1 4 2 6 4 1 1 2 x z xyy xyz z ） 例 7：设, ,0x y z ，且2xyz，则 22 23xyz的最大值是_ 思路：本题虽然有 3 个变量，但可通过2xyz进行消元，观察所求式子项的次数可知
11、 消去y更方便，从而可得 2222 23232xyzxxzz。然后可使用“主元法”进 行处理，将x视为主元，即 22 232f xxxzz但本题要注意x的取值范围与z相 关，即0,2xz，通过配方（或求导）可知 f x的最大值在边界处取得，即 22 max max 32,588f xzzzz，0,2z，从而达到消去x的效果，再求出 22 gmax 32,588zzzzz中的最大值即可 解：2xyz 2yxz 2222 23232xyzxxzz 设 22 232f xxxzz ,00 22 x y zx yxzxz 02xz 41fxx 1 4 x为 f x的极小值点 max max0 ,2f
12、xffz 2 222 032,22 23588fzzfzzzzz 22 max max 32,588f xzzzz 其中0,2z 设 22 max 32,588g zzzzz 若 22 3 325882 2 zzzzz 2 2 3 32,2 2 3 588,0, 2 zzz g z zzz 可得： max 212g zg 222222 23232max 32,588212xyzxxzzzzzzg 例 8：已知函数 12 1 10 2 x f xfefxx （1）求 f x的解析式及单调区间 （2）若不等式 2 1 2 f xxaxb恒成立，求1ab的最大值 解： （1） 1 10 x fxfe
13、fx ，代入1x 可得： 110101ffff 12 1 1 2 x f xfexx ，令0x 可得： 1 01 f ffe e 2 1 2 x f xexx 1 x fxex，可知 00f fx在R上单调递增 ,0x 时， 0fx 0,x时， 0fx f x在,0单调递减，在0,单调递增 （2）恒成立的不等式为： 22 11 22 x exxxaxb即0 x exaxb 设 x g xexaxb min0g x 1 x g xea，令 0g x ，即解不等式1 x ea 若10a ，可解得ln1xa g x在,ln1a单调递减，在ln1 ,a 单调递增 min ln11ln1ln10g xg
14、aaaaab 11 ln1baaa 22 111ln1abaaa 下面求 22 11ln1aaa的最大值 令 2 1ta，设 1 lnln0 2 h ttttttt t 11 11ln1ln 22 h ttt 令 0h t ，可解得0te h t在0,e单调递增，在, e 单调递减 max 1 2 h th ee 1 2 e ab 当10a 时，可得10 2 e ab 当10a 时， 1 x g xeaxb g x为增函数 且x 时， 1ax， g x ，与 0g x 恒成立矛盾 综上所述：1ab的最大值为 2 e 例 9：已知函数 222 ,221, xx f x tet exxttR xR
15、，求,f x t的最小值 思路：在多元表达式中不易进行变形消元，观察到变量t存在二次函数的结构，所以考虑利用 “主元法” ，将t视为自变量，x视为参数，通过配方，并利用完全平方数的特征消去t，从而 得到关于x的函数，然后求得最小值即可。 解： 2 2 22 1 ,221 222 x xxx ex x f x ttex texe 2 2 2 1 21 222 x xx exx texe 2 0 2 x ex t 22 11 ,1 22 xx f x texxe 设 22 11 1 22 xx g xexxe 2 1 xxxxx gxexexeexe 设 x h xex，可知 1 x h xe h
16、 x在,0单调递减，在0,单调递增 010h xh 0 x ex恒成立 令 0g x ，即解不等式100 x ex g x在,0单调递减，在0,单调递增 3 0 2 g xg 3 , 2 f x tg x 即,f x t的最小值为 3 2 例 10：已知函数 3 3f xxxa aR （1）若 f x在1,1上的最大值和最小值分别记为 ,M a m a，求 M am a （2）设bR，若 2 4f xb 对1,1x 恒成立，求3ab的取值范围 解： （1） 3 3 33 , 33 , xxa xa f x xxa xa 2 2 33, 33, xxa fx xxa 当1a时，可得xa 3 33
17、f xxxa f x在1,1单调递增 143 ,143M afa m afa 8M am a 当1,1a 时， 3 3 33 ,1 33 ,1, xxa xa f x xxa xa 2 2 33,1 33,1, xxa fx xxa 可得： f x在1,a单调递减，在,1a单调递增 3 max1 ,143 ,23,M affaa m af aa 由 1126ffa可知： 当 1 1, 3 a 时， 3 1 ,43M afM am aaa 当 1 ,1 3 a 时， 3 1 ,23M afM am aaa 当1a 时，xa 3 33f xxxa 2 33fxx可得 f x在1,1单调递减 123
18、 ,123M afa m afa 4M am a 综上所述： 3 3 8,1 1 34, 1 3 1 32,1 3 4,1 a aaa M am a aaa a （2）不妨设 3 3 33, 33, xxab xa h xf xb xxab xa 2 2 33, 33, xxa h xfx xxa 由 2 4f xb 恒成立可知： 2 4hx 恒成立 即 22h x 对任意的1,1x 恒成立 max2h x且 min2h x 即 2M ab且 2m ab 当1a时，由（1）可知 maxmin 143,143h xhab h xhab 43232 43232 abab abab , a b无解
19、当 1 1, 3 a ， 3 maxmin 143,h xhab h xh aab 33 2323 432326 ababaa ababa ，即 3 32362aaaba 3 3262aaa 即 32 3030aaa a 1 0 3 a 另一方面： 1 62620 3 a 设 32 32330t aaat aa 恒成立 t a在 1 1, 3 单调递增 02t at 230ab 当 1 ,1 3 a ， 3 maxmin 132,h xhabh xh aab 33 2323 32230 ababaa abab ，即 3 3230aaab 3 320aa解得：2a 1 ,1 3 a 设 32 32330t aaat aa 恒成立 t a在 1 ,1 3 单调递增 128 327 t at 28 30 27 ab 当1a 时， maxmin 132,132h xhabh xhab 32230 32230 abab abab 30ab 综上所述：32,0ab
