1、 微专题 82 求二项式展开后的某项 一、基础知识： 1、二项式 n abnN展开式 011222 n nnnrn rrnn nnnnn abC aC abC abC abC b ，从恒等式中我们可以发 现这样几个特点 （1） n ab完全展开后的项数为1n （2）展开式按照a的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，, a b的指数呈此消彼长的 特点。指数和为n （3）在二项式展开式中由于按a的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a，右 边的项为b，比如：1 n x 与1 n x虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x的指数降幂 排列，后者按1的指数降幂排列。如果是 n ab，则视为 n
2、 ab 进行展开 （4）二项展开式的通项公式 1 rn rr rn TC ab （注意是第1r 项） 2、二项式系数：项前面的 01 , n nnn C CC称为二项式系数，二项式系数的和为2n 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律） ，所 以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项 乘在一起便成为了展开时中的某项。 对于 n ab可看作是n个ab相乘， 对于 n rr ab 意 味着在这n个ab中， 有nr个式子出a， 剩下r个式子出b， 那么这种出法一共有 r n C 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组
3、合问题。而二项式系数便是这个组合问题 的结果。 3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数 注： （1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的 r n C，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r决定。而系数是指展开并化简后最后项前面 的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如： 5 21x 展开式中第 三项为 3 22 35 21TCx，其中 2 5 C为该项的二项式系数，而 3 223 35 2180TCxx 化简后的结果80为该项的系数 （2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为 1时（排除项本身
4、系数的干扰） ，则展开后二项式系数与系数相同。例如 5 1x 展开式的第 三项为 3 22 35 1TCx，可以计算出二项式系数与系数均为 10 3、有理项：系数为有理数,次数为整数的项，比如 2 1 2, 5 x x 就是有理项，而 3 , 5xx就不是有 理项。 4、 n ab与 n ab的联系：首先观察他们的通项公式： n ab： 1 rn rr rn TC ab n ab： 1 1 rr rn rrn rr rnn TC abC ab 两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数。其绝对值相等。所以在考虑 n ab系数的绝对值问题时，可将其转化为求 n ab系数的问题 5、二
5、项式系数的最大值：在 01 , n nnn C CC中，数值最大的位于这列数的中间位置。若n为奇 数（共有偶数项） ，则最大值为中间两个，例如5n 时，最大项为 23 55 CC，若n为偶数（共 有奇数数项） ，则最大值为中间项，例如6n时，最大项为 3 6 C 证明：在 01 , n nnn C CC中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为 r n C，则有 1 1 ! 11 !1 !1 ! 1 !11 !11 !1 ! rr nn rr nn nn rnrrnr CC rnr nn CC rnrnrrrnr 所以解得： 1 2 1 2 n r n r 即 11 22 nn r 所
6、以当n为奇数时（21nk） ，不等式变为1krk ，即1rk或rk为中间项 当n为偶数时（2nk） ，不等式变为 11 + 22 krk，即rk为中间项 6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要计 算所得，大致分为两种情况： _ n 型：不妨设项 1r T 的系数为 1r P ，则理念与二项式系数最值类似，最大值首先要比 相邻项大，所以有 1 12 rr rr PP PP ，再根据通项公式代入解不等式即可 _ n 型：其展开式的特点为项的符号有正有负，所以在解决此类问题时有两种方法：一种 是只选取其中的正项进行比较，但序数相隔。即 11 13 rr rr
7、 PP PP ，在运算上较为复杂；一种是先 考虑系数绝对值的最大值， 从而把问题转化为_ n 的最大值问题， 然后在考虑符号确定系 数最大值。 例 1：二项式 8 3 1 2 x x 展开式中的常数项是_ 方法一：思路：考虑先求出此二项式展开式的通项公式，令x的指数为 0，求出r的值再代入 计算即可 解： 88 11 8 33 188 1 1 22 r rr r r rrr r x TCxCxx 依题意可得： 1 806 3 rrr 常数项为 2 6 6 78 1 17 2 TC 方法二：思路：对 8 3 1 2 x x 中的 8 个 3 1 2 x x 因式所出的项进行分配，若最后结果为常
8、数项，则需要两个式子出 2 x ，六个式子出 3 1 x 相乘， 所以常数项为： 62 2 8 3 1 7 2 x C x 答案：7 小炼有话说：通过本题说明求二项式展开式中某项的两种主流方法：一是通过通项公式，先 化简通项公式，再利用题目中所求项的特征求出r的值，进而求解；二是分析展开式中每一项 构成的本质，即每一个因式仅出一项，然后相乘得到，从而将寻找所求项需要的出项方案， 将其作为一个组合问题求解。 例 2：在 6 2 1 x x 的展开式中， 3 x的系数是_ 思路一：考虑二项展开的通项公式： 6 2 62112 3 1666 rr rrrrrr r TCxxC xC x 由所求可得：
9、12 333rr 333 46 20TC xx 思路二：可将其视为 6 个因式出项的问题，若要凑成 3 x，需要3个 2 x，3个 1 x 所以该项为： 3 3 323 6 1 20Cxx x 答案：20 小炼有话说：利用二项式定理求某项，通常两种思路：一种是利用二项式展开的通项公式， 结合条件求出r的值再求出该项；另一种是将问题转化为因式如何安排出项的问题。 例 3：若二项式 7 1 x x 的展开式中的第四项等于 7，则x的值是_ 思路：条件中涉及到项的序数，那么只能考虑利用通项公式： 7 17 1 r rr r TC x x ，第四项 中3r ， 3 34 47 1 7TC x x ，解
10、得： 1 5 x 答案： 1 5 x 例 4：已知 9 1 x ax 的展开式中 3 x项的系数为 21 2 ，则实数a的值为_ 思路：先利用通项公式求出 3 x的项，在利用系数的条件求出a的值即可 解： 99 2 199 11 rr rrrr r TC xCx axa 9233rr 3 333 49 3 184 TCxx aa 3 8 42 1 2 2 a a 答案：2a 例 5：已知二项式 2 ()nx x 的展开式中各项二项式系数和是 16，则展开式中的常数项是_ 思路： 要想求得展开式的某项， 首先要先确定n的取值， 先利用二项式系数和求出n：216 n 即4n，再求 4 2 ()x
11、x 展开式的常数项为 2 22 4 2 24C x x 答案：24 例 6： 5 2 11xxx的展开式中， 4 x项的系数为_ 思路：已知表达式展开式中的每一项由两部分相乘而成，要想凑得 4 x，不妨从其中一个式子 切入进行分类讨论（以 2 1xx为例） 1： 2 1xx出 1，则 5 1x出 4 x，该项为： 4 44 5 115Cxx 2： 2 1xx出x，则 5 1x出 3 x，该项为： 3 324 5 110x Cxx 3： 2 1xx出 2 x，则 5 1x出 2 x，该项为： 2 2234 5 110xCxx 综上所述：合并后的 4 x项的系数为 5 例 7： 10 2 1xx
12、展开式中 3 x项的系数为（ ） A. 210 B. 210 C. 30 D. 30 思路：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为 10 个因式如何分配所出项的问题： 若要凑成 3 x有以下几种可能： （1） ：1 个 2 x，1 个x，8 个 1，所得项为： 1218 83 10981 90C xCx Cx （2） ：3 个x，7 个 1，所得项为： 3 3773 1071 120CxCx 所以 3 x项的系数为210 答案：A 例 8：二项式 24 4 1 x x 展开式中，有理项的项数共有（ ）项 A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 思路：有理项是指变量的指数是整数，所以考虑从
13、通项公式入手： 24 24 113 6 4 424 2424 1 rr r rr xCxxC x x ，其中0,1,2,24r ，r的取值只需要让 3 6 4 rZ，则0,4,8,12,16,20,24r ，所以共有 7 个有理项 小炼有话说：在整理通项公式时可将x的根式（或倒数）转化为分数指数幂，方便进行化简。 例 9：二项式 8 21x 展开式中系数最大的项为_ 思路： 考虑 8 21x 展开式的通项公式为 88 18 2 rrr r TC x ， 其系数设为 1r P， 即 8 18 =2 rr r PC ， 若要 1r P最大，则首先要大于相邻项，即 1 12 rr rr PP PP
14、，代入解得r的范围即可确定出r的值， 从而求出该项 解： 8 88 188 212 r rrrrr r TCxC x 设 1r T 项的系数为 8 18 =2 rr r PC 若 1r P最大，则 8181 881 8+18+1 12 88 22 22 rrrr rr rrrr rr CCPP PP CC 89 87 8!8! 12 22 ! 8!1 ! 9! 9 8!8!21 22 ! 8!1 ! 7!81 rr rr rrrr rr rrrrrr 解得：23r 2r 或3r 经检验：系数最大的项为 5 34 1792TTx 答案： 5 1792x 例10 ： 已 知 2109 012100
15、19 ,gxaaxaxaxhxbb xbx， 若 1910 1121xxxg xh x，则 9 a （ ） A. 0 B. 19 102 C. 18 102 D. 18 32 思路：由条件中恒等式的特点可得对应项的系数相等，在 10 1xg x中，与 9 a相关的最高 次项为 19 x，故以此为突破口求 9 a，等式左边 19 x的系数为 1918 18 19 22C，而右边 19 x的 系数为 9 9 91010 1aaC， 所以 91918 918 9101019 122aaCC ， 只需再求出 10 a即 可，同样选取含 10 a的最高次项，即 20 x，左边 20 x的系数为 19 2，右边 20 x的系数为 10 a， 所以 19 10 2a 。从而可解得 18 9 32a 答案：D 小炼有话说： 求 9 a选择以哪项作为突破口很关键， 要理解选最高次项的目的是为了排除其他 系数的干扰，如果选择项的次数较低，则等式中会出现 128 ,a aa甚至1,2,9 i b i ，不 便于求解。本题选择 19 x这项时，仅仅受到 10 a的干扰，再寻找与 10 a的相关项（最高次项）即 可解决。
