1、5简单复合函数的求导法则课前预习学案观察下列几个函数：(1)y(5x4)3，(2)ylog3(x22x3)，(3)ysin2(3x5)它们是基本初等函数吗？如果不是，那么，能看作由哪几个基本初等函数复合而成呢？提示它们都不是基本初等函数，其中(1)由yu3和u5x4复合而成；(2)由ylog3u和ux22x3复合而成；(3)由yu2和usin v和v3x5复合而成一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)axb，给定x的一个值，就得到了_的值，进而确定了_的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作y_其中u为_1复合函数uyf(g(x)中间变量(
2、2)理解复合函数的结构规律：判断复合函数的复合关系的一般规律是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的 关 系 为 y x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.即 y 对 x 的 导 数 等 于_乘积2复合函数的导数yuuxy对u的导数与u对x导数的求复合函数的导数要处理好以下环节(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)
3、一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数1函数y(3x4)2的导数是()A4(3x2)B6xC6x(3x4)D6(3x4)解析：原函数由yt2和t3x4复合而成，yt2t，tx3，yx2t36(3x4)答案：D2函数ysin(2x1)的导数是()Acos(2x1)B2xsin(2x1)C2cos(2x1)D2sin(2x1)解析：ycos(2x1)22cos(2x1)答案：C3函数ye2xex的导数为_答案：2e2xex课堂互动讲义求简单复合函数的导数(2)引入中间变量u(x)2 012x8，则函数ycos(2 0
4、12x8)是由函数f(u)cos u与u(x)2 012x8复合而成的查导数公式表可得f(u)sin u，(x)2 012.根据复合函数求导法则可得cos(2 012x8)f(u)(x)(sin u)2 0122 012sin u2 012sin(2 012x8)(3)引入中间变量u(x)13x，则函数y213x是由函数f(u)2u与u(x)13x复合而成的，查导数公式表得f(u)2uln 2，(x)3，根据复合函数求导法则可得(213x)f(u)(x)2uln 2(3)32uln 23213xln 2.复合函数求导的关键是选择中间变量，正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的
5、，分清之间的复合关系求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，最后是中间变量对自变量求导，不遗漏、不越级求导后，要把中间变量转换成自变量的函数导数的综合运算问题思路导引应用指数、对数函数的求导公式，结合函数四则运算求导法则及复合函数的求导法则进行解题求导过程中，可先适当进行变形化简，将对数的真数位置转化为有理函数形式后再求导当然变形化简时要注意等价性解决此类问题关键是分析函数式的结构，要分清原函数是哪几个函数的和、差、积、商，其中的复合函数又是如何复合而成，然后才能正确地运用导数的四则运算法则、复合函数求导法则以及基本初等函数的求导公式，得到正确结果已知函数yf(x)xln(2x1)(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数在x1处的切线方程思路导引(1)综合利用乘积函数与复合函数的求导法则求导(2)函数在x1处的导数值为切线斜率，利用点斜式求切线方程求切线方程求较为复杂的函数图像的切线，关键在于正确求导，复合函数求导时，要特别注意每层函数分别是对哪个变量求导【错因】只注意到应用乘积的导数法则，而忽视了ex与sin x也是复合型函数，导致了在求(ex)和(sin x)出现错误
