1、第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 18.2.1 矩矩 形形 新知新知 1 矩形的定义矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 拓展：矩形首先是一个平行四边形，然后增加 一个角是直角这个特殊条件. 所以说，矩形是特殊的 平行四边形. 例题精讲例题精讲 【例1】如图1823，在ABC中，ABBC，BD平 分ABC. 四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F， 连接CE. 求证：四边形BECD是矩形. 解析 根据已知条件易推四边形BECD是平行四边, 形.结合等腰ABC“三线合一”的性质证得BDAC， 即BDC90，根据“有一角是直角的平行四边形是
2、BECD是矩形. 证明 ABBC，BD平分ABC， BDAC，ADCD. 四边形ABED是平行四边形， BEAD，BEAD. BEDC，BEDC. 四边形BECD是平行四边形. BDAC，BDC90，四边形BECD是矩形. 举一反三 1. 已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件 能使四边形ABCD成为矩形的是( ) A. OAOC，OBOD B. ACBD C. ACBD D. ABCBCDCDA90, D 2. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形 门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案， 其中正确的是( ) A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C
3、. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角 D 新知新知 2 矩形的性质矩形的性质 矩形的性质包括四个方面：(1)矩形具有平行四 边形的所有性质；(2)矩形的对角线相等；(3)矩形的 四个角都是直角；(4)矩形是轴对称图形，它有两条 对称轴. 例题精讲 【例2】如图1824，在矩形ABCD中，点E，F分 别在边AB，BC上，且AE AB，将矩形沿直线EF折 叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点 Q，对于下列结论：EF2BE；PF2PE；FQ 4EQ；PBF是等边三角形.其中正确的是( ) 解析 求出BE2AE，根据翻折的性质可得PEBE， 再根据直角三角形30角所
4、对的直角边等于斜边的一半 求出APE30，然后求出AEP60，再根据翻 折的性质求出BEF60，根据直角三角形两锐角互 余求出EFB30，然后根据直角三角形30角所对 的直角边等于斜边的一半可得EF2BE，判断出正确； 根据翻折的性质，可知PEFBEF60，ABC EPF90. 利用三角形内角和定理可知，PFE 30， 再根据直角三角形30所对的直角边等于斜边的一半 及勾股定理求出PF PE，判断出错误；求出BE 2EQ，EF2BE，然后求出FQ3EQ，判断出错误； 求出PBFPFB60，然后得到PBF是等边三 角形，判断出正确. 解 AE AB，BE2AE. 由翻折的性质得，PEBE， AP
5、E30，AEP903060. BEF (180AEP) (18060) 60. EFB906030. EF2BE，故正确. BEPE，EF2PE. EFPF，PF2PE，故错误. 由翻折可知EFPB， EBQEFB30. BE2EQ，EF2BE. FQ3EQ，故错误. 由翻折的性质，EFBBFP30， BFP303060. PBF90EBQ903060， PBFPFB60. PBF是等边三角形，故正确. 综上所述，结论正确的是，故选D. 举一反三 1. 如图1825，矩形ABCD的对角线AC，BD相交 于点O，AB3，AOD120，则AD的长为( ) A. 1 B. C. 6 D. B 2.
6、如图1826，矩形ABCD中，AC交BD于点O， AOD60，OEAC. 若AD ，则OE等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A B 3.如图1827，矩形ABCD中，AEBD，垂足为 点E，若DAE3BAE，则EAC的度数为( ) A. 67.5 B. 45 C. 22.5 D. 无法确定 新知新知 3 直角三角形的性质直角三角形的性质 直角三角形的性质： (1)在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那 么它所对的直角边等于斜边的一半. (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例题精讲 【例3】如图1828所示，四边形ABCD中， BAD90，BCD90，E，F分别是B
7、D，AC 的中点，求证：EFAC. 解析 连接AE，CE，根据直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半可得AE BD，那么AECE， 再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明EFAC. 证明 如图1829，连接AE，CE. BADBCD90，E是BD的中点， AE BD，CE BD. AECE. 又F是AC的中点， EFAC. 举一反三 1. 如图18210，ABC中，ABAC12，BC 8，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连 接DE，则CDE的周长是( ) A. 20 B. 12 C. 16 D. 13 C 2.如图18211，在三角形ABC中，ABAC，BC 6，三角形DEF的周
8、长是7，AFBC于点F，BEAC 于点E，且点D是AB的中点，则AF等于( ) B 3.如图18212，ABC中，AB，BC，CA的中点分 别是E，F，G，ADBC.则下列选项正确的有 个. ( ) EDGEFG； BBDE； CDGC； GFCADE. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 新知新知 4 矩形的判定方法矩形的判定方法 矩形的判定方法有以下几种： (1)定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2)四个角均相等的四边形是矩形； (3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形； (4)有两邻角相等的平行四边形是矩形； (5)对角线相等的平行四边形是矩形； (6)有三个角是直角
9、的四边形是矩形. 例题精讲 【例4】如图18213所示，四边形ABCD的对角 线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件 是( ) A. ABCD B. ADBC C. ABBC D. ACBD 解析：由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四 边形ABCD是平行四边形，再添加ACBD，可根据 对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是 矩形. 答案 D 点评 此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的 判定：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形 是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角 线相等的平行四边形是矩形. 例题精讲 1.下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的 是( ) A
10、. ABCD，ABCD，ACBD B. ABD90 C. ABBC，ADCD，C90 D. ABCD，ADBC，A90 C 2.下列结论正确的是( ) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 3.对于四边形ABCD，给出下列4组条件：A BCD；BCD；AB， CD；ABC90，其中能得到 “四边形ABCD是矩形”的条件有( ) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 D B 新知新知 4 矩形的面积矩形的面积 矩形的面积公式：S矩形长宽(两邻边的乘积). 例题精讲 【例5】
11、如图18214所示，在 ABCD中，对角 线AC，BD相交于点O，且AC8 cm，若ABO是等边 三角形，试求此平行四边形的面积. 解析 由ABO为等边三角形，易得ACBD， 即平行四边形为矩形，则面积易求出. 解 在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 则OAOC，OBOD. 又 ABO为等边三角形， OBOA. OAOBOCOD，即ACBD. 四边形ABCD是矩形. AC8 cm， OAOBOCODAB4(cm). 又 BAD90， 由勾股定理得：AD2BD2AB2， 即AD2824248，即AD4 (cm). 故四边形ABCD的面积为 AB AD44 16 (cm2)., 举一反三举
12、一反三 1.如图18215，ABC中，AC的中垂线交AC， AB于点D，F，BEDF交DF延长线于点E，若A 30，BC2，AFBF，则四边形BCDE的面积是 ( ) A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 A 2.已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， AOD120，AC8 cm，则该矩形的面积为 cm2. 3.如图18216，点E是矩形ABCD内任一点，若 AB3，BC4.则图中阴影部分的面积为 . 16 6 7. (6分)如图KT1826，ABCADC90， M，N分别是AC，BD的中点. 求证：MNBD. 证明： 连接BM，DM. ABCADC90， M是AC的中点， BMDM
13、 AC. 点N是BD的中点， MNBD. 8. (6分)如图KT1827，在 ABCD中，ABD的平 分线BE交AD于点E，CDB的平分线DF交BC于点F， 连接BD. (1)求证：ABECDF； (2)若ABDB，求证：四边形DFBE是矩形. ABECDF， AC， ABCD， 证明：(1)在 ABCD中，ABCD，AC. ABCD，ABDCDB. BE平分ABD，DF平分CDB， ABE ABD，CDF CDB. ABECDF. 在ABE和CDF中， ABECDF(ASA). (2)ABECDF， AECF. 四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ADBC. DEBF，DEBF. 四边形DFBE是平行四边形. ABDB，BE平分ABD， BEAD，即DEB90. 平行四边形DFBE是矩形.
