1、第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 18.2.2 菱菱 形形 新知新知 1 菱形的定义和性质菱形的定义和性质 (1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)性质：菱形的四条边相等，两条对角线互相 垂直平分，每一条对角线平分一组对角. 例题精讲例题精讲 【例1】边长为3 cm的菱形的周长是( ) A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.15 cm 解析解析 利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可. 答案答案 C 举一反三举一反三 1. 如图18219，已知某广场菱形花坛ABCD的周 长是24 m，BAD60，则花坛对角线AC的长等于 ( ) A 2.
2、如图18220，菱形中，对角线AC，BD交于点 O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的 长等于( ) A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14 A 3.如图18221，在菱形ABCD中，P，Q分别是 AD，AC的中点，如果PQ3，那么菱形ABCD的周长 是( ) A. 30 B. 24 C. 18 D. 6 B 新知新知 2 菱形的判定菱形的判定 菱形的判定方法如下： (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (3)四条边相等的四边形是菱形； (4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 例题精讲 【例2】如图18222所示，矩形ABCD
3、中，对角线 AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F，AC与EF交于点 O，连接AF、CE. (1)求证：四边形AFCE是菱形； (2)若AB3，AD4，求菱形AFCE的边长. 解析 (1)由矩形的性质得出ADBC，EAO FCO，证明AEOCFO，得出AECF，证得四 边形AFCE是平行四边形，再由对角线ACEF，即可得 出结论； (2)设AFCFx，则BF4x，在RtABF中，根据 勾股定理得出方程，解方程即可. 答案答案 (1)证明 四边形ABCD是矩形， ADBC，ADBC. EAOFCO. EF是AC的垂直平分线， AOCO，EOAFOC90. AEOCFO(ASA). AECF. 四
4、边形AFCE是平行四边形. 又ACEF，四边形AFCE是菱形. (2)解：四边形AFCE是菱形， AFCF. 设AFCFx，则BF4x， 在RtABF中，AF2AB 2BF2 ， AEO和CFO中， 即x23 2(4x)2，解得 x ， 菱形AFCE的边长为 . 点评点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定 与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平 分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论 证与计算是解决问题的关键. 举一反三 1. 已知，如图18223，在四边形ABCD中， ABCD，E，F为对角线AC上两点，且AECF， DFBE，AC平分BAD. 求证：四边形ABCD为菱
5、形. 证明：ABCD，DCABAC. DFBE，DFABEC.AEBCFD. AEBCFD(ASA). ABCD.ABCD， 四边形ABCD是平行四边形. AC平分BAD，BAEDAF. BAEDCF，DAFDCF. ADCD.四边形ABCD为菱形. 在AEB和CFD中， FCDEAB， DCFBAE， AECF， 2.如图18224，在ABC中，点D，E分别是边 BC，AC的中点，过点A作AFBC交DE的延长线于F 点，连接AD，CF. (1)求证：四边形ADCF是平行四边形； (2)当ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？ 为什么？ (1)证明：点D，E分别是边BC，AC的中点， D
6、EAB，BDDC. AFBC， 四边形ABDF是平行四边形.AFBD， 即AFDC，AFBC， 四边形ADCF是平行四边形. (2)当ABC是直角三角形时， 四边形ADCF是菱形. 理由：点D是边BC的中点， ABC是直角三角形，ADDC. 平行四边形ADCF是菱形. 新知新知 3 菱形的面积菱形的面积 菱形的面积底高对角线乘积的一半. 例题精讲 【例3】如图18225所示，O为矩形ABCD的对 角线交点，过点O作EFAC分别交AD，BC于点F， E，若AB2 cm，BC4 cm. 求四边形AECF的面积. 解析解析 求四边形AECF的面积，应先确定四边形 AECF的形状，观察图形，可猜测它为
7、菱形，再根据 已知条件进行证明. 解 四边形ABCD为矩形， OAOC，ADBC. FAOECO. 又 AOF COE， AOF COE(ASA). OEOF. 四边形AECF为平行四边形. 又 EFAC， AECF为菱形. AEEC. 设AEx，则CEx，BE4x. 在RtABE中，AE2AB2BE2， 即22(4x)2x2， 解得x2.5，即CE2.5 cm， S菱形AECFCE AB22.55(cm2). 举一反三 1. 如图18226，已知点E，F分别是 ABCD的 边BC，AD上的中点，且BAC90. (1)求证：四边形AECF是菱形； 证明：四边形ABCD是平行四边形， ADBC.
8、 在RtABC中，BAC90，点E是BC边的中点， AE BCCE. 同理，CF ADAF， AECEAFCF. 四边形AECF是菱形. (2)若B30，BC10，求菱形AECF的面积. 解：连接EF交AC于点O，如答图1821所示. 在RtABC中，BAC90，B30，BC10， AC BC5，AB 四边形AECF是菱形，ACEF，OAOC. OE是ABC的中位线.OE AB . EF . 菱形AECF的面积为 AC EF . 2. 已知：如图18227，在矩形ABCD中，对角线BD 的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N， 连接BM，DN. (1)求证：四边形BMDN是菱形；
9、(2)若AB4，AD8，求菱形BMDN的面积. (1)证明：四边形ABCD是矩形， ADBC，A90. MDONBO，DMOBNO. DMOBNO(ASA). OMON.OBOD， 四边形BMDN是平行四边形. MNBD，平行四边形BMDN是菱形. 在DMO和BNO中， MODNOB， MDONBO， BODO， (2)解：四边形BMDN是菱形， MBMD. 设MD长为x，则MBDMx. 在RtAMB中，BM2AM 2AB2， 即x2(8x)242. 解得x5. S菱形BMDNDM AB5420. 7. (6分)如图KT18211，在菱形ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O，MN过点O且与
10、边AD，BC分别交 于点M和点N. (1)请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由； 解：(1)四边形ABCD是菱形， ADBC，AOOC. OAMOCN. 又AOMCON， AOMCON. OMON. (2)四边形ABCD是菱形， ACBD，ADBCAB6. BO 2 . (2)过点D作DEAC交BC的延长线于点E，当AB6， AC8时，求BDE的周长. BD2BO22 4 . DEAC，ADCE， 四边形ACED是平行四边形. DEAC8. BDE的周长是 BDDEBEBDAC(BCCE) 4 8(66)204 ， 即BDE的周长是204 . 8. (6分)图KT18212，在四边形ABCD中，E，F， G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，请添加一个 条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由. 解：添加条件：对角线相等. 理由：连接AC，BD.在ABC中， AEBE，BFCF， EF为ABC的中位线. EF AC. 同理可得FG BD，GH AC， HE BD. 又ACBD(添加条件)， EFFGGHHE. 故四边形EFGH为菱形.
