1、2 幂的乘方与积的乘方 1.1.经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一 步体会幂的意义，提高推理能力和有条理的表达能力步体会幂的意义，提高推理能力和有条理的表达能力. . 2.2.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些问了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些问 题题. . am an (a a a) n个个a =(a a a) m个个a = a a a (m+n)个个a = am+n 幂的意义幂的意义: : a a a n个个a an = 同底数幂乘法的运算性质：同底数幂乘法的运算性质： am an = am+n （ （
2、m,n都是正整数）都是正整数） 正方体的体积比与棱长比的关系正方体的体积比与棱长比的关系 乙正方体的棱长是乙正方体的棱长是 2 cm, 2 cm, 则乙正方体的体积则乙正方体的体积 V V乙 乙= = cmcm3 3 8 8 棱长比的立方棱长比的立方 正方体的体积之比正方体的体积之比 = = 甲正方体的棱长是乙正方体的甲正方体的棱长是乙正方体的 5 5 倍，则甲正方体倍，则甲正方体 的体积的体积 V V甲 甲= = cmcm3 3 可以看出，可以看出，V V甲 甲 是 是 V V乙 乙 的 的 倍倍 即即 5 53 3 倍 倍 1 0001 000 125125 球的体积之比球的体积之比 =
3、= 球的体积比与半径比的关系球的体积比与半径比的关系 乙球的半径为乙球的半径为 3 cm, 3 cm, 则乙球的体积则乙球的体积 V V乙 乙= = cmcm3 3. . 则则V V甲 甲 是 是 V V乙 乙 的 的 倍倍 即即 10103 3 倍 倍 半径比的立方半径比的立方 甲球的半径是乙球的甲球的半径是乙球的1010倍，则甲球的体积倍，则甲球的体积 V V甲 甲= = cmcm3 3 . . 10001000 3636 36 00036 000 3 4 VR 3 球 如果甲球的半径是乙球的如果甲球的半径是乙球的n n 倍，倍， 那么甲球体积是乙球体积的那么甲球体积是乙球体积的 倍倍 n
4、 n3 3 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体地球、木星、太阳可以近似地看做是球体. .木星、太阳的木星、太阳的 半径分别约是地球的半径分别约是地球的1010倍和倍和10102 2倍，它们的体积分别约是地倍，它们的体积分别约是地 球的球的 倍和倍和 倍倍. . 木星木星 地球地球 太阳太阳 体 积 扩 大 的 倍 数 比 半 径 扩 大 体 积 扩 大 的 倍 数 比 半 径 扩 大 的 倍 数 大 得 多 的 倍 数 大 得 多 . 10103 3 10106 6 (10(102 2) )3 3=10=106 6，为什么？，为什么？ (10(102 2) )3 3 =10=102 2101
5、02 210102 2 =10=102+2+2 2+2+2 =10=102 2 3 3 =10=106 6 ( (根据根据 _)._). ( (根据根据_)._). 同底数幂的乘法性质同底数幂的乘法性质 幂的意义幂的意义 (10(102 2) )3 3=10=106 6，为什么？为什么？ 计算下列各式，并说明理由计算下列各式，并说明理由 . . (1) (6(1) (62 2) )4 4 ; ; (2) (a(2) (am m) )2 2 ; (3) (a; (3) (am m) )n n . . 【解析解析】(1) (1) (2)(2) (a(am m) )2 2 = 6= 62 26 62
6、 26 62 26 62 2 =6=62+2+2+2 2+2+2+2 =6 =68 8 =a=am m a am m =a=am+m m+m (3) (a(3) (am m) )n n = a= am m a am m a am m 个个a am m =a=am+m+ m+m+ +m+m =a=amn mn. . （幂的意义）幂的意义） （同底数幂的乘法性质）同底数幂的乘法性质） =6=62 2 4 4 ; ; (6(62 2) )4 4 n n 个个m m n n =a=am m 2 2 ; ; 【做一做做一做】 (a(am m) )n n=a=amn mn (m,n (m,n都是正整数都是
7、正整数) ) 底数底数_ ,_ , 幂的乘方，幂的乘方， 幂幂 的的 乘乘 方方 法法 则则 不变不变 相乘相乘 指数指数_._. 【揭示新知揭示新知】 【例例1 1】计算：计算： (1)(10(1)(102 2) )3 3 ; (2)(b; (2)(b5 5) )5 5; (3)(a; (3)(an n) )3 3; ; (4)(4)- -(x(x2 2) )m m ; (5)(y ; (5)(y2 2) )3 3 y y ; (6)2(a; (6)2(a2 2) )6 6- -(a(a3 3) )4 4 . . (6)(6) 2(a2(a2 2) )6 6- -(a(a3 3) )4 4
8、=10=102 2 3 3 =10=106 6 ; ; (1)(10(1)(102 2) )3 3 【解析解析】 (2) (b(2) (b5 5) )5 5 = b= b5 5 5 5 = b = b25 25 ; ; (3) (a(3) (an n) )3 3 = a= an n 3 3 =a=a3n 3n ; ; (4) (4) - -(x(x2 2) )m m = = - -x x2 2 m m = = - -x x2m 2m ; ; (5) (y(5) (y2 2) )3 3 y y = y= y2 2 3 3 y y = y= y6 6 y y =2a=2a2 2 6 6- -a a
9、3 34 4 =2a =2a12 12- -a a1212 =a=a12 12. . = y= y7 7; ; 【例题例题】 1.1.计算：计算： (1) (10(1) (103 3) )3 3 ; (2); (2)- -(a(a2 2) )5 5 ; (3)(x; (3)(x3 3) )4 4x x2 2 ; ; (4) (4) ( (- -x)x)2 2 3 3 ; (5)(; (5)(- -a)a)2 2(a(a2 2) )2 2; (6)x; (6)xx x4 4x x2 2x x3 3 . . 2.2.下面的计算是否正确？如有错误请改正：下面的计算是否正确？如有错误请改正： (1)(
10、x(1)(x3 3) )3 3 = x = x6 6 ; (2)a; (2)a6 6a a4 4 =a =a24 24 . . 答案：答案：（1 1）10109 9 （2)2)- -a a10 10 (3)x (3)x14 14 (4)x(4)x6 6 （5)a5)a6 6 (6)0(6)0 答案：答案：(1)(1)错，错，(x(x3 3) )3 3 = x= x9 9 ; (2); (2)错，错，a a6 6 a a4 4 = a= a10 10 . . 【跟踪训练跟踪训练】 (1) (1) 根据乘方定义根据乘方定义( (幂的意义幂的意义) )，(ab)(ab)3 3表示什么表示什么? ?
11、(ab)(ab)3 3= = ababab ababab (2)(2)为了计算为了计算( (化简化简) )算式算式abababababab，可以应用乘法的交，可以应用乘法的交 换律和结合律换律和结合律. . 还可以把它写成什么形式还可以把它写成什么形式? ? =aaa bbb=aaa bbb =a=a3 3bb3 3 (3)(3)由特殊的由特殊的(ab)(ab)3 3=a=a3 3b b3 3 出发 出发, ,你能想到一般的公式吗你能想到一般的公式吗? ? 猜想猜想 (ab)n= = a an nb bn n. . 【合作探究合作探究】 在下面的推导中，说明每一步在下面的推导中，说明每一步(
12、(变形变形) )的依据：的依据： (ab)n = = ab ab ab ( ) =(a a a) (b b b) ( ) =an bn ( ) 幂的意义幂的意义 乘法交换律、结合律乘法交换律、结合律 幂的意义幂的意义 n n个个abab n n个个a a n n个个b b (ab)(ab)n n = = a an nb bn n 验证：验证： 上式显示上式显示: : 积的乘方积的乘方= . (ab)n = = a n bn 积的乘方积的乘方 乘方的积乘方的积 （n是正整数）是正整数） 每个因式分别乘方后的积每个因式分别乘方后的积 积的乘方法则积的乘方法则 (a+b)(a+b)n n，可以用积的
13、乘方法则计算吗，可以用积的乘方法则计算吗? ? 即“即“(a+b)(a+b)n n= a= an nbbn n ” ”成立吗？成立吗？ “(a+b)(a+b)n n= a= an n+b+bn n ” ”成立吗？成立吗？ 不能不能 不成立不成立 不成立不成立 【揭示新知揭示新知】 【例例2 2】计算：计算： (1)(3x)(1)(3x)2 2 ; (2)(; (2)(- -2b)2b)5 5 ; ; (3)(3)(- -2xy)2xy)4 4 ; (4)(3a ; (4)(3a2 2) )n n . . =3=32 2x x2 2 = 9x= 9x2 2 ; ; (1)(3x)(1)(3x)2
14、 2 【解析解析】 (2)(2)(- -2b)2b)5 5 = (= (- -2)2)5 5b b5 5 = = - -32b32b5 5 ; ; (3)(3)(- -2xy)2xy)4 4 = (= (- -2x)2x)4 4 y y4 4 = (= (- -2)2)4 4 x x4 4 y y4 4 (4)(3a(4)(3a2 2) )n n = 3= 3n n (a (a2 2) )n n = 3= 3n n a a2n2n. . =16x=16x4 4 y y4 4 ； ； 【例题例题】 【例例3 3】地球可以近似地看做是球体，如果用地球可以近似地看做是球体，如果用V, rV, r分别
15、分别 代表球的体积和半径，那么代表球的体积和半径，那么 . . 地球的半径约为地球的半径约为 6 610103 3 千米，它的体积大约是多少立方千米 千米，它的体积大约是多少立方千米？ 【解析解析】 3 4 V =r 3 3 4 V = r 3 4 3 = (6(610103 3) )3 3 4 3 = = 6 63 3 10109 9 9.059.05101011 11 ( (立方千米立方千米) ) 注意注意 运算顺序运算顺序 ! 三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质? ? 怎样用公式表示怎样用公式表示? ? (abc)(abc)n n
16、=a=an nbbn nccn n（n n为正整数）为正整数） 试用第一种方法证明试用第一种方法证明: (abc)(abc)n n=(ab)=(ab) ccn n =(ab)=(ab)n n c cn n = a= an n b bn n c cn n. . 【揭示新知揭示新知】 计算：计算： (1)(1)(- - 3n)3n)3 3 ; ; (2)(5xy)(2)(5xy)3 3 ; ; (3)(3)a a3 3 +( +(4a)4a)2 2 a a 答案答案: :（1 1）- -27n27n3 3 (2)125x(2)125x3 3y y3 3 (3)15a(3)15a3 3 【跟踪训练跟
17、踪训练】 试用简便方法计算试用简便方法计算: : (ab)(ab)n n = = a an n b bn n （n n是正整数）是正整数） 逆用公式逆用公式: : a an n b bn n = = (ab) (ab)n n (1) 2(1) 23 35 53 3 (2) 2(2) 28 85 58 8 (3) (3) (- -5)5)16 16 ( (- -2)2)15 15 (4) 2(4) 24 4 4 44 4 ( (- -0.125)0.125)4 4 = (2= (25)5)3 3 = 10= 103 3. . = (2= (25)5)8 8 = 10= 108 8 . . = (
18、= (- -5)5)(- -5)5)( (- -2)2)15 15 = = - -5 5101015 15. . = 2= 24 4( (- -0.125)0.125)4 4 = 1 = 14 4 = 1.= 1. 【拓展延伸拓展延伸】 1.1.（济宁（济宁中考）下列等式成立的是（中考）下列等式成立的是（ ） A.a+a=aA.a+a=a5 5 B.aB.a3 3- -a a2 2=a =a C.aC.a2 2aa3 3=a=a6 6 D.(aD.(a2 2) )3 3=a=a6 6 【解析解析】选选D.AD.A，B B选项不是同类项不能合并，选项不是同类项不能合并，C C选项为选项为 a a
19、5 5,D,D选项是正确的选项是正确的. . 2.2.（江西（江西中考）中考） 计算计算 - -（- -3a)3a)2 2的结果是的结果是( )( ) A.A.- -6a6a2 2 B.B.- -9a9a2 2 C.6aC.6a2 2 D.9aD.9a2 2 【解析解析】选选B.B.因为因为- -( (- -3a)3a)2 2= =- -(- -3)3)2 2a a2 2=- -9a9a2 2. . 同底数幂的乘法运算法则同底数幂的乘法运算法则: : a amaan n a am m+ +n n = = 同底数幂的乘方运算法则：同底数幂的乘方运算法则： (a(am m) ) n n=a=am mn n 反向使用反向使用a am m a an n =a =am m+ +n n, , (a(am m) )n n =a =am mn n (m (m，n n都是正整数都是正整数) ) 可可使某些计算简捷使某些计算简捷. . 积的乘方运算法则积的乘方运算法则: : (a(ab b) )n n=a=an nb bn n 积的乘方积的乘方= = 每个因式分别乘方后的积 每个因式分别乘方后的积 （m m，n n都是正整数）都是正整数） （n n是正整数）是正整数） （m m，n n都是正整数）都是正整数）
