1、3.3 3.3 垂径定理垂径定理(1)(1) 1 1若将一等腰三角形沿着底边上的高对折，若将一等腰三角形沿着底边上的高对折， 将会发生什么将会发生什么? ? 若将一圆沿着直径对折，若将一圆沿着直径对折， 将会发生什么将会发生什么? ? 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠然后沿着直径所在的直线把纸折叠, ,你发现了什么你发现了什么? ? 结论结论1： 圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线每一条直径所在的直线都是对称轴。都是对称轴。 强调：强调： 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（判断：
2、任意一条直径都是圆的对称轴（ ） X （1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴; （2）圆的对称轴有无数条）圆的对称轴有无数条 O O C C D D O O 任意一条经过圆心的直线任意一条经过圆心的直线 AM=BM, 探索规律探索规律 AB是是O的一条弦的一条弦. 你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说与同伴说说 你的想法和理由你的想法和理由. 作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M. O 下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么? 小明发现图中有小明发现
3、图中有: A B C D M 由由 CD是直径是直径 CDAB 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. 你能用学过的只是证明吗？你能用学过的只是证明吗？ 连接连接OA,OB,OA,OB, O A B C D M 则则OA=OB. 在在RtOAM和和RtOBM中中, OA=OB，OM=OM， RtOAMRtOBM. AM=BM. 点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称, 当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B 重合重合, AC和和BC重合重合, AD和和BD重合重合. AC =BC, AD =BD. 探索规律探索规律 定理定理 垂直于弦的直径
4、平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对并且平分弦所对 的两的两 条弧条弧. O A B C D M CDAB, 如图如图 CD是直径是直径, AM=BM, AC =BC, AD =BD. 条件条件 CD为直径为直径 CDAB CD平分弧平分弧ADB CD平分弦平分弦AB CD平分弧平分弧ACB 结论结论 探索规律探索规律 垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧 垂径定理的几何语言叙述垂径定理的几何语言叙述: CD为直径，为直径，CDAB（或（或OCAB） AM=BM ， AC=BC， AD=BD 结论结论2： 条件条件
5、 CD为直径为直径 CDAB CD平分弧平分弧ADB CD平分弦平分弦AB CD平分弧平分弧A B 结论结论 分一条弧成相等的两条弧的点分一条弧成相等的两条弧的点, ,叫做这条叫做这条弧的中点弧的中点. . O A B C D M 作法：作法： 连结连结AB.AB. 作作ABAB的垂直平分线的垂直平分线 CDCD，交弧，交弧ABAB于点于点E.E. 点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中点的中点 C D A B E 例例1 1 已知已知ABAB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的，如图，用直尺和圆规求作这条弧的 中点中点 分析分析: :要平分要平分AB,AB,只要画垂直于弦只要画垂直于弦ABA
6、B的直径的直径. .而这而这 条直径应在弦条直径应在弦ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上. .因此画因此画ABAB的的 垂直平分线就能把垂直平分线就能把ABAB平分平分. . 例例2 2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半 径径OB=10OB=10，水面宽，水面宽AB=16AB=16。求截面圆心。求截面圆心O O到水面的距离。到水面的距离。 D C 10 8 8 解解: :作作OCABOCAB于于C,C, 由垂径定理得由垂径定理得: : AC=BC=1/2AB=0.5AC=BC=1/2AB=0.516=816=8 由勾股定理得由勾股定理得: :
7、2222 OCOBBC1086 圆心到圆的一条弦的距离叫做圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距弦心距. 例如例如, ,上图中上图中,OC,OC的长就是弦的长就是弦ABAB的弦心距的弦心距. . 想一想想一想: :排水管中水最深多少排水管中水最深多少? ? 答答: :截面圆心截面圆心O O到水面的距离为到水面的距离为6.6. E D C O A B O B C A D D O B C A O B A C D O B AC 想一想：在同一个圆中，两条弦想一想：在同一个圆中，两条弦 的长短与它们所对应的弦心距之的长短与它们所对应的弦心距之 间有什么关系？间有什么关系？ 1 1、已知、已知O O的半径为的
8、半径为13cm13cm，一条弦的弦心距为，一条弦的弦心距为5cm5cm， 求求 这条弦的长这条弦的长. . 答答:在同一个圆中，在同一个圆中， 弦心距越长弦心距越长,所对应的弦就越短所对应的弦就越短; 弦心距越短弦心距越短,所对应的弦就越长所对应的弦就越长. C C 5 1313 A A B B O O D D . . 归纳：归纳： 1作作弦心距弦心距和和半径半径是圆中是圆中 常见的辅助线；常见的辅助线； O A B C r r d d 22 .2ABrd弦长 2 半径（半径（r)、半弦、弦心、半弦、弦心 距距(d)组成的直角三角形是研组成的直角三角形是研 究与圆有关问题的主要思路，究与圆有关
9、问题的主要思路， 它们之间的关系：它们之间的关系： 2 2、已知、已知O O的半径为的半径为10cm10cm，点，点P P是是O O内一点，且内一点，且 OP=8OP=8，则过点，则过点P P的所有弦中，最短的弦是（的所有弦中，最短的弦是（ ） O O P P (A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm D D 10 8 6 3、已知：如图，、已知：如图，O 中，中， AB为为 弦，弦，OC AB OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求O 的半径的半径. A AB B O O C C D D
10、 3 3 1 4.4.如图，如图，ABAB是是ABAB所对的弦，所对的弦，ABAB的的垂直平分线垂直平分线DGDG 交交ABAB于点于点D D，交，交ABAB于点于点G G，给出下列结论：，给出下列结论： AG=BDAG=BD BD=AD DGAB A A B B D D G G 其中正确的是其中正确的是_（只需填写序号）（只需填写序号） 5 5、已知：如图在、已知：如图在O O中，弦中，弦AB/CDAB/CD。 求证：求证： AC=BDAC=BD A AB B O O C CD D 6.过已知过已知O内的一点内的一点A作弦作弦,使使A是该弦的中点是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点然
11、后作出弦所对的两条弧的中点 O A B C BCBC就是所要求的弦就是所要求的弦 点点D,ED,E就是所要求的弦就是所要求的弦 所对的两条弧的中点所对的两条弧的中点. . D E 师生共同总结：师生共同总结： 本节课主要内容本节课主要内容：（1 1）圆的轴对称性；（）圆的轴对称性；（2 2）垂径定理）垂径定理 2 2垂径定理的应用：垂径定理的应用：（1 1）作图；（）作图；（2 2）计算和证明）计算和证明 3 3解题的主要方法：解题的主要方法： .2 22 drAB弦长 （2 2）半径（）半径（r)r)、半弦、弦心距、半弦、弦心距(d)(d)组成的直角三角形组成的直角三角形 是研究与圆有关问题
12、的主要思路，它们之间的关系：是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： （1 1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； 例题解析例题解析 练练1 1：如图，已知在圆：如图，已知在圆O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8 8， 圆心圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3 3 ，求圆，求圆O O的半径。的半径。 O AB 练习练习: :在半径为在半径为5050的圆的圆O O中，有长中，有长5050的的 弦弦ABAB，计算：，计算： 点点O O与与ABAB的距离；的距离； AOBAOB的度数。的度数。 E 练习练习:在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于 D，
13、OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圆求圆O的半径。的半径。 10 D C E O A B 练练2：如图，圆：如图，圆O的弦的弦AB8 ， DC2，直径，直径CEAB于于D， 求半径求半径OC的长。的长。 D C E O A B 练练3：如图，已知圆：如图，已知圆O的直径的直径AB与与 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E， BFCD于于F，且圆，且圆O的半径为的半径为 10，CD=16 ，求，求AE-BF的长。的长。 练习练习:如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦 AB交交CD于于E， CEB=30， DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长。的长。 G E F A O B C D E
14、 D O C A B 练练4 已知：如图，在以已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C， D两点。两点。 求证：求证：ACBD。 E . A C D B O 挑战自我挑战自我画一画画一画 如图如图,M,M为为O O内的一点内的一点, ,利用尺规作一条弦利用尺规作一条弦AB,AB,使使ABAB 过点过点M M. .并且并且AM=BMAM=BM. . O M 挑战自我挑战自我画一画画一画 3、已知：如图，、已知：如图，O 中，中， AB为为 弦，弦，C 为为 AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求求O 的半径的半径OA. D O A B C . A O B E C D F 思考题思考题 已知：已知：AB是是O直径，直径， CD是弦，是弦，AECD， BFCD 求证：求证：ECDF
