1、第二十二章第二十二章 二次函数二次函数复习课二次函数二次函数的概念定义一般形式y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)自变量的取值范围全体实数图 象一条抛物线解析式形式一般式y=ax2+bx+c(a0)顶点式y=a(x-h)2+k交点式y=a(x-x1)(x-x2)y=ax2+bx+c(a0)性质六点、一轴、一方及增减性与最值二次函数与一元二次方程的关系抛物线与x轴交点的横坐标就是其对应一元二次方程的根二次函数的应用解析:（1）根据定义可知m2+5m+8=2且m+20;(2)在（1）的基础上根据a的符号再作确定；（3）判断抛物线的增减性要结合开口方向及对称轴.已知函数 是关于x的二次数.
2、(1)求满足条件的m的值，并写出解析式；（2）抛物线有最高点和最低点吗？二次函数有最大值还是最小值？最值是多少？（3）当x为何值时y随x的增大而减小？25823mmymx 二次函数的定义及基本性质1例1220,582,mmm2,3.23,mmmm或解：（1）由题意得 解得满足条件的m=-3,这时二次函数的解析式为y=-x2+3.(2)抛物线y=-x2+3有最高点，该二次函数有最大值，最大值是3.(3)当x0时，y随x的增大而减小.xyOy=-x2+3练习练习1 1：1.抛物线y=(x-2)2+2的顶点坐标是（）A.(-2,2)B.(2,-2)C.(2,2)D.(-2,-2)2.已知二次函数y=
3、x2-x+c的顶点在x轴上，则c=.3.二次函数y=x2+bx+3 的对称轴是直线x=2，则 b=_.C14-4函 数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，是常数，a0)图 象a0a0性质开 口向上，并向上无限延伸向下，并向下无限延伸对称轴 直线顶 点增减性当 时y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大.当 时y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小.最 值yxOxO2bxa 24(,)24bacbaa2bxa 2bxa2bxa2bxa24=4acbya最小值24=4acbya最大值y 抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的公共点是（-1，0），），（3，0），则这条
4、抛物线的对称轴为_.解析 抛物线与x轴的两个交点是一对对称点.其实只要抛物线上两点（x1，y0）、(x2，y0)的纵坐标相等，这两点就是一对d对关于抛物线对称轴对称的对称点.对称轴计算公式是直线 ,因此这条抛物线的对称轴是直线 .122xxx(1)312x直线x=1二次函数图象的对称性2例2 练习练习2 2：已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x-10123y105212则抛物线的对称轴是 ；当y5时，x的取值范围是 .在此抛物线上有两点A(3，y1)，B(4.5，y2)，试比较y1和y2的大小：y1_y2(填“”“”或“”).直线x=20 x0时，x的取值
5、范围是 .yx1-13-1x0；abc0；当y0时，x-1或x3其中正确的是（）A.B.C.D.x1BCA-1Oyx=1C例44解析 2ab0,想到对称轴 ,得b=-2a,故2ab0正确；4a2bc0，想到当x=-2时结合图象可知y0不正确；abc0，由图象可知a0,又易知c0,故abc0不正确；当y0时，x-1或x3，根据对称性可知A点的坐标是（2，0），结合图象可知当y0时，x-1或x3，故正确，所以选C.12bxa知识点复习知识点复习 抛物线y=ax2+bx+c中的符号问题:a的符号决定开口方向；a、b的符号共同决定对称轴的位置，“左同右异”；c的符号决定抛物线与y轴的交点位置.练习练习
6、5 5：已知二次函数y=ax2+bx+c(a 0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：b2-4ac0;abc2.其中正确结论的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3x2OyD 练习练习6 6：如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a 0)0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）xOyAOxyBxOyCxOyDA二次函数与一元二次方程的关系 结合二次函数y=ax2+bx+c图象，解答下列问题：写出方程ax2+bx+c=0的根；写出不等式ax2+bx+c0的解集；写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；若方程ax2+bx+
7、c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.x4Oy-13解析 本题结合图象从中发现信息进行解题.5例5解：（1）由图象可知，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（-1,0），（3,0）两点.方程的根为x1=-1，x2=3；（2）由图象可知当-1x3时，函数的图象位于x轴的上方，所以不等式的解集为-1x1;(4)要使得有ax2+bx+c=k两个不相等的实数根，即直线x=k与二次函数图象有两个交点，k的取值范围为k5.练习练习7 7：已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程 ax2+bx+c-8=0的根的情况是（）A.有两个不相等的正实数根 B.有两个异号实数根 C.有
8、两个相等的实数根 D.没有实数根x8OyC 待定系数法求二次函数的解析式x4Oy-13 你能求出图中抛物线的解析式吗？解析 图象中提供了我们解题的很多信息，如可知道抛物线与x轴的两个交点坐标是（-1，0）和（3，0），还可以知道对称轴是直线x=2及顶点坐标是(1,4).你有几种方法可以求这条抛物线的解析式，你最喜欢哪一种？例66解：设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k.由图象可知抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标为（1,4），有y=a（x-1）2+4，代入（-1,0）.a（-1-1）2+4=0，a=-1，抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4.方法
9、提示 知道顶点坐标，通常设顶点式y=a(x-h)2+k;知道抛物线与x轴的两个交点坐标，通常设交点式y=a(x-x1)(x-x2);知道抛物线上的三点坐标，可选用一般式y=ax2+bx+c,三种情况都可以时选用最熟悉的方法.练习练习8 8：已知二次函数当x=1时，有最大值6，且其图象过点(2，8)，则二次函数的解析式是 .y=-2(x-1)2-6 综合应用呈抛物线形状实物的几何探究 跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，丙、丁同学分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处，刚好通过他们的头顶，已知丙同学
10、的身高是1.5米.（1）请你算一算丁同学的身高.1m甲乙丁丙2.5m4m1m(0,1)(4,1)(1,1.5)7例7解得：，所以抛物线解析式为当x=2.5时，y=1.625.所以丁同学的身高为1.625米.1m甲乙丁丙2.5m4m1m解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+1点（1,1.5）、（）、（4,1）在抛物线上，得xy(0,1)(4,1)(1,1.5)11.5,16411,abab 12,63ab 2121(1463yxxx ）,（2）如果身高为1.5米的丙同学站在甲、乙同学之间,且离甲同学的距离为s米,要使绳子甩到最高处时超过他的头顶,请结合图像,直接写出s
11、的取值范围.1m甲乙丁丙2.5m4m1m1s0,b0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是（）xOyAxOyBxOyCxOyDA3.将二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得到的图象的函数解析式是 .y=2x2+14.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(3,6)和(-1,6),则对称轴为 .直线x=15.如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、）、B（-3，0）两点，与y y轴交于点C（0,3）.（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.y=-x2-
12、2x+3Q（-1，2）xOyACB图图1xOyACB图图2Q解：（1）由题设，将A（1，0）、）、B（-3，0）、）、C（0,3）代入y=ax2+bx+c，0,930,0,abcbcc抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；xOyACB图图11,2,3.abc解得 （2）存在，理由如下：作点C关于抛物线对称轴直线x=-1的对称点C，由抛物线的性质可知点C在抛物线上，点C的坐标是（-2,3），连接点CA交抛物线的对称轴直线x=-1与点Q，点Q即为所求.设直线CA的解析式为y=kx+m，代入（-2,3）和（0，1）可得k=-1，m=1.所以Q的坐标为（-1,2）；xOyACB图图2QC 为你理想的人
13、，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎样去爱自己。在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春风来，千树万树梨花开。真好看呀！冬天
14、，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的荒原上，闪着寒冷的银光。走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这里是仿照江南水乡-苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
