1、全等三角形-常见辅助线一.已知中点D1.线段倍长（或作平行线）A模型：如图，已知OA=OC,再倍长DO,使OB=OD,则AOBCOD(SAS)C.如图，在ABC 中，D是 BC边的中点.BBA.求证：AB+AC2AD;.若 AB=5,AC=7,AD的取值范围为.CD1如图，CE是ACD 中线，点 B在 AD的延长线上，BD=AC,ACD=ADC，求证：CE= BC.2CABDEE.如图，AB=AE,ABAE,AD=AC,ADAC,点 M为 BC的中点，求证：DE=2AM.DABCME.如图，四边形 BEFC中，D为 BC中点，EDF=90，求证：BE+FCEF.FBCD1 / 9 2.作垂线(
2、知中点作垂线；证中点作垂线)C模型：如图，OA=OB,BCCD,ADCD,则AODBOC(AAS)A.如图，ABC 中，D为 BC的中点.BO在图中作出 CMAD,BNAD,垂足分别为点 M,N;D求证：DM=DN;若 AD=3，求 AM+AN的值.ADBC.如图，CD为ABC的角平分线，E,F分别在 CD,BD上，且 DA=DF,EF=AC.求证：EFBC.CEBADFE.如图，BCCE,BC=CE,ACCD,AC=CD,DE交 AC的延长线于点 M,M是 DE的中点.求证：ABAC;若 AB=8，求 CM的长.BACMD.如图，已知 A(-2,1),C(0,2),且 C为线段 AB的中点，
3、求点 B的坐标.yBCAxO2 / 9 3.证中点【方法技巧】证线段的中点，常过线段的端点构造一组平行线，或过线段的两端点向过中点的线段作垂线，根据 AAS或 ASA构造全等三角形，证题关键往往是证明一组对应边相等.【作平行证中点】.如图，在ABC 中，ABC=ACB，D,E分别是 AC和 AC的延长线上的点，连接 BD,BE,若 AB=CE，DBC=EBC.求证：D是 AC的中点.ADCBE.如图，ABAE,AB=AE,ACAD,AC=AD,AHDE 于点 H,延长 AH交 BC于点 M.求证：M是 BC的中点.ADHCBME【作垂线证中点】.如图，ABAC,AB=AC,D是 AB上一点，C
4、ECD,CE=CD,连接 BE交 AC于点 F，求证：F是 BE的中点.EAFDBC如图，A,B,C三点共线，D,C,E三点共线，A=DBC,EFAC 于点 F，AE=BD.求证：C是 DE的中点；求证：AB=2CF.ABFDEC3 / 9 二、线段的和差处理1.等线段代换法C如图，CD为ABC 的中线，M,N分别为直线 CD上的点，且 BMAN.求证：AN=BM;求证：CM+CN=2CDMABDN如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC,AN是过点 A的一条直线，且 BMAN于点 M，CNAN于点 N.求证：AM=CN；求证：MN=BM-CN.AMCBN如图，在ABC 中，ADBC 于 D
5、，且 AD平分BAC,CEAB 于点 E，交 AD于点 F.求证：BD=CD;A若 AF=BC,求证：AC-CE=EF.EFBCD.如图，ABC 中，AC=BC,ACB=90，D为 BC延长线上一点，BFAD于点 F，交 AC于点 E.A求证：BE=AD；过 C点作CMAB交AD于点M，连接EM，求证：BE=AM+EM.FEMBDC4 / 9 2.截长补短法（直接和间接）如图，ABC 中，CAB=CBA=45，CA=CB,点 E为 BC的中点，CNAE交 AB于点 N.求证：1=2；求证：AE=CN+EN. （用多种方法）方法 1：直接截长BNE12CA方法 2：间接载长BNE12CA方法 3
6、：直接补短BNE12CAAB方法 4：间接补短NE12C5 / 9 三、角平分线模型A1.作垂线1P模型：如图，1=2，PAOA,PBOB,则 PA=PB.2OB如图，ABC 中，CD是角平分线，AC=3,BC=5,求 SACDSBCD 的值.CBAD.如图，四边形 ABCD中，AC平分BAD，CEAB 于点 E，且B+D=180，求证：AE=AD+BE.CDBAE.如图，ABC 中，ACAB,F为 BC的中点，FDBC,交BAC的平分线于点 D，DEAC 于点 E.AC - AB求证：BD=CD;求证：AB+AC=2AE;直接写出的值CEA是.EFDBC如图，ABC 中，AB=AC，D为AB
7、C 外一点，且1=2，ABBD 于点 M.求证：AD平分BDC 的BD - CDA外角；求的值.DMB1M2CD6 / 9 2.截长补短A模型：如图，若AOP=BOP,OA=OB，则OAPOBPP.如图，四边形 ABCD中，AC平分DAB，B+D=180，求证：CD=CB.OBCD12BB.ABC 中，ABAC,AD平分BAC，AE=AC，连 DE.求证：CB;若 AB-AC=2,BC=3，求BED 的周长.ABCD.如图，ADBC，E是 CD上一点,且1=2，3=4，求证：AB=AD+BCCED1243AB.如图，BCAB,AD=CD，1=2，探究BAD 与C 之间的数量关系.(多种方法)D
8、DAA1122BCCB7 / 9 3.角平分线+垂线：延长法AC模型：如图，若1=2，ACOC，延长 AC交 OB于点 B，则OCAOCB.如图，在ABC 中，AD平分BAC，CEAD 于点 E，探究ACE，B，OBAECD 之间的数量关系.EBCD.如图，在ABC 中 ，ABBC，BP平分ABC，APBP 于 P点，连接 PC，若ABC 的面积为 4，求BPC的面积.APBC.如图，在AOB 中，AO=OB，AOB=90，BD平分ABO交 AO于点 D，AEBD交 BD的延长线于点E，求证：BD=2AE.AEDBO.如图，四边形 ABCD中，ADBC，AE,BE分别平分DAB,CBA.求证：
9、AEBE；求证：DE=CE；若 AE=4,BE=6,求四边形 ABCD的面积.DEABC8 / 9 四、半角与倍角模型如图，已知 AB=AC,BAC=90,MAN=45,过点 C作 NCAC 交 AN于点 N,过点 B作 BMAB 交 AM于点 M，连接 MN.当MAN 在BAC 内部时，求证：BM+CN=MN.MBNCA如图，在的条件下，当 AM和 AN在 AB同侧时，的结论是否成立？请说明理由.NCMBA如图，在ABC 中，CA=CB,ACB=120,E为 AB上一点，DCE=60,DAE=120,求证：DE-AD=BE.CABED如图，在ABC 中，CA=CB,ACB=120,点 E为 AB上一点，DCE=DAE=60,求证：AD+DE=BE.DCBAE1.如图 1，在四边形 ABCD中，AB=AD,B+D=180,E,F分别是 BC,CD上的点，且EAF=2DBAD,求证：EF=BE+DF;AFCBE如图 2，在条件下，若将AEF绕点 A逆时针旋转，当点 E,F分别FD运动到 BC,CD延长线上时，则 EF,BE,DF之间的数量关系是.A9 / 9ECB
