2022新浙教版九年级上册《数学》《圆的基本性质-圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结.docx

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资源描述

1、圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理知识点总结1. 圆的定义;在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径,以点O为圆心的圆,记作O,读作“圆O” 2、与圆有关的概念(1)弦和直径(连结圆上任意两点的线段BC叫做弦,经过圆心的弦AB叫做直径)(2) 弧和半圆(圆上任意两点间的部分叫做弧,圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条 弧,每一条弧都叫做半圆),大于半圆的弧叫优弧(优弧用和三个字母表示)、小于半圆的弧叫劣弧(用和两个字母表示)。(3) 等弧:能够互相重合的两段弧(4)等圆(半径相等的两个圆叫做等圆)(

2、5)点和圆的位置关系: 如果P是圆所在平面内的一点,d 表示P到圆心的距离,r表示圆的半径,则: (1)dr 圆外 (6)不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 过不在同一条直线上的三点做圆,能找出圆的圆心(7)三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,三角形叫做圆的内接三角形。三角形的外心到各顶点距离相等。一个三角形有且仅有一个外接圆,但一个圆有无数内接三角形。3、图形的旋转:原图形上的所有点都绕着一个固定的点,按同一个方向,转动同一个角度,这样的图形运动叫做图形的旋转,这个固定的点叫做旋转中心。图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。对应点到旋转中

3、心的距离相等,任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。旋转作图基本步骤: 1、明确旋转三要素(旋转中心、旋转方向、旋转角度); 2、找出关键点; 3、找出关键点的对应点; 4、作出新图形; 5、写出结论。4、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。推论:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。注:用于计算时,一般先连结过弦的一个端点的半径或者作弦心距,构造Rt,再结合勾股定理求解.推论:圆中两平行弦所夹的弧相等选择题1.如图,已知O的直径AE=10 cm,B=EAC,则AC的长为( )【A】5c

4、m【B】52cm【C】53cm【D】6cm【答案】B.【解答】连接EC,由圆周角定理得,E=B,ACE=90,B=EAC,E=EAC,CE=CA, AC=22AE=52 cm,故选B2. 如图,BC是O的弦,OABC,AOB=70,则ADC的度数是( ) 【A】70【B】35【C】45【D】60【答案】B【解答】A、B. C.D是O上的四点,OABC,弧AC=弧AB(垂径定理),ADC=12AOB(等弧所对的圆周角是圆心角的一半);又AOB=70,ADC=35.故选B.3在O中,弦AB的长为,圆心O到AB的距离为1cm,则O的半径是( )【A】2cm【B】3cm【C】3cm【D】2cm【答案】

5、A【解答】解:过点O作ODAB于思安D,连接OA,AB=23cm, ODAB,AD=12AB=1223=3cm,在直角AOD中,OA=AD2 +OD2=2cm,故选A填空题1. 如图,点A、B、C、D都在方格纸的格点上,若AOB绕点O按逆时针方向旋转到COD的位置,则旋转角为_ 【答案】90【解答】AOB绕点O按逆时针方向旋转到COD的位置,对应边OB、OD的夹角BOD即为旋转角,旋转的角度为90.故答案为:90.2. 如图,点A、B、C、D都在O上,AB是直径,弦AC=6,CD平分ACB,BD=52,则BC的长等于_ 【答案】8【解答】连接ADAB是直径,ACB=ADB=90,CD平分ACB

6、,ACD=BCD=45,BAD=ABD=45,AD=BD,BD=52AB=BD2 +AD2=10BC=AB2 -AC2=83. 如图,在O中,直径AB弦CD于E,若EB=1cm,CD=4cm,则弦心距OE的长是 cm 【答案】1.5cm【解答】连结OC,如图设O的半径为R,AB弦CD,CE=DE=12CD=124=2,在RtOCE中,OC=R,OE=R1,OC2=OE2+CE2,r2=(R-1)2+22,解得R=2.5,OE=2.5-1=1.5(cm).故答案为1.5.解答题1.如图,AB是O的直径,点C是O上一点,连接BC,AC,ODBC于E(1)求证:ODAC(2)若BC=8,DE=3,求

7、O的直径 【答案】详见解答【解答】(1)证明:AB是O的直径,C=90, ODBC,OEB=C=90, ODAC;(2)解:令O的半径为r, 根据垂径定理可得:BE=CE=12BC=4, 由勾股定理得:r2=(r-3)2+42, 解得:, 所以O的直径为2. 如图,AC为O的直径,AC=4,B、D分别在AC两侧的圆上,BAD=90,BD与AC的交点为E (1)求点O到BD的距离及OBD的度数;(2)若DE=2BE,求COSOED的值和CD的长 【答案】详见解答【解答】(1)解:作OFBD于点F,连接OD, , , 又, , 为的直径, 在中, , 即点到的距离等于1;(2)解:,于点, 由,设,则, , 在中, , , ,

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