1、第三章 3 指数函数 第2课时 指数函数及其性质的应用 1.理解指数函数的单调性与底数的关系. 2.能运用指数函数的单调性解决一些问题. 学习 目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 指数型复合函数yaf(x)(a0，a1)的单调性 (1)复合函数yf(g(x)的单调性：当yf(x)与ug(x)有相同的单调性时， 函数yf(g(x)单调 ，当yf(x)与ug(x)的单调性相反时，函数y f(g(x)单调 ，简称为 . (2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有 的单调性；当0a1时， 函数yaf(x)与函数yf(x)的单
2、调性 . 答案 递增 递减 同增异减 相同 相反 知识点二 指数型函数yk ax(kR且k0，a0且a1)模型 1.指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y N(1p)x(xN). 2.指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则y N(1p)x(xN). 返回 题型探究 重点突破 题型一 利用指数型函数的单调性比较大小 例1 比较下列各组中两个值的大小： (1)1.72.5,1.73； 解析答案 解 (单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故构造函数y1.7x，则 函数y1.7x在R上是增加的. 又2.51
3、， 又0x6，x24x50， 根据相应二次函数的图像可得x5； 当a1时，函数f(x)ax(a0，a1)在R上是增函数， x23x11时，12. x|x2 题型三 指数型函数的单调性 例3 判断 的单调性，并求其值域. 解析答案 2 2 1 ( )( ) 3 xx f x 反思与感悟 跟踪训练3 求函数 的单调区间. 解析答案 2 2 2 xx y 解析答案 题型四 指数型函数的综合应用 例 4 已知定义在 R 上的函数 f(x)a 1 4x1是奇函数. (1)求 a 的值； 解 f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数， f(0)0，即 a1 20，a 1 2. 解析答案 (2)判断f(x)
4、的单调性(不需要写出理由)； 解 由(1)知 f(x)1 2 1 4x1， 故f(x)在R上为减函数. 解析答案 (3)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求实数k的取 值范围. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 4 设 a0，f(x)e x a a ex是 R 上的偶函数. (1)求 a 的值； 即e x a a ex 1 aexae x， 解 依题意，对一切xR，有f(x)f(x)， a1 a ex 1 ex 0 对一切 xR 成立. 由此得到 a1 a0，即 a 21.又 a0，a1. 解析答案 (2)求证f(x)在(0，)上是增函数. 证明 设0x1x2， 则f(
5、x1)f(x2) 12 122121 121212 1111 e ee(ee ) (1)(ee ). eeee xx xxxxxx xxxxxx 0x1x2， 21 ee , xx 21 ee0. xx 1212 e0,e0, xxxx 1又f(x1)f(x2)0， f(x1)f(n)，则 m，n 的大小关系为_. 解析 0a 51 2 f(n)可知mn.故填mn. mn 1 2 3 4 5 解析答案 5.已知函数 f(x)a 1 2x1，若 f(x)为奇函数，则 a_. 解析 函数 f(x)为奇函数，f(0)a1 20. a1 2. 1 2 课堂小结 1.比较两个指数式值大小的主要方法 (1)比较形如am与an的大小，可运用指数型函数yax的单调性. (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn， 则ambn；若amc且cbn，则ambn. 2.指数型函数单调性的应用 (1)形如yaf(x)的函数的单调性：令uf(x)，xm，n，如果两个函数y au与uf(x)的单调性相同，则函数yaf(x)在m，n上是增函数；如果 两者的单调性相异(即一增一减)，则函数yaf(x)在m，n上是减函数. (2)形如axay的不等式，当a1时，axayxy；当0a1时，ax ayxy. 返回
