1、-1- 1.2.3 空间中的垂直关系 -2- 第第1课时课时 直线与平面垂直直线与平面垂直 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.结合实例概括出直线与平面垂直的 定义,了解直线与平面垂直的性质. 2.理解并记忆线面垂直的判定定理,并 能用文字语言、 图形语言和符号语言加 以表述,学会运用该定理判定或论证直 线与平面垂直问题. 3.记住线面垂直的有关性质,并能运用 这些性质进行论证. 4.了解点到平面的距离的定义. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHO
2、NGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.两条直线互相垂直 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角, 则称这两条直线互相垂直. 思考 1在平面内,如果两条直线互相垂直,那么这两条直线一 定相交吗?在空间中呢? 提示:在平面内,如果两条直线互相垂直,则它们一定相交;而在空间中, 两条直线互相垂直,则它们不一定相交. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线和一个平面相交于点 O,并且和这个平面内过交
3、点 O 的任何直线都垂直,则称这条直线和这个平面互相垂直,这条直线叫做 平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足. (2)直线与平面垂直的画法: 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示. (3)直线与平面垂直的记法: 直线 l 与平面 垂直,交点为 P,可记为 l,垂足为 P. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 2如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条 直线与这个平面垂直吗?这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的? 提示:如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,
4、这条直线与这个平面 不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可能在平面内. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.直线与平面垂直的判定定理与推论 (1)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线 与这个平面垂直. (2)推论 1:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线 也垂直于这个平面. 推论 2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG
5、 LIANXI 随堂练习 思考 3垂直于同一直线的两个平面的位置关系如何? 提示:(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.已知:AA,AA,求 证:. 证明:如图所示,设经过直线 AA的两个平面 , 分别 与平面 , 相交于直线 b,b和 a,a.因为 AA,AA, 所以 AAa,AAa. AA,a,a都在平面 内,由平面几何知识:在同一平面 内,垂直于同一直线的两条直线平行. 所以 aa,所以 a(线面平行的判定定理). 同理 b.又因为 ab=A,所以 . ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一
6、 探究二 探究三 探究四 探究一 线面垂直的判定 (1)利用直线与平面垂直的判定定理来判定直线与平面垂直的步骤: 在这个平面内找两条直线,使它们和这条直线垂直; 确定这个平面内的两条直线是相交的直线; 根据判定定理得出结论. (2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧: 证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的 线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、菱形、正方 形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练
7、习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 1】 如图所示,直角ABC 所在平 面外有一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜边 AC 的中 点. (1)求证:SD平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD平面 SAC. 思路分析:由于 D 是 AC 的中点,SA=SC,则 SD 是 SAC的高,连接BD,可证SDBSDA.由于 AB=BC,所以 RtABC是等 腰直角三角形,则 BDAC,利用线面垂直的判定定理即可得证. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究
8、四 证明:(1)因为 SA=SC,D 为 AC 的中点,所以 SDAC. 在 RtABC 中,连接 BD. 则 AD=DC=BD.又因为 SB=SA,SD=SD, 所以ADSBDS.所以 SDBD. 又 ACBD=D,所以 SD平面 ABC. (2)因为 BA=BC,D 为 AC 的中点,所以 BDAC. 又由(1)知 SDBD, ACSD=D,所以 BD平面 SAC. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 线面垂直的判定定理与推论的应用 (1)平面内证明线线平行
9、的四种方法: 两条直线被第三条直线所截,若同位角相等(或内错角相等或同旁内 角互补),则两直线平行. 三角形中位线、梯形中位线的性质. 平行四边形对边平行的性质. 平行线分线段成比例定理. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)空间中证明线线平行的四种方法: (基本性质 4)平行于同一条直线的两条直线平行. (线面平行的性质定理)如果一条直线与一个平面平行,那么过该直 线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行. (面面平行的性质定理)如果两个平行平面同时与第三个
10、平面相交, 那么它们的交线平行. (线面垂直的性质定理)如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两 条直线平行. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 2】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M 是 AB 上一 点,N 是 A1C 的中点,MN平面 A1DC. 求证:MNAD1. 证明:因为 ADD1A1为正方形, 所以 AD1A1D. 又因为 CD平面 ADD1A1, 所以 CDAD1. 因为 A1DCD=D, 所以 AD1平面 A1DC. 又因
11、为 MN平面 A1DC, 所以 MNAD1. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 距离问题 求点到平面距离的基本步骤是:找到或作出要求的距离;使所求距 离在某一个三角形中;在三角形中根据三角形的边角关系求出距离. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 3】 如图所示,已知 P 为ABC 外一 点,PA,PB,PC 两两垂直,PA
12、=PB=PC=a,求点 P 到平面 ABC 的距离. 思路分析:作出点到平面的垂线,进一步求出垂线段 的长. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 证明:过 P 作 PO平面 ABC 于点 O,连接 AO,BO,CO, 所以 POOA,POOB,POOC. 因为 PA=PB=PC=a,所以PAOPBOPCO. 所以 OA=OB=OC,所以 O 为ABC 的外心. 因为 PA,PB,PC 两两垂直,所以 AB=BC=CA= 2a, 所以ABC 为正三角形,所以 OA= 3
13、3 AB= 6 3 a, 所以 PO= 2-O2= 3 3 a. 所以点 P 到平面 ABC 的距离为 3 3 a. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 易错辨析 易错点:忘记分类讨论而致误 【典型例题 4】 已知:线段 AB 的中点为 O,O平面 . 求证:A,B 两点到平面 的距离相等. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 错解:如图
14、所示,过点 A,B 作平面 的垂线,垂足分别为 A1,B1,则 AA1,BB1 分别是点 A、点 B 到平面 的距离.在 RtAA1O 和 RtBB1O 中, AO=BO,B1OB=A1OA, 所以 RtAOA1RtBOB1, 所以 AA1=BB1,即 A,B 两点到平面 的距离相等. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 错因分析:错误的原因有两种:一是忽略了 AB 的情况;二是认为 AOA1和BOB1为对顶角而相等,其实应说明 B1,O,A1三点共线才行. 正解:(1
15、)当线段AB 平面 时,显然 A,B到平面 的距离均为 0,相等. (2)当 AB 平面 时,如图,分别过点 A,B 作平面 的垂线,垂足分别为 A1,B1,则 AA1,BB1分别是点 A、 点 B 到平面 的距离,且 AA1BB1. 所以 AA1与 BB1确定一个平面,设为 ,则 =A1B1.因为 OAB,AB ,所以 O. 又因为 O,所以 OA1B1.所以AOA1=BOB1. 又 AA1A1O,BB1B1O,AO=BO, 所以RtAA1ORtBB1O.所以AA1=BB1,即A,B两点到平面 的距离 相等. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识
16、 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 1.有下列命题: 平行于同一平面的两直线平行; 垂直于同一平面的两直线平行; 平行于同一直线的两平面平行; 垂直于同一直线的两平面平行. 其中正确的有( ) A.和 B.和 C.和 D.和 答案:A SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.下列各种情况中,一条直线垂直于一个平面内的:三角形的两条边;梯 形的两条边;圆的两条直径;正六边形的两条边.不能保证该直线与平面 垂直的是( ) A. B. C. D. 解析:因
17、为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而中不 能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直,故选 C. 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.如图所示,AB 是O 的直径,PA平面O,C 为圆周上一点,AB=5 cm,AC=2 cm,则 B 到平面 PAC 的距离为 . SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 解析:连接 BC,因为 C 为圆周上的
18、一点,AB 为直径, 所以 BCAC. 又因为 PA平面O,BC 平面O,所以 PABC. 又因为 PAAC=A,所以 BC平面 PAC,C 为垂足, 所以 BC 即为 B 到平面 PAC 的距离.在 RtABC 中, BC= 2-A2= 52-22= 21(cm). 答案: 21 cm SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.如图所示,=l,PA,PB,垂足分别为 A,B,a ,aAB. 求证:al. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础
19、知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 证明:因为 PA,l , 所以 PAl. 同理 PBl. 因为 PAPB=P, 所以 l平面 PAB. 因为 PA,a ,所以 PAa. 因为 aAB,PAAB=A, 所以 a平面 PAB.所以 al. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.如图,在三棱锥 A-BCD 中,BC=AC,AD=BD,作 BECD,E 为垂足,作 AHBE 于点 H.求证:AH平面 BCD. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 证明:如图,取 AB 的中点 F,连接 CF,DF. 因为 AC=BC,所以 CFAB. 因为 AD=BD,所以 DFAB. 又 CFDF=F,所以 AB平面 CDF. 因为 CD 平面 CDF,所以 CDAB. 又 CDBE,BEAB=B, 所以 CD平面 ABE, 又 AH 平面 ABE,CDAH. 因为 AHCD,AHBE,CDBE=E, 所以 AH平面 BCD.
