1、1.1.1 1.1.1 二项式定理二项式定理 第一课时第一课时 1.理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式 的有关特征，并能运用二项式定理计算或证明一些 简单的问题。 2、能力目标：在学生对二项式定理形成过程的参与 探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力， 以及学生的化归意识与知识迁移的能力。 本节课从若干天后是星期几这个问题导入，其间贯穿启发 式教学原则。以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个 以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引 导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，又可利 用组合的有关知识加以分析、归纳，通过对二项展开式规律的 探索过程，培养学生由
2、特殊到一般，经过观察分析、猜想、归 纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、联 想、归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生、 发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本 节课内容最佳的“知识生长点”，这对于学生建立完整的认知 结构是有积极意义的。 授课对象是高二学生具有一般的归纳推理能力，学生思维 较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，不应只重视定 理、公式的结论，而应该重视其形成过程。 (1)今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢? 100 8 (3)如果是 天后的这一天呢？ (2)如果是15天后的这一天呢？ （星期二） （星期一） 问题：问题：
3、2 )ba（ 3 )(ba 回顾： 3223 33babbaa 22 2baba ？ 4 )(ba )()(bababa )( 22 bbaababa ？ n ba)( 展开下面式子 (a+b)2 (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数. 考虑b: 每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 对(a+b)2展开式的分析
4、 尝试二项式定理的发现: 3 a+b) =(a+b)(a+b)(a+b)（ 2 a b 3 b 2 ab 3 a 03122233 3333 =C a +C a b+C ab +C b 0 0 3 3 C C 1 1 3 3 C C 2 2 3 3 C C 3 3 3 3 C C 尝试二项式定理的发现: 4 a+b) =(a+b)(a+b)(a+b) a+b)（ 4 a 3 a b 22 a b 3 ab 4 b 04132223344 44444 =C a +C a b+C a b +C ab +C b 1 1 4 4 C C 2 2 4 4 C C 4 4 4 4 C C 尝试二项式定理的
5、发现: 每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0 恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1 恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2b2前的系数为Cn2 恰有k个取b的情况有Cnk 种，则an-kbk前的系数为Cnk 恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn 尝试二项式定理的发现: 将(a+b)n展开的结果是怎样呢？ 发现规律： 对于对于 n (a+b)(a+b)(a+b) 的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个括号中 取b(其余括号中取a)的组合数 .那么，我们能不能写 出(a+b)n的展开式？ r n C 归纳提高 引出定
6、理，总结特征 0n1n-1rn-rrnn nnnn C aC a bC abC b )( Nn n a+b) =（ n a+b) =（ 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 ， 其中 （r=0,1,2,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有 _个项. r n C 展开式 二项式系数 rrnr n baC r+1 n+1 n0n1n-1rn-rrnn nnnn (a+b)C aC abC abC b 二项式定理 )( Nn n0n1n-1rn-rrnn nnnn (a+b)C aC abC abC b 2.
7、系数规律： n nnnn CCCC、 210 3.指数规律： （1）各项的次数均为n；即为n次齐次式 （2）a的次数由n逐次降到0， b的次数由0逐次升到n. 1.项数规律： 展开式共有n+1个项 )( Nn 二项式定理 特别地: 1、把b用-b代替 (a-b)n= Cnan-Cnan-1b+ +(-1)rCnan-rbr + +(-1)nCnbn 0 1 r n 对定理的再认识 2、令a=1，b=x nn n rr nnn n xCxCxCxCx 221 1)1 ( 尝试二项式定理的应用： 例1： 5001122 555 1+2x) =C (2x) +C (2x) +C (2x)（ 3344
8、55 555 +C (2x) +C (2x) +C (2x) 2345 =1+10x+40x +80x +80x +32x )51+2x（展开 思考： 5001122 555 1-2x) =C (-2x) +C (-2x) +C (-2x)（ 334455 555 +C (-2x) +C (-2x) +C (-2x) 2345 =1-10x+40x -80x +80x -32x 52345 1+2x) =1+10x+40x +80x +80x +32x（ 5 1-2x)（？若展开呢 尝试二项式定理的应用： 4324 ) 1 () 1 (4) 1 (6) 1 (41) 1 1 ( xxxxx 解
9、:（1） . 11260 16024019264 32 23 xxx xxx 6 3 66 ) 12( 1 ) 12 () 1 2()2( x xx x x x n0n1n-1rn-rrnn nnnn (a+b)C a +C abC abC b 例2. 用二项式定理展开下列各式： 64 ) 1 2() 2() 1 1 () 1 ( x x x . 1464 1 432 xxxx 例3.求（x+a)12的展开式中的倒数第4项. 解: 12 ()13,xa的展开式有 项 倒数第4项是它的第10项. 912 9939 9 112 220.TC xax a 二项式定理的应用： 的展开式的第三项）求（
10、6 32. 1yx 的展开式的第三项）求（ 6 23xy 24 226 2 6123 216032yxyxCTT 24 226 2 6123 486023xyxyCTT 课堂练习: 2.求 的展开式的第4项的二项式系数， 并求第4项的系数. 7 3 2xx 奎屯 王新敞 新疆 3 7 35C 33 7 2280C 解：展开式的第4项的二项式系数 第4项的系数 课堂练习: 1 9 99 2 199 31 ( )()( )3 33 rr rrrrrr r x TCCx x 06.rr 1 由9-r-得 2 69 66 79 1 ( )32268 3 TC 解: 3. 的展开式常数项求 9 3 3 x x 课堂练习: 项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列； b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。 的特点：的展开式通项 rrn r nr n baba CT 1 )( n ba)( n n n rrn r n bba CC 222110 baCbaCaC n n n n n n 1）注意二项式定理 中二项展开式的特征 2）区别二项式系数，项的系数 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项 )( Nn 敬请指导敬请指导
