1、 4.1.2 4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程 它是关于它是关于x x、y y的二元二次方程的二元二次方程. . 引入新课引入新课 将圆的方程将圆的方程(x(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2=r=r2 2展开，展开， 可得：可得： x x2 2+y+y2 2- -2ax2ax- -2by+(a2by+(a2 2+b+b2 2- -r r2 2)=0)=0 如果D=D=- -2a,E=2a,E=- -2b,F=a2b,F=a2 2+b+b2 2- -r r2 2, ,得到方程得到方程 X X2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0 ，这说明圆的方程还
2、可，这说明圆的方程还可 以表示成另外一种非标准方程的形式以表示成另外一种非标准方程的形式. . 能不能说方程能不能说方程X X2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0所表示的曲所表示的曲 线一定是圆呢？线一定是圆呢？ 任何一个圆的方程都可以写成任何一个圆的方程都可以写成X X2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的的 形式，反过来，当形式，反过来，当D D2 2+E+E2 2- -4F04F0时，方程表示一个圆时，方程表示一个圆. . 它叫做圆的它叫做圆的一般方程一般方程. . (1)(1)圆的圆的一般方程一般方程和和AxAx2 2+Bxy+Cy+Bx
3、y+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0 比较，在形式上有什么突出的特点比较，在形式上有什么突出的特点? ? (2)(2)要求出圆的一般方程，必须先求出什么？要求出圆的一般方程，必须先求出什么？ 可用什么方法求？可用什么方法求？ 例题分析例题分析 例例4 4、求过三点、求过三点O(0,0),MO(0,0),M1 1(1,1),M(1,1),M2 2(4,2)(4,2) 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标. . 例例5 5、已知线段、已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是的坐标是(4,3),(4,3),端点端点A A 在圆在圆(x+1)
4、(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的中点的中点M M的轨的轨 迹方程，迹方程， 2 1 （2 2）利用待定系数法求圆的方程，对于）利用待定系数法求圆的方程，对于已知条件容易求已知条件容易求 出圆心坐标和半径出圆心坐标和半径或或需用圆心坐标列方程需用圆心坐标列方程的问题，一般采的问题，一般采 用圆的用圆的标准方程标准方程，否则用圆的，否则用圆的一般方程一般方程。 （1 1）任何一个圆的方程都可以写）任何一个圆的方程都可以写X X2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的的 形式，但是方程形式，但是方程X X2 2+y+y2 2+Dx+E
5、y+F=0+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆，的曲线不一定是圆， 只有在只有在D D2 2+E+E2 2- -4F04F0时，方程表示圆心为时，方程表示圆心为 ，半径，半径 为为 的圆。的圆。 ) 2 , 2 ( ED FEDr4 2 1 22 小结小结 圆的参数方程圆的参数方程 y x O P r )( .sin cos 为参数 ， ry rx 怎样得到圆心在怎样得到圆心在O O1 1(a,b)(a,b)，半径为，半径为r r的圆的的圆的 参数方程呢？参数方程呢？ )( sin ,cos 为参数 rby rax ),(bav y x o 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线一般地，在取定的坐
6、标系中，如果曲线 上任意一点的坐标上任意一点的坐标x,yx,y都是某个变数都是某个变数t t的的 函数，即函数，即 并且对于并且对于t t的每一个允许值，由方程组所确定的的每一个允许值，由方程组所确定的 点点M(x,y)M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做都在这条曲线上，那么方程组就叫做 这条曲线的这条曲线的参数方程参数方程，联系，联系x x、y y之间关系的变数之间关系的变数 叫做参变数，简称参数叫做参变数，简称参数. . 参数方程的定义：参数方程的定义： ), ( ), ( t g y t f x (1)x,y(1)x,y都是同一变量都是同一变量t t的函数的函数; ; (2)(2
7、)该函数对曲线上任意一点都适合该函数对曲线上任意一点都适合; ; (3)(3)对于对于t t的每一个允许值的每一个允许值, x, x、y y都有唯一的值都有唯一的值 与之对应与之对应; ; (4)(4)参数参数t t的取值范围要受限制的取值范围要受限制, ,它不能使它不能使x,yx,y的取的取 值范围扩大值范围扩大, ,也不能使也不能使x,yx,y的取值范围缩小的取值范围缩小; ; (5)(5)学会将学会将简单的曲线简单的曲线参数方程与普通方程参数方程与普通方程互化互化. . 对于参数方程，要注意以下几点：对于参数方程，要注意以下几点： 互化例子互化例子 例例6 6、如图，已知点、如图，已知点P P是圆是圆x x2 2+y+y2 2=16=16上的一个动点，上的一个动点， 点点A A是是x x轴上的定点，坐标为（轴上的定点，坐标为（1212，0 0），当点），当点P P在在 圆上运动时，线段圆上运动时，线段PAPA的中点的中点M M的轨迹是什么？的轨迹是什么？ x o y 例题分析例题分析 参数法解题参数法解题 的最大值和最小值。 求函数 2 cos 1 sin ) ( 1 f
