1、23.2 解直角三角形及其应用第4课时 坡度问题及一次函数 k 的几何意义1.理解并掌握坡度、坡比的定义；(重点)2.学会用坡度、坡比解决实际问题.(难点)学习目标 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？ABC观察与思考导入新课导入新课lhi=h:l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .2.坡度(或坡比)坡度通常写成 1 m的形式，如i=1 6.如图所示，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即 i=h:l.坡面水平面讲授新课讲授新课与坡度、坡角有关的实际问题知识回顾3.坡度与坡角的关系即坡度等于坡角的正切值
2、.lhi=h:l坡面水平面tanhil1.斜坡的坡度是 ，则坡角=_度.2.斜坡的坡角是45，则坡比是 _.3.斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_.lh301:1练一练1:31:3例1 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01，长度精确到0.1m）？i=1:2典例精析在RtABC中，B=90，A=26.57，AC=240m，解：用表示坡角的大小，由题意可得因此 26.57.答：这座山坡的坡角约为26.57，小刚上升了约107.3 m从而 BC=240sin26.57107.3（m）因此sin
3、240BCBCAC，1tan0.52，例2 铁路路基的横断面是四边形ABCD，ADBC，路基宽BC=9.8m，高BE=5.8m，斜坡AB的坡度i=1 1.6，斜坡CD的坡度i=1 2.5，求：底宽AB和斜坡的坡角和(精确到 1)；ADBCi=1:2.55.89.8i=1:1.6解：过C作CFAD于点F，得CF=BE,EF=BC,A=,B=.115.8,1.62.5BECFBEmAEDFFAE=1.65.8=9.28(m),DF=2.55.8=14.5(m).AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.533.6(m).答：铁路路基下底宽为33.6m，斜坡的坡角分别为32和213221,.E
4、FADBCi=1:2.55.89.8i=1:1.611tan=tan=1 62 5i.，i=，如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1:2，走 米到达山顶A处这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30请求出点B和点C的水平距离520练一练ACBD30答案：点B和点C的水平距离为 米.20 3403与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？hhll探究归纳 我们设法“化曲为直，以直代曲”我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这
5、段坡长l1，测出相应的仰角1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sin1.h11l1 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,hn相加，于是得到山高h.以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容 方法归纳 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，
6、当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略xyoQ1Q2RP1(x1,y1)P2(x2,y2)例3:已知：在直线已知：在直线y=kx+b上有任意两点上有任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，这条直线向上方向与这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为轴正方向所夹的锐角为.求证：求证：2121tanyykxx证明：由证明：由是锐角，可知是锐角，可知直线直线y=kx+b是上升的，即函数是上升的，即函数y=kx+b的值随的值随x值的增大而增大值的增大而增大.如图，如图，x1x2,则则y
7、1y2.过点过点P1,P2作作x轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为Q1,Q2,再过再过点点P1作作x轴的平行线轴的平行线P1R交交P2Q2于点于点R，得，得 P2P1R=.在在RtP2P1R中，中，2122112121tanyyRPyyRPxxxxP1,P2都在直线都在直线y=kx+b上，上，1122ykxbykxb2121yykxx2121tanyykxx当堂练习当堂练习1.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，坝高 BC=3m，则坡面AB的长度是 ()3A.9m B.6m C.m D.m6 33 3ACBB2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AHBC，坡角ABC74，坝顶到坝脚的
8、距离AB6 m为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1 m)解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F 由题意可知 DECF4(米)，CDEF12(米)4.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是 12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45和30，求路基下底的宽(精确到0.1米，).45304米12米ABCD732.13 414.12 在RtADE中，4tan45,DEiAEAEEF 在RtBCF中，同理可得因此 ABAEEFBF4126.9322.93(米)答：路基下底的宽约为22.93米44tan45AE(米).46.93tan30BF(米).45304米12米ABCDEF利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案课堂小结课堂小结
