1、 16.1 二次根式二次根式二次根式的定义二次根式的定义（第（第1 1课时）课时）初中数学基础知识学习的两条主线：初中数学基础知识学习的两条主线：数与式数与式整数整数分数分数有理数有理数无理数无理数实数实数1 1、数系的扩充、数系的扩充2 2、数学式子的扩充、数学式子的扩充单项式单项式多项式多项式整式整式分式分式有理式有理式问题导入：问题导入：面积为面积为32m32m2 2的正方形的边长是面积为的正方形的边长是面积为8m8m2 2的的正方形的边长的正方形的边长的 倍倍.32m32m2 28m8m2 2m32m8mm83283224216222422复习复习 填空填空1、如果、如果 ，那么，那么
2、 ；42xx2、如果、如果 ，那么，那么 ；32xx3、如果、如果 ，)0(2aax那么那么 .x2 23a 什么是一个数的算术平方根？如何表示？什么是一个数的算术平方根？如何表示？一个正数的正的平方根叫做它的算术平方根一个正数的正的平方根叫做它的算术平方根.什么叫做一个数的平方根？如何表示？什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，如果一个数的平方等于一般地，如果一个数的平方等于a(a0)，那，那么么这个数叫做这个数叫做a的平方根的平方根.a的算术平方根用的算术平方根用 (a0)表示表示.a0 0的算术平方根是的算术平方根是0.0.a的平方根可表示为的平方根可表示为.a知识回顾知识回顾232
3、4或二次方根或二次方根.(4)填空：填空：9的的平方根是平方根是_._.的的平方根是平方根是_._.的算术的算术平方根是平方根是_._._._._._.92)3(162)14.3(3 332 23 314.3(3)式子式子 各表示什么意义？各表示什么意义？aaa，知识回顾知识回顾34（2）一个长方形的围栏，长是宽的）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为倍，面积为130m2,则它的宽为则它的宽为_m.用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（1）面积为）面积为3的正方形的边长为的正方形的边长为_,面积为面积为S的正方形的正方形 的边长为的
4、边长为_.(3)(3)一个物体从高处自由落下一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间落到地面所用的时间t(单位单位:s)与开始落下时离地面的高度与开始落下时离地面的高度h（单位：（单位：m）满足关系）满足关系 h=5t2.如果用含有如果用含有h的式子表示的式子表示 t,则则t=_.65s5h32x2=130（教材第（教材第2 2页）页）52ht(4)(4)如图所示的值表示正方形的面积，则如图所示的值表示正方形的面积，则3b b-3它们都表示一些它们都表示一些正数正数(非负数非负数)的的算术平方根算术平方根a叫做叫做被开方数被开方数，3b3s655h观察：观察：，有什么特点？有什么特点？a)0
5、(a形如形如 的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式.”“称为称为二次根号二次根号.正方形的边长是正方形的边长是 .2.2.被开方数被开方数a可以表示数或式子可以表示数或式子.4.当当 a0 时时,0a3.3.数或式的形式上含有二次根号数或式的形式上含有二次根号“”“”.(双重非负性)(0)a a 对二次根式对二次根式 ,需理解以下几点：需理解以下几点：1.二次根式二次根式 ，就是就是a的算术平方根的算术平方根.(0)a a 5.二次根式二次根式 ，既可表示对既可表示对数数a作开方作开方 运算运算,也可以表示也可以表示数数a开方开方运算的结果运算的结果.(0)a a 说一说说一说:例1.判断下列
6、各式那些是二次根式?321）（62）（12-3）（)0m(m-4）（异号），）（yx(xy5162a）（357）（2282aa）（19a）（是含有二次根式的式子是含有二次根式的式子.1a三次根式三次根式例例2.当当a是怎样的实数时，下列二次根式在是怎样的实数时，下列二次根式在 实数范围内有意义？实数范围内有意义？11a）（a2114）（236）（）（a33a）（152a）（a312）（20)63()2(12627aaaa）（例例2.当当a是怎样的实数时，下列二次根式在是怎样的实数时，下列二次根式在 实数范围内有意义？实数范围内有意义？11a）（a2114）（33a）（a312）（解：解：a+1
7、0+10 a-1-1解：解：1-31-3a0031 a解：解：a300 a00解：解：1+21+2a0 021 a例例2.当当a是怎样的实数时，下列二次根式在是怎样的实数时，下列二次根式在 实数范围内有意义？实数范围内有意义？236）（）（a152a）（20)63()2(12627aaaa）（解：解：a2+10+10 a取全体实数取全体实数.解：解：(a-3)3)200 a取全体实数取全体实数.解：解：2a+600a-100a+2003a-600解得，解得，a-3-3且且a11且且a-2-2且且a22总 结二次根式的被开方数不小于零二次根式的被开方数不小于零.分母中含有字母时分母中含有字母时,
8、要保证分母的值不为零要保证分母的值不为零.求二次根式中字母的取值范围的基本依据有:零指数幂或负整数指数幂的底数不能为零指数幂或负整数指数幂的底数不能为0 0.xx21)4(21xx且 当式子中字母取何值时当式子中字母取何值时,下列式子有意义下列式子有意义?32)1(x3x a21132)2(1)2(x2x21a练习练习11xx12）（x63x1）（232x）（1)4(x解：解：解：解：x2+200 x-30 0 6-x0 0 x=1.解：解：x-10 -10 1 1-x0 0 3 3x6.x33x6 x11x11 x取全体实数取全体实数.x取全体实数取全体实数.解：解：01x38xx)1(22
9、xx)2(221xx)3(20)63()3(521)4(xxx x=2.-3-3x8.8.x取全体实数取全体实数.x 且且x33且且x-2-225二二解：解：由题意知由题意知a0 0点点A(,)1、已知、已知 有意义有意义,那那A(a,)在在 象限象限.a1a23提高题提高题2、的最小值为的最小值为，此时此时x的值为的值为.x32点点A(,)在第二象限在第二象限.022ba求求 的值的值.1222bba解解:20a，02 b022ba又20a，02b22.ab，31212212222ba原式提高题提高题n124.4.已知已知 为一个整数，求自然数为一个整数，求自然数n的值的值.解解:0012n
10、n0n12n12n012n120 为一个整数为一个整数,n12 12-n12-n为一个平方数为一个平方数.12-n=0,1,412-n=0,1,4或或9.9.n=12,11,8n=12,11,8或或3.3.（1）二次根式的定义）二次根式的定义.（2）使二次根式有意义的字母的）使二次根式有意义的字母的 取值范围取值范围.（3 3）求二次根式的值）求二次根式的值.二次根式的性质二次根式的性质 16.1 二次根式二次根式（第（第2 2课时）课时）1.1.二次根式的定义二次根式的定义:2.2.二次根式的性质二次根式的性质1:1:双重非负性双重非负性.0,0aa时当复习回忆a)0(a形如形如 的式子叫做
11、二次根式的式子叫做二次根式.22242023131二次根式的性质二次根式的性质2:2:aa2)(一个非负数的一个非负数的算术平方根算术平方根（二次根式）（二次根式）的平方，等于这个非负数本身的平方，等于这个非负数本身.aa2)(2)5.1()1(2)52()2(5.1)5.1()1(22)52()2(22)5(2 2054222)(baab24201.02312040.01310一个一个非负数的平方的算术平方根非负数的平方的算术平方根（二次根（二次根式），等于这个非负数本身式），等于这个非负数本身.aa 2(a0)2)4(2)01.0(23140.0131aa2(a 0)一个一个负数的平方的算
12、术平方根负数的平方的算术平方根（二次根（二次根式）式），等于这个负数等于这个负数的相反数的相反数.aa2a-a(a0)(a0)归纳归纳:二次根式的性质二次根式的性质3:3:任何一个任何一个实数的平方实数的平方的算术平方根的算术平方根（二次根式）（二次根式），等于这个实数的绝对值，等于这个实数的绝对值.16)1(252)()(4416)1(2555222)()(aa2a-a(a0)(a0)282323232322xyxyx32yx 221112 2223yxyx(其中其中x-1)1x练习练习2 2:化简化简?)(22有区别吗与 aa2.从取值范围来看,2a2aa0 0a取任何实数1.从运算顺序来
13、看,2a2a先开方,后平方先平方,后开方3.3.从运算结果来看从运算结果来看:=a(a0)0)2a2a (a取任何实数取任何实数)a22()aaA22()aa）（0a 练习练习3:3:选择题选择题a注意：注意：单独的一个数或字母也是代数式；单独的一个数或字母也是代数式；代数式中肯定不含有代数式中肯定不含有“=；”等等 关系符号关系符号，只含有，只含有运算符号运算符号.代数式的书写要求；代数式的书写要求；教材第教材第4 4页页 如如 5，a，a+b,-ab,-x3,它们都是用它们都是用基本运算符号基本运算符号(基本运算包括加基本运算包括加、减减、乘乘、除除、乘方和开方）把乘方和开方）把数或表示数
14、的字母数或表示数的字母连接起来的式连接起来的式子，我们称这样的式子为子，我们称这样的式子为代数式代数式.ts3)0(aa练习练习4:4:填空题填空题下列式子：0；2+x=4；2a+3b;；.其中代数式有 .2132x)2(2xx0,，22a+3b;).2(2xx2)0(aa是二次根式是二次根式，是二次根式是二次根式，是是2 2的算术平方根，的算术平方根，是是a的算术平方根的算术平方根，是一个无理数，是一个无理数，是一个无理式是一个无理式.（根号内含有字母的式子叫无理式）（根号内含有字母的式子叫无理式）是一个单项式是一个单项式.多项式多项式整式整式分式分式有理式有理式无理式无理式代数式代数式单项
15、式单项式，2，3-，m22xy，nm23522x32xba，；)0(aa122x .22(4)(1)xx拓展提高题拓展提高题解：解：22(4)(1)=xx14xx1)4(xx14xx32.实数实数p在数轴上的位置如图所示，在数轴上的位置如图所示，化简化简 .222)1(pp)2(1pp原式pp211.0201pp，解：拓展提高题拓展提高题2222()()()()a b ca b cb a cc b a 拓展提高题拓展提高题解：解：原式原式=4.代数式 的最小值是（）13432xxA.0B.3C.3.5D.1C解：解：4x-130-130413 x 当当 时，得时，得413x13432xx 原式
16、原式=1341343413235.65.34.代数式 的最小值是（）13432xxA.0B.3C.3.5D.1解：解：原式原式=31342xx)134(21x134 x35.62)134(21x134 x5.31342)134(212xx5.3111342)134(212xx5.32)1134(21x33)1134(212x 当当 ，即，即 01134x13432xx的最小值是的最小值是 .x时，2701134x1134x1134 x27x选选B3 3（1）二次根式的定义）二次根式的定义.（3 3）求二次根式的值）求二次根式的值.（4 4）二次根式的性质）二次根式的性质.（2）使二次根式有意义
17、的字母的）使二次根式有意义的字母的 取值范围取值范围.作作 业业 教材P4页：练习1,2题，P5页：习题16.11.1.化简下列各式化简下列各式:22)32()23()1(22)5()5()2()8(6416)3(2mmm)0,0()4(22baba补充作业题补充作业题补充作业题补充作业题2.2.若若 则则_._.，0)32()5(22ba2ab3.3.已知已知a,b,b为实数为实数,且满足且满足 你能求出你能求出a及及a+b 的值吗？的值吗？，12112bba6ba8ba4.4.已知已知 与与 互为相反数，互为相反数，求求a，b的值的值.5.5.已知已知9999)99)(99(xxxx.123122的值）求（xxxx
