1、第二章第二章 二次函数二次函数1 1 二次函数二次函数函数函数变量之间的关系变量之间的关系一次函数一次函数 y=kx+b （k00）反比例函数反比例函数二次函数二次函数正比例函数正比例函数y=kx（k00）0kxky复习回顾复习回顾 某果园有某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结棵橙子树，每一棵树平均结 600 个个橙子橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树
2、就会少结会少结 5 个橙子个橙子.引入新知引入新知（1）问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些）问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？是因变量？（2）假设果园增种）假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？（3）如果果园橙子的总产量为）如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出个，那么请你写出y 与与 x 之间的关系式之间的关系式.果园共有（果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结）棵树，平均每棵树结（600-5x）个个橙子，因此果园橙子的总产量橙子，因此果园橙子的总产量y=
3、（100+x）（）（600-5x）=-=-5x2+100 x+60 000.000.在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？的总产量最多？x/棵棵12 3 4 5 6 78910 11121314y/个个 你能根据表格中的数据作出猜想吗？银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.做一做做一做设人民币一年定期储蓄的年利率是设
4、人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存动按一年定期储蓄转存.如果存款额是如果存款额是 100 元，那么请你写出元，那么请你写出两年后的本息和两年后的本息和 y（元）的表达式元）的表达式.y=100（x+1）2=100 x2+200 x+100.（1）已知矩形的周长为）已知矩形的周长为 40 cm，它的面积可能是，它的面积可能是100 cm2 吗？可能是吗？可能是 75 cm2 吗？还可能是多少？吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？（2）两数的和是两数的和
5、是 20，设其中一个数是，设其中一个数是 x，你能，你能写出这两数之积写出这两数之积 y 的表达式吗？的表达式吗？y=x（20-x）=-=-x2+20 x.想一想想一想推理归纳推理归纳定义：一般地，若两个变量定义：一般地，若两个变量 x，y 之间的对应之间的对应关系可以表示成关系可以表示成 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，是常数，a00）的形式，则称）的形式，则称 y 是是 x 的二次函数的二次函数.例如，例如，y=-=-5x2+100 x+60 000，y=100 x2+200 x+100 和和 y=x（20-x）=-=-x2+20 x 都是二次函数都是二次函数.我们以我们以前学过的
6、正方形面积前学过的正方形面积 A 与边长与边长 a 的关系的关系 A=a2，自由落体运动下落的高度自由落体运动下落的高度 h 与下落时间与下落时间 t 的关的关系系 等也是二次函数的例子等也是二次函数的例子.上述问题中，自变量能取哪些值？上述问题中，自变量能取哪些值？议一议议一议1.1.下列函数，哪些是二次函数？下列函数，哪些是二次函数？（1）y=3（x-1）+1；（3）s=3-2t；（5）y=（x+3）-x；（6）v=10r.;1)4(2xxy;1)2(xxy练一练练一练2.用用总长为总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，场地面积的篱笆围成矩形场地，场地面积 S（m）与矩形一边长与矩形一边长
7、 a（m）之间的关系是什么？之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？是函数关系吗？是哪一种函数？260解：解：S=a（-a）=a（30-a）=30a-a=-a+30a.是二次函数是二次函数.课外练习课外练习21211.下列函数（下列函数（x,t是自变量），哪些是二次函数？是自变量），哪些是二次函数？（1）y=+=+3x ；（2）y=x+x+25；（3）y=2+2x；（4）s=1+t+5t.2.圆的半径是圆的半径是 1 cm，假设半径增加，假设半径增加 x cm 时，圆时，圆的面积增加的面积增加 y cm.（1）写出）写出 y 与与 x 之间的函数关系表达式之间的函数关系表达式.（2）当圆
8、的半径分别增加）当圆的半径分别增加 1 cm，cm，2 cm 时，时，圆的面积增加多少？圆的面积增加多少？2 定义中应该注意的几个问题：定义中应该注意的几个问题：小结 拓展1.定义：一般地，形如定义：一般地，形如 y=ax+bx+c（a，b，c 是常是常数，数，a0）的函数叫做）的函数叫做 x 的二次函数的二次函数.y=ax+bx+c（a，b，c 是常数，是常数，a0）的几种不同表的几种不同表示形式：示形式：（1）y=ax（a0，b=0，c=0）；）；（2）y=ax+c（a0，b=0，c0）；）；（3）y=ax+bx（a0，b0，c=0）.2.定义的实质：定义的实质：ax+bx+c 是整式，自
9、变量是整式，自变量 x 的最高次数是二次，自变量的最高次数是二次，自变量 x 的取值范的取值范围是全体实数围是全体实数.第二章第二章 二次函数二次函数2 2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质（第（第 1 1 课时）课时）在二次函数在二次函数 y=x2 中，中，y 随随 x 的的变化而变化的规律是什变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗么？你想直观地了解它的性质吗?（1）观察）观察 y=x2 的表达式，选择适当的的表达式，选择适当的 x 值，并计算相值，并计算相应的应的 y 值，完成下表：值，完成下表：画二次函数画二次函数 y=x2 的图象的图象.x -3 -2 -1 0 1
10、2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9想一想xyO-4-3-2-11234108642-2（2）在下面的直角坐标系中描点在下面的直角坐标系中描点.y=x2（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数用光滑的曲线连接各点，便得到函数 y=x2 的图象的图象.议一议对于二次函数对于二次函数 y=x2 的图象的图象.（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.（2）图象与）图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当）当 x 0 0 呢？呢？（4）当）当 x 取什么值时，取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你的值
11、最小？最小值是什么？你是如何知道的？是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流请你找出几对对称点，并与同伴交流.2xy这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称，轴对称，y轴就轴就是它的是它的对称轴对称轴.对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛抛物线的物线的顶点顶点.二次函数二次函数 y=x2 的的图象形如物体抛射图象形如物体抛射时所经过的路线，我时所经过的路线，我们把它叫做们把它叫做抛物线抛物线.当当 x0 0（在对称轴的右侧）时（在对称轴的右侧）时,y 随着随着 x 的增大而增大的
12、增大而增大.抛物线抛物线 y=x2 在在 x 轴的上方（除顶点外），轴的上方（除顶点外），顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展限伸展.当当 x=0=0 时，函数时，函数 y 的值最小，最的值最小，最小值是小值是0.0.二次函数二次函数 y=-x2 的图象是什么形状？先想一的图象是什么形状？先想一想，再画画出它的图象它与二次函数出它的图象它与二次函数 y=x2 的图的图象有什么关系？有什么关系？与同伴交流与同伴交流.你能根据表格中的数据你能根据表格中的数据作出猜想吗？作出猜想吗？x-3-2-10123y=-x2-9-4-10-1-4-9做一做xyO-
13、4-3-2-11234-10-8-6-4-22描点，连线描点，连线y=-x2（1 1）完成下表：）完成下表：画二次函数画二次函数 y=2x2 的图象的图象.x-3-2-10123y=2x218 8 2 0 2 8 18（2）在图中画二次函数）在图中画二次函数 y=2x2 的图象的图象.下面接着讨论形如下面接着讨论形如 y=ax2，y=ax2+c 的图象和性质的图象和性质.y=2x2yxO想一想（3）二次函数）二次函数 y=2x2 的的图象是什么形状？它与二图象是什么形状？它与二次函数次函数 y=x2 的图象有什的图象有什么不同？它的开口方向、么不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是对称轴和
14、顶点坐标分别是什么？什么？画出二次函数画出二次函数 y=x2 的图象，它与的图象，它与 y=x2，y=2x2 的图象有什么相同和不同？的图象有什么相同和不同？想一想21画出二次函数画出二次函数 y=2x2+1 的图象，你是怎样的图象，你是怎样画的？与同伴交流画的？与同伴交流.做一做二次函数二次函数 y=2x2+1 的图象与二次函数的图象与二次函数 y=2x2 的图的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？向、对称轴和顶点坐标分别是什么？二次函数二次函数 y=2x2-1 的图象呢？的图象呢？议一议二次函数二次函数 y=
15、2x2，y=2x2+1，y=2x2-1 的图象都的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.将函数将函数 y=2x2 的图象向上平移的图象向上平移 1 个单位长度，就得到函数个单位长度，就得到函数y=2x2+1 的图象；将函数的图象；将函数 y=2x2 的图象向下平移的图象向下平移 1个单位长度，就得到函数个单位长度，就得到函数 y=2x2-1 的图象的图象.1.抛物线抛物线 y=ax2 的顶点是原点，对称轴是的顶点是原点，对称轴是 y 轴轴.2.当当 a0 0 时，抛物线时，抛物线 y=ax2 在在 x 轴的上方（除轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并
16、且向上无限伸展；顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；当当 a0 0 时，在对称轴的左侧，时，在对称轴的左侧，y 随着随着 x 的增的增大而减小；在对称轴右侧，大而减小；在对称轴右侧，y 随着随着 x 的增大而的增大而增大增大.当当 x=0 时，函数时，函数 y 的值最小的值最小.当当 a0 时，在对称轴的左侧，时，在对称轴的左侧，y 随着随着 x 的增大的增大而增大；在对称轴的右侧，而增大；在对称轴的右侧，y 随着随着 x 的的增大而增大而减小减小.当当 x=0 时，函数时，函数 y 的值最大的值最大.1.已知抛物线 y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式.（2）
17、判断点 B（-1，-4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.例题解析解：（解：（1）把（）把（-2，-8）代入代入 y=ax2，得得 -8=a（-2）2，解得解得 a=-=-2.所求函数的解析式为所求函数的解析式为 y=-=-2x2.（2）因为）因为-2（-1）2=-=-2-4，所以所以点点 B（-1 ，-4）不在此抛物线上不在此抛物线上.（3）由）由-6=-=-2x2 ，得，得 x2=3，所以纵坐标为所以纵坐标为-6 的点有两个，它们分别是的点有两个，它们分别是（-，-6）和）和（，-6）.332.填空：填空：（1）抛）抛物线物线 y=2x2 的顶点坐标的顶点坐标是
18、是 ，对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，y 随随着着 x 的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y 随着随着 x 的增大而减小，当的增大而减小，当 x=时，函数时，函数 y 的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ，抛物线，抛物线 y=2x2 在在 x 轴的轴的 方（除顶点外）方（除顶点外）.（0，0）y 轴轴对称轴的右对称轴的右00上上对称轴的左对称轴的左（2）抛物线抛物线 y=-x2 在在 x 轴的轴的 方（除顶点外），方（除顶点外），在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y 随着随着 x 的的 ，在对在对称轴的右侧，称轴的右侧，y 随着随着 x 的的 ，当当 x=0 时，函数时，函数 y
19、的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ，当，当 x 0时，时，y0 0 时，抛物线时，抛物线 y=ax2 在在 x 轴的上方（除轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；当当 a0 0 时，在对称轴的左侧，时，在对称轴的左侧，y 随着随着 x 的增的增大而减小；在对称轴右侧，大而减小；在对称轴右侧，y 随着随着 x 的增大而的增大而增大增大.当当 x=0 时，函数时，函数 y 的值最小的值最小.当当 a0，开口都向上，开口都向上.顶点坐标是点（顶点坐标是点（1，0）.类似地，你能发现二次函数类似地，你能发现二次函数 y=2（x+1）2 的的
20、图象与图象与 y=2x2 的图象有什么关系吗的图象有什么关系吗?当当 x 取哪些值时，函数取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随的值随 x 值的增大而增大？值的增大而增大？当当 x 取哪些值时，函数取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随的值随 x 的增大而减少？的增大而减少？顶点是最低点，函数有最小值顶点是最低点，函数有最小值.当当 x=1 时，最小值是时，最小值是 0.二次函数二次函数 y=2（x-1）2 与与 y=2x2 的增减性类似的增减性类似.在对称轴（直线：在对称轴（直线：x=1）的左侧，即）的左侧，即 x0）y=a（x-h）2+k（a0 时时，开口向上开口向上，在对称轴
21、在对称轴的的左侧左侧，y 都随都随 x 的增大而减小的增大而减小；在对称轴在对称轴的的右侧右侧，y 都随都随 x 的增大而增大的增大而增大.当当 a0 时时，向右平移向右平移；当当 h0 时时，向上平移向上平移；当当 k0 时时，开口向上开口向上，在对称轴在对称轴的的左侧左侧，y 都随都随 x 的增大而减小的增大而减小；在对称轴在对称轴的的右侧右侧，y 都随都随 x 的增大而增大的增大而增大.当当 a0，当，当 x=h 时，时，y 有最小值有最小值 k；若若 a0，当，当 x=时，时，y 有最小值有最小值 ；若若 a0），面积为），面积为 y cm2，则这样的长方形中，则这样的长方形中 y与与
22、 x 的关系可以写为（）的关系可以写为（）A.y=x2 B.y=12x2C.y=（12-x）x D.y=2（12-x）知识小测知识小测C3.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度如图，假设篱笆（虚线部分）的长度 为为 16 m，则所围成矩形则所围成矩形 ABCD 的最大面积是（）的最大面积是（）A.60 m2B.63 m2C.64 m2D.66 m2C4.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图的平面直角坐标系，其函数的关系式为建立如图的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=-x2，当水面离桥拱顶的高度，当水面离桥拱顶的高度 DO 是是 4 m 时，
23、这时，这时水面的宽度时水面的宽度 AB 为（）为（）A.-20 m B.10 m C.20 mD.-10 mC【例【例 1】某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考】某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长墙（墙足够长），另外三边用总长 69 米米 的不锈钢栅栏的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为围成，与墙平行的一边留一个宽为 3 米米 的出入口，如的出入口，如图，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生图，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情
24、境：争议的情境：知识点知识点 1 求几何图形的最大面积问题求几何图形的最大面积问题分析：（分析：（1）设）设 AB=x 米，根据等式米，根据等式x+x+BC=69+3，可以求出，可以求出 BC 的表达式的表达式.（2）得出面积关系式，根据所求关系式）得出面积关系式，根据所求关系式进行判断即可进行判断即可.解：（解：（1）设）设 AB=x 米，米，则则 BC=69+3-2x=72-2x.（2）小英的说法正确）小英的说法正确.矩形面积矩形面积 S=x（72-2x）=-2（x-18）2+648.72-2x0，x36，0 x36，当当 x=18 时，时，S 取最大值，此时取最大值，此时 x72-2x，
25、面积最大的不是正方形面积最大的不是正方形.1.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为足够长）为一边，用总长为 80 m 的围网在水库中围成的围网在水库中围成了如图的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的了如图的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等面积相等.设设 BC 的长度为的长度为 x m，矩形区域，矩形区域 ABCD 的面的面积为积为 y m2.（1）求）求 y 与与 x 之间的函数关系式，并注明自变量之间的函数关系式，并注明自变量 x 的的取值范围取值范围.（2）当）当 x 为何值时，为何值时，y 有最大值？
26、有最大值？最大值是多少？最大值是多少？分析：（分析：（1）根据三个矩形的面积相等，得到矩）根据三个矩形的面积相等，得到矩形形 AEFD 的面积是矩形的面积是矩形 BCFE 的的面积的面积的 2 倍，倍，可得出可得出 AE=2BE.设设 BE=a，则，则 AE=2a，表示出，表示出 a与与 2a，进而表示出，进而表示出 y 与与 x 的关系式，并求出的关系式，并求出 x 的范围即可的范围即可.（2）利用二次函数的性质求出）利用二次函数的性质求出 y 的最大值，以的最大值，以及此时及此时 x 的值即可的值即可.【例【例 2】一个足球被从地面向上踢出，它距】一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度地
27、面的高度 h（m）与足球被踢出后经过的）与足球被踢出后经过的时间时间 t（s）之间具有函数关系）之间具有函数关系 h=at 2+19.6t.已知足球被踢出后经过已知足球被踢出后经过 4 s 落地，则足球距落地，则足球距地面的最大高度是地面的最大高度是 m.知识点知识点 2：二次函数在生活中的应用：二次函数在生活中的应用19.6分析：首先由题意，得分析：首先由题意，得 当当 t=4 时，时，h=0，然后代入函数关系然后代入函数关系 h=at 2+19.6t 可得可得 a 的的值，最后利用函数解析式计算出值，最后利用函数解析式计算出 h 的最大的最大值即可值即可.解析：由题意，得解析：由题意，得
28、当当 t=4 时，时，h=0，因此因此 0=16a+19.64，解得解得 a=-4.9，函数关系为函数关系为 h=-4.9t 2+19.6t，足球距地面的最大高度是足球距地面的最大高度是 =19.6（m）.2.一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为面的高度为 y（米）关于水平距离（米）关于水平距离 x（米）的（米）的函数解析式为函数解析式为 y=-x2+x+，那么铅球运，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为动过程中最高点离地面的距离为 米米.312132353.如图，利用一面墙，用如图，利用一面墙，用 80 米长的篱笆围米长的篱笆围成一个矩形场
29、地，墙长为成一个矩形场地，墙长为 30 m，围成鸡场的，围成鸡场的最大面积为（）最大面积为（）A.800 米米2 B.750 米米2C.600 米米2 D.2 400 米米2B4.某幢建筑物从某幢建筑物从 16 m 高的窗口高的窗口 A，用水管向外喷水，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图），如果抛物线的最高点直，如图），如果抛物线的最高点 M 离墙离墙 1 m，离地，离地面面 18 m，则水流落地点，则水流落地点 B 离墙的距离离墙的距离 OB 是是（）（）A.2 m B.3 m C.4 m D.5 mC5.如图
30、是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米，米，水面下降水面下降 1 米时，水面的宽度为米时，水面的宽度为 米米.626.有长有长 24 m 的篱笆，一面利用长为的篱笆，一面利用长为 12 m 的围的围墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花设花圃垂直于墙的一边长为圃垂直于墙的一边长为 x m，面积为，面积为 S m2.则则 S 与与 x 的函数关系式是的函数关系式是 ，x 的的取值范围为取值范围为 .4x8S=（24-3x）x7.如
31、图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽水面宽 AB=1.6 m，涵洞顶点，涵洞顶点 O 到水面的距离到水面的距离CO 为为 2.4 m，在图中的直角坐标系内，涵洞，在图中的直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是截面所在抛物线的解析式是 .y=-x24158.某居民小区要在一块一边靠墙（墙长某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15 米）的米）的空地上修建一个矩形花园空地上修建一个矩形花园 ABCD，花园的一边靠，花园的一边靠墙，另三边用总长墙，另三边用总长 40 米的栅栏围成（如图）米的栅栏围成（如图）.若若设花园的设花园的 BC 边长为边长为 x 米，花
32、园的面积为米，花园的面积为 y 米米2.（1）求）求 y 与与 x 之间的函数关系式，并写出自变量之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围的取值范围.（2）满足条件的花园面积能否达到）满足条件的花园面积能否达到 150 米米2？若能，若能，请求出请求出 x 的值；若不能，请说明理由的值；若不能，请说明理由.（3）当）当 x 是多少时，矩形场地面积是多少时，矩形场地面积 y 最大？最大最大？最大面积是多少？面积是多少？解：（解：（1）由题意可知，）由题意可知，BC 为为 x 米，米，则则 AB=20-.矩形矩形 ABCD 的面积为的面积为 AB BC，y=（20-）x=20 x-x2=-x
33、2+20 x，自变量自变量 x 的取值范围为的取值范围为 0 x15.240 x2x2x2121（2）能达到）能达到.由题意知，当由题意知，当 y=150 时，时，-x2+20 x=150，解得解得 x1=10，x2=30（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），故故 当当 x=10 时，花园面积能达到时，花园面积能达到 150 米米2.21（3）a=-0，当当 0 x15时，时，y 随随 x 的增大而增大，的增大而增大，当当 x=15 时，时，y 取最大值，取最大值，最大值最大值是是-152+2015=187.5.答：当答：当 x 是是 15 米时，矩形场地面积米时，矩形场地面积 y 最大
34、，最大，最大面积是最大面积是 187.5 米米2.21219.一块草坪的护栏是由一块草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线段形状相同的抛物线组成，如图，为了牢固期间，每段护栏需按间距组成，如图，为了牢固期间，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管做成的立柱加设不锈钢管做成的立柱.为了计算所需不为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图的数据，锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图的数据，则需要不锈钢管的总长度为则需要不锈钢管的总长度为 米米.8010.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔次函数，小军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两
35、个秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后各自抛出后 1.1 秒时到达相同的最大离地高度，秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后第一个小球抛出后 t 秒时在空中与第二个小球秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则的离地高度相同，则 t=1.6第二章第二章 二次函数二次函数4 二次函数的应用二次函数的应用（第（第 2 课时）课时）1.求销售中的最大利润问题一般是运用求销售中的最大利润问题一般是运用“总利润总利润=总售总售价价-”或或“总利润总利润=销销售数量售数量”建立利润与价格之间的函数关系式建立利润与价格之间的函数
36、关系式.2.求实际问题中的最值问题时，一般分为三步：求实际问题中的最值问题时，一般分为三步：（1）利用应用题中的已知条件和学过的有关数学公式）利用应用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式列出关系式.（2）把关系式转化为把关系式转化为 的关系式的关系式.（3）求二次函数的最大值或最小值求二次函数的最大值或最小值.关键视点关键视点每件商品的利润每件商品的利润总成本总成本二次函数二次函数3.一个直角三角形的两条直角边长的和为一个直角三角形的两条直角边长的和为 20 cm，其中一直角边长为其中一直角边长为 x cm，面积为，面积为 y cm2，则，则 y 与与x 的函数的关系式是（）的函数的关
37、系式是（）A.y=20 x2 B.y=x（20-x）C.y=x（20-x）2 D.y=x（10-x）知识小测知识小测C4.已知某商店铺第已知某商店铺第 17 届仁川亚运会吉祥物毛届仁川亚运会吉祥物毛绒玩具每件的进价为绒玩具每件的进价为 30 元，在某段时间内若元，在某段时间内若以每件以每件 x 元（元（30 x50，且，且 x 为整数）出售，为整数）出售，可卖出（可卖出（50-x）件，若要使该店铺销售该玩具）件，若要使该店铺销售该玩具的利润最大，每件的售价为（）的利润最大，每件的售价为（）A.35 元元B.40 元元C.45 元元D.48 元元B【例【例 1】大学生小张摆摊销售一批小家电，进价
38、】大学生小张摆摊销售一批小家电，进价 40 元，元，经市场考察知，当销售进价为经市场考察知，当销售进价为 52 元时，可售出元时，可售出 180 个，个，且定价且定价 x（元）与销售减少量（元）与销售减少量 y（个）满足关系式：（个）满足关系式：y=10（x-52），问：），问：（1）若他打算获利）若他打算获利 2 000 元，且投资尽量少，则应进元，且投资尽量少，则应进货多少个？定价是多少？货多少个？定价是多少？（2）若他想获得最大利润，则定价及进货分别是多少？）若他想获得最大利润，则定价及进货分别是多少？知识点知识点 1 销售中的最大利润问题销售中的最大利润问题分析：（分析：（1）利用每个
39、小家电的利润销售的）利用每个小家电的利润销售的个数个数=总利润，列方程解答即可总利润，列方程解答即可.（2）设利润为）设利润为 w，利用（，利用（1）的数量关系列出）的数量关系列出函数，运用配方法解决问题函数，运用配方法解决问题.解：（解：（1）设定价为）设定价为 x 元，元，则进货则进货 180-10（x-52）=180-10 x+520=700-10 x，所以（所以（x-40）（）（700-10 x）=2 000，解得解得 x1=50，x2=60.因为投资尽量少，所以应进货因为投资尽量少，所以应进货 100 个，定价个，定价 60 元元.答：商店若准备获利答：商店若准备获利 2 000 元
40、，定价为元，定价为 60 元，应元，应进货进货 100 个个.（2）设利润为）设利润为 w 元，元，则则 w=（x-40）（）（700-10 x）=-10 x2+1 100 x-28 000=-10（x-55）2+2 250，因此当因此当 x=55 时，时，w最大最大=2 250.答：当定价为答：当定价为 55 元时，获得的利润最大，最大利元时，获得的利润最大，最大利润是润是 2 250 元元.类类 比比 精精 练练1.某服装店购进单价为某服装店购进单价为 15 元的童装若干件，销售元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为一段时间后发现：当销售价为 25 元时，平均每天元时，平均每天能售
41、出能售出 8 件，而当销售价每降低件，而当销售价每降低 2 元时，平均每元时，平均每天能多售出天能多售出 4 件，则当每件的定价为件，则当每件的定价为 元时，元时，该服装店平均每天的销售利润最大该服装店平均每天的销售利润最大.22分析：根据分析：根据“利润利润=（售价（售价-成本）销售成本）销售量量”列出每天的销售利润列出每天的销售利润 y（元）与销售单（元）与销售单价价 x（元）之间的函数关系式；把二次函数（元）之间的函数关系式；把二次函数的解析式转化为顶点式方程，利用二次函的解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答数图象的性质进行解答.解析：设定价为解析：设定价为 x 元元.
42、根据题意，得根据题意，得 y=（x-15）8+2（25-x）=-2x2+88x-870=-2（x-22）2+98.a=-20，抛物线开口向下，抛物线开口向下，当当 x=22 时，时，y最大最大=98.【例【例 2】某超市对进货价为】某超市对进货价为 10 元元/千克的某种苹果千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量的销售情况进行统计，发现每天销售量 y（千克）（千克）与销售价与销售价 x（元（元/千克）存在一次函数关系，如图千克）存在一次函数关系，如图.知识点知识点 2 二次函数与一次函数的综合运用二次函数与一次函数的综合运用（1）求）求 y 关于关于 x 的函数关系式（不要求写出的函
43、数关系式（不要求写出 x 的取值范围）的取值范围）.（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果每天）应怎样确定销售价，使该品种苹果每天的的销售利润最大？最大利润是多少？销售利润最大？最大利润是多少？分析：（分析：（1）由图象过点（）由图象过点（20，20）和（）和（30，0），利用待定系数法求直线的解析式），利用待定系数法求直线的解析式.（2）每天的利润）每天的利润=每千克的利润销售量每千克的利润销售量.据此列出表达式，运用函数性质解答据此列出表达式，运用函数性质解答.解：（解：（1）设）设 y=kx+b.由图象可知，由图象可知，解得解得 y=-2x+60.，0302020bkbk.602bk，（2
44、）p=（x-10）y=（x-10）（）（-2x+60）=-2x2+80 x-600.a=-20，p 有最大值，有最大值，当当 x=-=20 时，时，p最大最大=200.即当销售单价为即当销售单价为 20元元/千克时，每天可获得千克时，每天可获得最大利润最大利润 200元元.22802.某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线相等，如图中的折线 ABD，线段，线段 CD 分别表示该产分别表示该产品每千克生产成本品每千克生产成本 y1（单位：元），销售价（单位：元），销售价 y2（单（单位：元）与产量位：元）与产量 x（单位：（单位：k
45、g）之间的函数关系）之间的函数关系.（1）请解释图中点）请解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实的横坐标、纵坐标的实际意义际意义.（2）求线段）求线段 AB 所表示的所表示的 y1 与与 x 之间的函数表之间的函数表达式达式.（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？最大利润是多少？分析：（分析：（1）点）点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为产量为 130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为等，都为 42 元元.（2）根据线段）根据线段 AB 经过的两点
46、的坐标利用待定系数法经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可确定一次函数的表达式即可.（3）利用总利润）利用总利润=单位利润产量列出有关单位利润产量列出有关 x 的二次的二次函数，求得最值即可函数，求得最值即可.解：（解：（1）点）点 D 的横坐标、纵坐标的实际意的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为义：当产量为 130 kg 时，该产品每千克生产时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为成本与销售价相等，都为 42 元元.（2）设线段）设线段 AB 所表示的所表示的 y1 与与 x 之间的函数关系之间的函数关系式为式为 y=k1x+b1.y=k1x+b1的图象过点（的图象过点（0
47、，60）和（）和（90，42），），解得解得 这个一次函数的表达式为这个一次函数的表达式为 y=-0.2x+60（0 x90）.，429060111bkb.602.011bk，（3）设）设 y2 与与 x 之间的函数关系式为之间的函数关系式为 y=k2x+b2.经过点（经过点（0，120）和（）和（130，42），），解得解得 这个一次函数的表达式为这个一次函数的表达式为 y2=-0.6x+120（0 x130）.，42130120222bkb.1206.022bk，设当产量为设当产量为 x kg 时，获得的利润为时，获得的利润为 W 元元.当当 0 x90 时，时，W=x（-0.6x+120
48、）-（-0.2x+60）=-0.4（x-75）2+2 250，当当 x=75 时，时，W 的值最大，最大值为的值最大，最大值为 2 250.当当 90 x130 时，时，W=x（-0.6x+120）-42=-0.6（x-65）2+2 535.由由-0.665时，时，W 随随 x 的增大而减小，的增大而减小，当当 90 x130 时，时，W2 160，当当 x=90 时，时，W=-0.6（90-65）2+2 535=2 160.因此，当该产品的产量为因此，当该产品的产量为 75 kg 时，获得的利润时，获得的利润最大，最大值为最大，最大值为 2 250 元元.3.某产品的进货单价为某产品的进货单
49、价为 9 元，按元，按 10元一件售出元一件售出时，能售时，能售 100 件，如果这种商品每涨价件，如果这种商品每涨价 1 元，元，其销售量就减少其销售量就减少 10 件，设每件产品涨件，设每件产品涨 x 元，所元，所获的利润为获的利润为 y 元，可得函数关系式为（）元，可得函数关系式为（）A.y=-10 x2+110 x+10B.y=-10 x2+100 xC.y=-10 x2+100 x+110D.y=-10 x2+90 x+100D4.合肥市合肥市 2013 年的平均房价为年的平均房价为 6 500元元/m2.若若 2014年和年和 2015 年房价的平均增长率为年房价的平均增长率为 x
50、，则预计则预计 2015 年的平均房价年的平均房价 y（元（元/m2）与）与 x 之间的函数关系式为之间的函数关系式为 .y=6 500（1+x）25.天猫网某商铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是天猫网某商铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，经市场调查发现，该食品每天的销健脑的佳品，经市场调查发现，该食品每天的销售利润售利润 w（元）与销售价（元）与销售价 x（元（元/千克）有如下关千克）有如下关系：系：w=-ax2+bx-1 600，当销售价为，当销售价为 22 元元/千克时，千克时，每天的销售利润为每天的销售利润为 72 元，当销售价为元，当销售价为 26 元元/千千克时，每天的销售利润
