1、 高考一轮复习热点难点精讲精析：11.3随机变量及其分布一、离散型随机变量及其分布列（一）随机变量的概念相关链接1所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系。这与函数概念在本质上是相同的，不同的是函数的自变量是实数，而随机变量的自变量是试验结果。2如果随机变量可能取的值为有限个，则我们能够把其结果一一列举出来。3随机变量是随机试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件，在学习中，要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系。例题解析例写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。（1）一个口袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个
2、数为。（2）投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y。思路解析：（1）3个球中，可能有1个白球，也可能有两个，还可能没有。（2）投掷结果为，其中且。利用投掷结果确定X，Y。解答：（1）可取0，1，2。=0表示所取3个球中没有白球；=1表示所取3个球中有一个白球，2个黑球；=2表示所取3个球鞋中有2个白球，1个黑球。（1）X的可能取值2，3，4，5，12。Y的可能取值为1，2，3，6。若以表示先后投掷的两枚骰子出现的点数。则X=2表示（1，1），X=3表示（1，2），（2，1），X=4表示（1，3），（2，2），（3，1），X=12表示（6，6）；Y=1表示（1，1），Y=2表示（1
3、，2），（2，1），（2，2），Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），（6，6），（6，5），（6，1）。（二）离散型随机变量的分布列相关链接1分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示。在分布列的表格表示中，结构为2行n+1列，第1行表示随机变量的取植，第2行是对应的变量的概率。2求分布列分为以下几步：（1）明确随机变量的取值范围；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格。注：分布的求解应注意以下几点：（1）搞清随机变量每个取值对应的随机事件；（2）计算必须准确无误；（3）注意运用分布列的两条性质检验所求
4、的分布列是否正确。 例题解析 例一袋装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3球鞋，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列。思路解析：确定X的所有取值求出随机变量X对应的概率写出随机变量X的分布列。解答：随机变量X的取值为3，4，5，6，从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“X=3”包含的基本事件总数为，事件“X=4”包含的基本事件总数为；事件“X=5”包含的基本事件总数为；事件“X=6”包含的基本事件总数为；从而有随机变量X的分布列为：X3456P（三）离散型随机变量分布列的性质例设离散型随机变量X的分布列为X01234P02010103m求：（1）2
5、X+1的分布列；（2）|X-1|的分布列。思路解析：先由分布列的性质，求出m，由函数对应关系求出2X+1和|X-1|的值及概率。解答：由分布列的性质知：02+0.1+0.1+0.3+m=1,m=0.3.首先列表为:X012342X+113579|X-1|10123从而由上表得两个分布列为:（1）2X+1的分布列：（2）|X-1|的分布列：注：利用分布列的性质，可以求分布列中的参数值。对于随机变量的函数（仍是随机变量）的分布列，可以按分布的定义来求。（四）利用随机变量分布解决概率分布问题例某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放
6、回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核（1）求从甲、乙两组各抽取的人数； （I2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。 解析：（1）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。（2）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（3）的可能取值为0，1，2，3，分布列及期望略.二、二项分布及其应用（一）条件概率相关链接条件概率的求法（1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B|A）=P（AB）/P（A）。（2）借助古典概型概
7、率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)= n(AB)/ n(A).例题解析例1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问从2号箱取出红球的概率是多少?思路解析:本题可分为两种互斥的情况:一是从1号箱取出红球;二是1号箱取出白球.然后利用条件概率知识来解决.解答:记事件A:最后从2号箱中取出的是红球;事件B:从1号箱中取出的是红球.则P(B)=4/(2+4)=2/3,.P(A|B)=(3+1)/(8+1)=4/9.P(A|)=3/(8
8、+1)=1/3.从而P(A)=P(AB)+P(A)= P(A|B) P(B)+ P(A|)P()=4/92/3+=.(二)事件的相互独立性相关链接1.判断事件是否相互独立的方法(1)利用定义:事件A、B相互独立P(AB)=P(A)P(B).(2)利用性质:A与B相互独立,则A与,与B, 与也都相互独立.(3)具体背景下:有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.2.在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.已知两个事件A、B，它们的概率分别为P（A）、P（B
9、），则A、B中至少有一个发生的事件为AB；A、B都发生的事件为AB；A、B都不发生的事件为；A、B恰有一个发生的事件为AB；A、B中至多有一个发生的事件为AB。注:两事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.学习中要注意两者的区别,以免出现计算错误.例题解析例甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：（） 打满3局比赛还未停止的概
10、率；（）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.解析：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.（）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为（）的所有可能值为2，3，4，5，6，且 故有分布列23456P从而（局）.(三)二项分布相关链接1.二项分布满足条件(1)每次试验中,事件发生的概率是相同的.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生.(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.2.解决概率问题的步骤(1)记“事件”或设“事件”.(2)确定事件的性质.古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验.把所给
11、问题归结为四类事件中的某一种. (3)判断事件的运算是和事件还是积事件,即事件是至少有一个发生,还是同时发生,然后分别运用相加或相乘公式.(4)运用公式进行计算.(5)简明写出答案.例题解析例某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;(2)任选3名下岗人员,记为3人中参加过培训的人数,求的分布列.思路解析:(1)利用相互独立事件的概率
12、乘法公式;(2)应用二项分布求解.解答:(1)任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加计算机培训”为事件B，由题意知，A与B相互独立，且P（A）=0.6,P(B)=0.75.所以,该下岗人员没有参加过培训的概率为P()=P()P()=(1-0.6)(1.0.75)=0.1该人参加过培训的概率为1-0.1=0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的,所以3保参加过培训的人数服从二项分布,即B(3,0.9),P(=k)=的分布列为0123P0.0010.0270.2430.729(四)独立重复试验例甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分布是和。假设两人射击是否击中目标相互之间
13、没有影响，每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响。(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率;(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(3)假设某人连续2次未击中目标,则中止其射击.问:乙恰好射击5次后,补中止射击的概率是多少?思路解析:(1)至少一次未击中,包含情况多,可求其对立事件的概率;(2)甲恰好击中目标2次与乙恰好击中目标3次相互独立;(3)乙恰好射击5次被中止,相当于前2次射击至少有一次击中,第3次击中,第4次、第5次未击中.解答:(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件.由题意,射击4次相当于作4次独立重复试验.故P()=1-P
14、()=1-()4=,所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为(2)记“甲射击4次，恰有2次击目标”为事件， “乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件，则由于甲、乙射击相互独立，故。所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为。（3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件，“乙第次射击未击中”为事件则由于各事件相互独立，故所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为。注：（1）独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。（2）在n次独立重复试
15、验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）=在利用该公式时一定要审清公式中的n,k各是多少。三、离散型随机变量的均值与方差的计算（一）离散型随机变量均值与方差的计算相关链接求离散型随机变量均值与方差的方法：（1）理解的意义，写出可能取的全部值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列；（4）由均值的定义求E；（5）由方差的定义求D。注：（1）随机变量的均值等于该随机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘积的和。（2）均值（数学期望）是随机变量的一个重复特征数，它反映或刻画的是随机变量值的平均水平，均值（数学期望）是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均。（3）EX是一个实数，即X作为随机
16、变量是可变的，而EX是不变的。例题解析例甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.（）求随机变量分布列和数学期望；()用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).解答：()解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3,且所以的分布列为0123P的数学期望为E=解法二：根据题设可知因此的分布列为（）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件
17、，所以AB=CD,且C、D互斥，又由互斥事件的概率公式得解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事P(AB)=P(A3B0A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).=注：求离散型随机变量分布列时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率。求随机变量的分布列，关键是概率类型的确定与转化，如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等。（二）均值与方差的实际应用相关链接1DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度，DX越大表明平均偏离
18、程度越大，说明X的取值越分散；反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近，统计中常用来描述X的分散程度。2随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定。例题解析例现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整。记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每
19、投资十万元，X取0、1、2时。随机变量，分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润。（1）求，的概率分布列和均值，；（2）当时，求p的取值范围。思路解析：（1）求分布列，应先确定的取值，再求的取值对应的概率；（2）由，找出关于p的不等式，即可求出p的范围。解答：（1）方法一：的概率分布列为12118117P=12+118+117=118。由题设得XB（2，p），即X的概率分布列为X012p(1-p)22p(1-p)P2故的概率分布列为1312502P(1-p)22p(1-p)P2所以的均值列为=13(1-p)2+1252p(1-p)+ 02P2=- P2-0.1p+1.3方法二: 的概率分
20、布列为12118117P=12+118+117=118。设表示事件“第次调整，价格下降”（=1，2），则P(X=0)=P()P()=(1-p)2,P(X=1)=P()P()+P()P()=2p(1-p),P(X=2)=P()P()=P2.故的概率分布列为1312502P(1-p)22p(1-p)P2所以的均值列为=13(1-p)2+1252p(1-p)+ 02P2=- P2-0.1p+1.3(2)由,得- P2-0.1p+1.31.18,整理得(p+0.4)(p-0.3) 0,解得-0.4p0.3.因为0p1,所以当时,p的取值范围是0p0.3.(三)均值与方差性质的应用例设随机变量具有分布P
21、(=k)=,k=1,2,3,4,5,求E(+2)2,D(2-1),(-1).思路解析:利用性质,.解答:注: 是随机变量,则一般是随机变量,在求的均值和方差时,熟练应用均值和方差的性质,可以避免再求的分布列带来的繁琐运算.四、正态分布（一）正态分布下的概率计算相关链接关于正态总体在某个区间内取值的概率求法（1）熟记的值。（2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1。注：在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是，而不是。例题解析例设XN（5，1），求P（6X7）。思路解析：根据，求P（4X6）根据，求P（3X7）根据正态曲线对称性，求P（6X7）解答：由已知P（4X6）=0.6
22、826, P（3X7）=0.9544.P（3X7）+ P（6X7）=0.9544-0.6826=0.2718.如图, 由正态曲线的对称性可得P（3X4）= P（6X7）P（6X7）=（二）正态曲线的性质相关链接正态曲线指的是一个函数的图象，其函数解析式是。正态曲线的性质告诉我们：（1）该函数的值域为正实数集的子集；（2）该函数的图象关于直线对称，且以为渐近线；（3）该函数在时取得最大值；（4）解析式中前面有一个系数，后面是一个以为底数的指数函数的形式，幂指数为，其中这个参数在解析式中的两个位置上出现，注意两者的一致性。例题解析例如图是一个正态曲线。试根据该图象写出其正态曲线函数解析式，求出总体
23、随机变量的期望和方差。思路解析：给出一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式。解答：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是，所以。，解得。于是正态分布密度函数的解析式是：总体随机变量的期望是，方差是。（三）正态分布的应用例设在一次数学考试中，某班学生的分数服从，且知满分150分，这个班的学生共54人。求这个班在这次数学考试中及格（不小于90分）的人数和130分以上的人数。思路解析：要求及格的人数，即求出P（90X150），而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解。解答：因为，所以所以，的概率为所以，的概率为0.6826+0.1587=0.8413.所以及格的人数为540.841345(人),130分以上的人数为540.15879(人).注:正态分布的特点可结合图象记忆,并可根据和的不同取值得到不同的图象,特别地,当时,图象关于轴对称.14
