1、专题专题 2525全等三角形的存在性全等三角形的存在性 破解策略破解策略 全等三角形的存在性问题的解题策略有: (1)当有一个三角形固定时(三角形中所有边角为定值),另一个三角形会与这个固 定的三角形有一个元素相等;再根据全等三角形的判定,利用三角函数的知识(画图)或 列方程来求解 (2)当两个三角形都不固定时(三角形中有角或边为变量),若条件中有一条边对应 相等时,就要使夹这条边的两个角对应相等,或其余两条边对应相等;若条件中有一个角 对应相等时,就要使夹这个角的两边对应相等,或再找一个角和一条边对应相等 例题讲解例题讲解 例例 1 1 如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bx4 与x轴
2、的一个交点为A( 2,0),与y轴的交点为C,对称轴是x3,对称轴与x轴交于点 B (1)求抛物线的表达式; (2)若点D在x轴上,在抛物线上是否存在点P,使得PBDPBC?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由 (3)若点M在y轴的正半轴上,连结MA,过点M作MA的垂线,交抛物线的对称轴于点 N问 : 是否存在点M,使以点M、A、N为顶点的三角形与BAN全等?若存在,求出点M的 坐标;若不存在,请说明理由 解:(1)由题意可列方程组 , 解得 , 4240 3 2 ab b a 1 4 3 2 a b 所以抛物线的表达式为 2 13 4 42 yxx (2)显然OA2, OB3, OC
3、4 所以 22 5BCOBOCBA 若P BDPBC,则BD BC5,PDPC 所以D为抛物线与x轴的左交点或右交点,点B,P在CD的垂直平分线上, 若点D为抛物线与 x轴的左交点,即与点A重合 如图 1,取AC的中点E,作直线BE交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2y2)两点 此时P1BCP1BD,P2BCP2 BD 由A、C两点的坐标可得点E的坐标为(1,2) 所以直线BE的表达式为 13 22 yx 联立方程组,解得, 2 13 22 13 4 42 yx yxx 1 1 426 126 2 x y 2 2 426 126 2 x y 所以点P1,P2的坐标分别为(4 一,)(4,)
4、 26 126 2 26 126 2 若D为抛物线与x轴的右交点,则点D的坐标为(8,0) 如图 2,取CD的中点F作直线BF交抛物线于P3(x3,y3),P4(x4,y4)两点 此时P3BCP3BD,P4BCP4 BD 由C、D两点的坐标可得点F的坐标为(4,2), 所以直线BF的表达式为y2x6 联立方程组,解得, 2 26 13 4 42 yx yxx 3 3 141 82 41 x y 4 4 141 82 41 x y 所以点P3,P4的坐标分别为 (1, 82) , ( 1, 82) , 41414141 综上可得,满足题意的点P的坐标为(4 一,) ,(4,) , 26 126
5、2 26 126 2 (1,82)或(1,82) 41414141 (3)由题意可设点M(0,m),N(3,n),且m0, 则AM24m2,MN29(mn)2,BN2n2 而AMNABN900, 所以AMN与ABN全等有两种可能: 当AMAB,MNBN时, 可列方程组,解得;(舍), 2 22 425 9() m mnn 1 1 21 5 21 7 m n 2 2 21 5 21 7 m n 所以此时点M的坐标为(0,) 21 当AMNB,MNBA时,可列方程组: 22 2 4 9()25 mn mn 解得,(舍) 1 1 3 2 5 2 m n 2 2 3 2 5 2 m n 所以此时点M的
6、坐标为(0,) 3 2 综上可得,满足题意的点M的坐标为(0,)或(0,) 21 3 2 例例 2 2 如图,在平面直角坐标系xoy中,ABO为等腰直角三角形,ABO 900,点A的坐 标为(40) ,点B在第一象限若点D在线段BO上,OD 2DB,点E,F在OAB的边上, 且满足DOF与DEF全等,求点E的坐标 图 1 图 2 解: 由题意可得OA4,从而OBAB所以ODOB,BDOB 2 2 2 3 4 2 3 1 3 2 2 3 当点F在OA上时, ()若DFODFE,点E在OA上如图 1 此时DFOA,所以OFOD,所以OE2OF,即点E的坐标为(,0) 2 2 4 3 8 3 8 3
7、 ()若DFODFE,点F在AB上,如图 2 此时EDOD2BD,所以 sinBED;所以BED300, BD ED 1 2 从而BEBD,AE 3 2 6 3 6 22 6 3 过点E作EGOA于点G则EGAGAE, 2 2 2 3 2 3 所以OG,即点E的坐标为(,) 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 图 3 图 4 ()若DFOFDE,点E在AB上,如图 3 此时DEOA,所以BDBE 从而AEOD, 4 2 3 过点E作EGOA于点G, 则EGAGAE, 2 2 4 3 所以OG,即点E的坐标为(,) 8 3 8 3 4 3 当点F在AB上时,只能有ODF AFD,如图
8、 4 此时DF0A且点E与点A重合, 即点E的坐标为(4,0) 综上可得,端足条件的点E的坐标为(,0), 8 3 (,),(,)或(4,0) 2 3 2 3 2 3 2 3 8 3 4 3 进阶训练进阶训练 1如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线与y轴变于点 C 2 1 38 2 yxx=- 直线l;与抛物线的对称轴交于点E连结CE,探究;抛物线上是否存在一点F, 4 3 yx=- 使得FOEFCE若存在,请写出点F坐标;若不存在,请说明理由 y x l E C O 答案: 存在点F的坐标为(,4)或(,4) 317-317+ 2 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1过点A(1,0
9、)且与y轴平行直线l2过 点B(0, 2) 且与x轴平行, 直线l1与l2相交于点PE为直线l2上一点, 反比例函数(k k y x = 0)的图象过点E且与直线l1相交干点F (1)若点E与点P重合,求k的值; (2)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M,E,F为顶点的三角形与PEF全等? 若存在,求点E的坐标:若不存在,请说明理由 F E A l2 B y x l1 P O 图 图 图 A l2 B y x l1 P O 答案: (1)k2 (2)存在点E的坐标为(,2)或(,2) 3 8 8 3 【提示】 (2) 易得点E(, 2) ,F(1,k) 如图 1, 当k2 时, 只能有ME
10、FPEF 过 3 k 点F作FHy轴于点H,易证BMEHFM,用k表示相关线段的长度,从而得到BM, 1 2 再解 RtBME,得k,所以点E的坐标为(,2);如图 2,当k2 时,只能有 3 4 3 8 MEFPFE 过点F作FQy轴于点Q,同可得点E的坐标为(,2) 8 3 图 1 H F M P l2 E y x l1 B O 图 2 M Q F A P l2 E y x l1 B O 3如图,抛物线经过A(,0),B(,0),C(0,3)三 2 yaxbxc=+3-3 3 点,线段BC与抛物线的对称轴交干D,该抛物线的顶点为P,连结PA,AD线段AD与y轴 相交于点E (1)求该抛物线
11、的表达式; (2) 在平面直角坐标系中是否存在一点Q 使以Q,C,D为顶点的三角形与ADP全等? 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由 B D A y x P C O 答案: (1)抛物线的表达式为 2 12 3 3 33 yxx=-+ (2)存在点Q的坐标为(,4),(,2),(,1)或(0,7) 3 332 3- 【提示】(2)方法一:易求直线BC:,从而点D的坐标为(,2),可 3 3 3 yx=-+3 得CDPD,所以QCD与ADP全等有两种情况设点Q坐标,通过两点间距离公式列出 QC,QD,AP,AD的长再分类讨论列方程组,从而求得点Q点坐标 方法二:连接CP,易证CDP为等边三角形,ADC60,所以PDA120 QCD与ADP全等有两种情况,如图 1,DCQ120,CQDA4,此时点Q1的坐标为 (0,7),点Q2的坐标为(,1); 2 3- 如图 2, CDQ120,DQDA4, 此时点Q3的坐标为 (, 2) , 点Q4的坐标为 (33 3 ,4) 图 1 Q2 Q1 D A y x P C O 图 2 Q4 Q3 D A y x P C O