1、 数学必须掌握知识点集锦-2019 中考数学超长发挥提分必备 目录 第一章 有理数 . 1 第二章 实数 . 3 第三章 整式 . 6 第四章 分式 . 8 第五章 二次根式 . 9 第六章 一次方程(组) 10 第七章 分式方程 11 第八章 一元二次方程 12 第九章 不等式(组) 13 第十章 函数及其图象 14 第十一章 一次函数 15 第十二章 二次函数 17 第十三章 反比例函数 20 第十四章 图形初步认识 21 第十五章 命题、定理与证明 22 第十六章 相交线与平行线 23 第十七章 图形的变换 24 第十八章 投影与视图 26 第十九章 三角形 27 第二十章 全等三角形
2、30 第二十一章 图形的相似 31 第二十二章 锐角三角函数 35 第二十三章 平行四边形 38 第二十四章 圆 40 第二十五章 数据的收集、整理、描述与分析. 42 第二十六章 概率初步 43 第一章第一章 有理数有理数 1、有理数的基本概念、有理数的基本概念 (1)(1)正正数和负数数和负数 定义定义：大于 0 的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。 0 既不是正数，也不是负数。 (2)有理数有理数 正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。 2、数轴、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 3、相反数、相反数 代数定义代数
3、定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a 和-a 互为相反数。0 的相反数是 0。 a =-a 所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。 4、绝对值、绝对值 定义定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 即：如果 a 0，那么|a|=a； 如果 a =0，那么|a|=0； 如果 a 0 时，顶点是最低点，此时 y 有最小值；a0 x0(h 或 a b 2
4、 )时， y 随 x 的增大而增大。 即在对称轴的左边，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大。 a0 k0 图 象 所在象限 一、三(x，y 同号) 二、四(x，y 异号) 性 质 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 3、反比例函数的、反比例函数的 k 的几何意义的几何意义 由 yk x(k0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| . 如图和，S矩形PAOBPA PB|y| |x|xy|k|； 同理可得 SOPASOPB1 2|xy| 1 2|k|. 第十四章第十四章 图形初步认识图形
5、初步认识 1 1、直线、射线、线段、直线、射线、线段 (1)直线：直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。 (2)相交线：相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交 点。 (3)两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 (4)线段的中点：线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。 (5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量； 射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量； 线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。 2 2、角、角 (
6、1)定义：定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条 边。 (2)角的度量角的度量 1=60 1=60 (、分别是：度、分、秒) (3)角的分类角的分类 锐角(0 90) 直角( = 90) 钝角(90 180) 平角( =180) 周角( =360) (4)角的平分线：角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 (5)角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 (6)余角与补角余角与补角 余角：余角：一般地，如果两个角的和等于 9
7、0(直角)，就说这两个角互为余角。 补角：补角：如果两个角的和等于 180(平角)，就说这两个角互为补角。 性质：性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。 第十五章第十五章 命题、定理与证明命题、定理与证明 1、命题与定理、命题与定理 定义定义 1：判断一件事情的语句，叫做命题。 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可 以写成“如果，那么”的形式。 “如果”后接的部分是题设， “那么”后接的部分是结论。 定义定义 2：如果题设成立，那么结论一定成立， 这样的命题叫做真命题。 定义定义 3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命
8、题叫做假命题。 定义定义 4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。 定义定义 5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。其中一个叫做原命 题，另外一个叫做逆命题。 如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。 2、证明、证明 一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。 3、证明的一般步骤、证明的一般步骤 （1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 第十六章第十六章 相交线与平行线相交线与平行
9、线 1、邻补角与对顶角、邻补角与对顶角 邻补角：邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。 对顶角：对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 注：对顶角相等。 如：1 和2 互为邻补角，2 和3 互为对顶角。 2、垂线、垂线 (1)定义：定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说 这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)性质：性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 (3)点到直线的距离：
10、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 3、同位角、内错角、同旁内角、同位角、内错角、同旁内角 如图，1 和4 是同位角，3 和4 是内错角，2 和4 是同旁内角。 4、平行线、平行线 (1)定义：定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。 (2)平行公理平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (3)平行线的性质平行线的性质 两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 两条平行线被第三条直线
11、所截，同旁内角互补。 (4)平行线的判定平行线的判定 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； 4 1 3 2 1 3 2 O 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 第十七章第十七章 图形的变换图形的变换 1、平移、平移 (1)定义：定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。 (2)平移的性质：平移的性质： 平移后的图形与原图形全等； 对应角相等； 对应点所连的线段平行(或在同一
12、条直线上) 且相等。 (3)坐标的平移：坐标的平移：点（x，y）向右平移 a 个单位长度后的坐标变为（x+a，y） ； 点（x，y）向左平移 a 个单位长度后的坐标变为（x-a，y） ； 点（x，y）向上平移 a 个单位长度后的坐标变为（x，y+a） ； 点（x，y）向下平移 a 个单位长度后的坐标变为（x，y-a） 。 2、轴对称、轴对称 (1)轴对称：轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 (2)轴对称图形：轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
13、能够互相重合，这个图形叫做轴 对称图形。这条直线叫做它的对称轴。 (3)轴对称的性质：轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形 的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 (4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。 (5)坐标与轴对称：坐标与轴对称：点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标是（x，-y） ； 点（x，y）
14、关于 y 轴对称的点的坐标是（-x， y） ； 3、旋转、旋转 (1)旋转旋转 定义：定义：把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转。点 O 叫做旋转中心，转 动的角叫做旋转角。如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 旋转的性质：旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 旋转前后的图形全等。 (2)中心对称中心对称 定义：定义：把一个图形绕着某一点旋转 180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这 个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于
15、对称中心的对 称点。 中心对称的性质：中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 中心对称的两个图形是全等图形。 (3)中心对称图形中心对称图形 定义：定义：如果一个图形绕一个点旋转 180 后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫 做它的对称中心。 (4)(4)关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x，y)关于原点 O 的对称点为 P(-x，-y)。 第十八第十八章章 投影与视图投影与视图 1、投影、投影 (1)投影：投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投
16、影。 (2)平行投影：平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。 (3)中心投影：中心投影：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。 (4)正投影：正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 2、视图、视图 (1)视图：视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。 视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影。 (2)主视图、俯视图、左视图主视图、俯视图、左视图 对一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图； 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫 做左视图。 主视图与
17、俯视图的长对正；主视图与左视图的高平齐；左视图与俯视图的宽相等。 第十九章第十九章 三角形三角形 1 1、三角形的基本概念、三角形的基本概念 (1)(1)三角形的概念三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 (2)(2)三角形三角形的分类的分类 按边之间的关系分：按边之间的关系分： 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形； 有两边相等的三角形叫做等腰三角形； 三边都相等的三角形叫做等边三角形。 按角分按角分类：类： 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形； 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形； 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 (3)(3)三角形的三边
18、之间的关系三角形的三边之间的关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 三角形三边关系定理及推论的作用： 判断三条已知线段能否组成三角形 当已知两边时，可确定第三边的范围。 证明线段不等关系。 (4)(4) 三角形的高、中线、角平分线三角形的高、中线、角平分线 角平分线：角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形 的角平分线。 中线：中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 高线：高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形 的高） 。 (5)(5) 三角形的稳
19、定性三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应 用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 (6)(6)三角形的角三角形的角 三角形的内角和等于 180。 推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。 三角形的外角三角形的外角 定义：定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 内外角的关系：内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角。 三角形的外角和等于 360。 (7)(7)三角形的面积三角形的面积 三角形的面积= 2 1 底
20、 高 2 2、特殊三角形、特殊三角形 (1)(1)等腰三角形等腰三角形 1、等腰三角形的性质、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论 1： 等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。 即等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、 底边上的高重合。 推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60 。 （2）等腰三角形的其他性质： 等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角） ，但顶角可为钝角（或直角） 。 等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则 2 b
21、BC） ，并且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC= 2 15 AB0.618AB 4、平行线分线段成比例定理、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论： （1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例。 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平 行于三角形的第三边。 （2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 5 5、相似多边形、相似多边形 定义定义
22、 1 1：形状相同的图形叫做相似图形。 定义定义 2 2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边 形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 6 6、相似三角形的判定、相似三角形的判定 定义：定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。 定理：定理：平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。 判定判定 1 1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 判定判定
23、2 2：三边成比例的两个三角形相似。 判定判定 3 3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 判定判定 4 4：两角分别相等的两个三角形相似。 7 7、相似三角形的性质、相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例； 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； 相似三角形对应线段的比等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 8 8、相似三角形模型相似三角形模型 模型一：模型一：A A、8 8 模型模型 已知：12 ，结论ADEABC 模型二：共边共角型模型二：共边共角型 已知：12 结论：ACDABC 模型三：一线三
24、角型模型三：一线三角型 模型四：相似与旋转模型四：相似与旋转 模型五：垂直相似模型五：垂直相似 如图，在 Rt 三角形 ABC 中，C=90 ，CD 为斜边 AB 上的高 结论： 9、位似图形、位似图形 定义：定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形， 这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。 性质：性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。 由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。 2 2 2 ACDBCDABC ACAD AB BCBD AB CDAD BD
25、 g g g 第二十二章第二十二章 锐角三角函数锐角三角函数 1 1、锐角三角函数锐角三角函数 1.在直角三角形中，一个锐角的对边对边与斜边斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角 A 的正弦记作_sinA_. 2.在直角三角形中，一个锐角的邻边邻边与斜边斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角 A 的余弦记作_cosA_ . 3.在直角三角形中，一个锐角的对边对边与邻边邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角 A 的正切记作_tanA_. 正弦： c aA A 斜边 的对边 sin 余弦： c bA A 斜边 的邻边 cos； 正切： b a A A A 的邻边 的对边 tan。 常见三角函数值： 锐角 三角函数
26、30 45 60 sin 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tan 3 3 1 3 2 2、解直角三角形、解直角三角形 解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共 5 个元素(三边、 两锐角)，若知道其中 2 个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余 3 个未知元素。 在 Rt ABC 中，C=90 ，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c （1）三边之间的关系： 222 cba（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A+B=90 （3）边角之间的关系： 邻边 斜边 对边 a b c C B A sin,cos,tan;sin,cos,tan
27、 ababab AAABBB ccbcca 3解直角三角形的类型解直角三角形的类型 已知条件已知条件 解解 法法 两直角边两直角边 ( (如如a a，b b) ) 由由 tan Aa b， 求 ， 求A； B90 A；c a2b2 斜边、 一直斜边、 一直 角 边角 边 ( ( 如如 c c，a a) ) 由由 sin Aa c， 求 ， 求A； B90 A；b c2a2 一锐角与一锐角与 邻 边邻 边 ( 如如 A，b) B90 A；ab tan A； c b cos A 一锐角与一锐角与 对 边对 边 ( 如如 A，a) B90 A；b a tan A； ； c a sin A 斜边与一斜
28、边与一 锐角锐角(如如 c， A) B90 A；ac sin A； bc cos A 4、锐角三角函数的实际应用、锐角三角函数的实际应用 1日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较 大的作用，在应用时要注意以下几个环节： (1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的 已知条件，画出它的平面图或截面示意图 (2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等 (3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分 割成一些直角三角形或矩形，把实
29、际问题转化为直角三角形进行 解决 (4)确定合适的边角关系，细心推理计算 (5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况 5 5、锐角三角函数实际应用中的相关概念、锐角三角函数实际应用中的相关概念 (1)仰角、俯角仰角、俯角 如图，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做 俯角 (2)坡度坡度(坡比坡比)、坡角、坡角 如图，坡面的高度 h 和水平距离 l 的比叫坡度(或坡比)，即 itan h l，坡面与水平面的夹角 叫坡 角 (3)方向角方向角 指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于 90 的水平角，叫做方向角如图 ，O
30、A 是表示北偏东 60 方向的一条射线 注意：东北方向指北偏东 45 方向，东南方向指南偏东 45 方向，西北方向指北偏西 45 方向，西南方向指南偏西 45 方向我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。 (4)方位角方位角 从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角. 6、三角函数常见模型三角函数常见模型 图图 1 图图 2 如图 1 是基本图形，若 B、C、D 在同一直线上，且ABC 等于 90 ，ACB=，ADB=，CD=a， AB=x，则有x=BD tan，x=CB tan， tantan xx a ， 11 tantan a x 变式为图 2，则结论为 11 tanta
31、n a x 第二十三章第二十三章 平行四边形平行四边形 1 1、四边形、四边形 定义定义 1 1：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 按照组成多边形的线段的条数可以分为：三角形、四边形、五边形、六边形、 。三角形是最简单的 图形。 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫做 n 边形。 定义定义 2 2：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形 的外角。 定义定义 3 3：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 定义定义 4 4：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 n 边形内角和等于(n-
32、2)180，对角线条数为 2 )3( nn 。 多边形的外角和等于 360。 2 2、平、平行四边形行四边形 (1)(1)定义定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“ABCD”表示，如平行四边形 ABCD 记作“ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”。 (2)(2)平行四边形的性质平行四边形的性质 平行四边形的对边平行且相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对角线互相平分。 (3)(3) 平行四边形的判定平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是
33、平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4 4）两条平行线的距两条平行线的距离离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 平行线间的距离处处相等。 （5）平行四边形的面积平行四边形的面积 S平行四边形=底 高 (6)(6)中位线中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 3 3、矩形、矩形 (1)(1)定义定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 (2)(2)矩形的性质矩形的性质 矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等
34、。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 (3)(3)矩形的判定矩形的判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形。 4 4、菱形、菱形 (1)(1)定义定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 (2)(2)菱形的性质菱形的性质 菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。 (3)(3)菱形的判定菱形的判定 一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边相等的四边形是菱形。 （4）菱形的面积菱形的面积 S菱形=底边长 高=两条对角
35、线乘积的一半 5 5、正方形、正方形 正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。 第二十四章第二十四章 圆圆 1、圆、圆 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定 的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径，以点 O 为圆心的圆，记作O，读作“圆 O” 。 连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧 都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。 能够重合的两个圆叫做等圆。 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。
36、 2、垂径定理垂径定理 垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧 3、弧、弦、圆心角之间的关系、弧、弦、圆心角之间的关系 定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 注：注：在同圆或等圆同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧、两个弦的弦心距中，有一组量相等
37、，那么 其余各组量也分别相等 4 4、圆周角、圆周角 定义：定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。 圆周角定理：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论推论 1 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论推论 2 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 5 5、点和圆的位置关系、点和圆的位置关系 设O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 OP=d，则有： 点 P 在圆外dr ； 点 P 在圆上d=r ； 点 P 在圆内dr 。 性质：性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 定义：定义：
38、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三 条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 6、直线和圆的位置关系、直线和圆的位置关系 直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。 直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。 直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。 设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离 d，则有： 直线 l 和O 相交dr ； 直线 l 和O 相切d=r ； 直线 l 和O 相离dr 。 切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条
39、半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线长定理：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三 角形的内心。 7、正多边形和圆、正多边形和圆 定义：定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多 边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 8
40、、弧长和扇形面积、弧长和扇形面积 n的圆心角所对的弧长 l 为： 180 Rn l 。 圆心角为 n的扇形面积 S 为： 360 2 Rn S 扇形 ；lRS 2 1 扇形 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 l，高为 h 的圆锥的侧面积为Rl ，全面积为 2 RRl，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 222 lhR 圆锥与侧面展开图的等量关系：圆锥与侧面展开图的等量关系： 180 2 , 360 2 ln R ln Rl ，360 l r n 第二十五章第二十五章 数据的收集、整理、描述与分析数据的收集、整理、描述与分析 1 1、全面调查与抽样调查、全面调查与抽样调查 全面调
41、查：全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查。 抽样调查：抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种调查方法叫做 抽样调查。 2 2、总体、个体及样本、总体、个体及样本 总体是要考察的全体对象。其中每一个考察对象叫做个体。 当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，这部分个体叫做总体的样本。样本中个体 的数目叫做样本容量。 3 3、常见统计图表、常见统计图表 直方图、扇形图、条形图、折线图。 4 4、平均数、平均数 平均数：平均数：)( 1 21n xxx n x 加权平均数：加权平均数： n nn kkk kxkxkx x 21 2211 （ 1
42、x、 2 x n x的权分别是 1 k、 2 k n k） 新数据新数据的平均数的平均数：当所给数据都在某一常数 a 的上下波动时，一般选用简化公式：axx 。 其中，常数 a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，axx 11 ，axx 22 ，axx nn 。 )( 1 21n xxx n x是新数据的平均数（通常把, 21n xxx叫做原数据，, 21n xxx叫做新 数据） 。 5 5、众数与中位数、众数与中位数 众数：众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 中位数：中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位 置的数为这
43、组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。 6 6、方差、方差 方差：方差：)()()( 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 第二十六章第二十六章 概率初步概率初步 1 1、随机事件、随机事件 必然事件：必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件。 不可能事件：不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件。 必然事件和不可能事件统称确定性事件。 随机事件：随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。 2 2、概率、概率 (1)(1)概率的性质
44、：P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；0P(不确定事件)1。 (2)(2)一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包括其中 的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率 n m AP)(。 3、列表法、列表法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 列表法的应用场合列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果， 通常采用列表法。 4、树状图法求概率、树状图法求概率 通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 运用树状图法求概率的条件运用
45、树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果， 通常采用树状图法求概率。 5、利用频率估计概率、利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这 个事件发生的概率。 在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为 模拟实验。 6、随机数随机数 在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称 为随机数。 第二十七章第二十七章 尺规作图尺规作图 1、尺规作图的要求、尺规作图的要求 只用不带刻度
46、的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法尺规作图不一定要写作 图步骤，但必须保留作图痕迹. 2、五种基本尺规作图、五种基本尺规作图 作一条线段等 于已知线段 步骤： 1.作射线 OP； 2.在 OP 上截取 OA=a，OA 即为所求线段 作角的平分线 步骤： 1.以点 O 为圆心，任意长为半径画弧， 分别交 OA、OB 于点 N、M； 2.分别以点 M、N 为圆心，大于 2 1 MN 的长为半径作弧， 相交于点 P； 3.画射线 OP,OP 即为所求角平分线 作线段的垂直 平分线 步骤： 1.分别以点 A、B 为圆心，以大于 2 1 AB 的长为半径，在 AB 两侧 作弧； 2.连接
47、两弧交点所成直线即为所求线段的垂直平分线 作一个角等于 已知角 步骤： 1.在 上以点 O 为圆心、以适当的长为半径作弧， 交 的两边于点 P、Q； 2.作射线 OA； 3.以 O为圆心、OP 长为半径作弧，交 OA 于点 M； 4.以点 M 为圆心，PQ 长为半径作弧，交前弧于点 N； 5.过点 N 作射线 OB，BOA 即为所求角 过一点作已知 直线的垂线 步骤： 1.在直线另一侧取点 M； 2.以 P 为圆心，以 PM 为半径画弧,交直线于 A、B 两点； 3.分别以 A、B 为圆心，以大于 12AB 长为半径画弧，交 M 同侧于 点 N；4. 连接 PN,则直线 PN 即为所求垂线 步骤： 1.以点 O 为圆心，任意长为半径向点 O 两侧作弧， 交直线于 A、B 两点； 2.分别以点 A、B 为圆心，以大于 2 1 AB 长为半径向直线 两侧作弧，交点分别为 M、N； 3.连接 MN，MN 即为所求垂线
