1、 1989 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案 考生注意：这份试题共三道大题（24 个小题） ，满分 120 分. 一 选择题 （本题满分 考生注意：这份试题共三道大题（24 个小题） ，满分 120 分. 一 选择题 （本题满分 36 分， 共分， 共 12 个小题， 每小题都给出代号为个小题， 每小题都给出代号为 A， B，C，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确 结论的代号写在题后的圆括号内 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确 结论的代号写在题后的圆括号内 奎屯 王新敞 新疆每一个小题选对得每一个小题选对得 3 分，不选或选 错一律得 分，
2、不选或选 错一律得 0 分分 奎屯 王新敞 新疆） ） 1如果 I=a,b,c,d,e,M=a,c,d,N=b,d,e,其中 I 是全集，那么 NM等于 （ A ） （A） （B）d （C）a,c （D）b,e 2与函数 y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ） （A） 2 xy = （B） x x y 2 = （C）. 1a, 0a.ay x a log =其中 （D）. 1a, 0a.alogy x a =其中 3如果圆锥的底面半径为2，高为 2，那么它的侧面积是（ C ） （A）34 （B）22 （C）32 （D）24 4已知a n 是等比数列，如果, 6aa,12aa 3221 =+
3、=+且 n n n21n Slim,aaaS +=那么的值等于 （ B ） （A）8 （B）16 （C）32 （D）48 5如果,xaxaxaa)x21 ( 7 7 2 210 7 +=那么 721 aaa+的值等于 （ A ） （A）-2 （B）-1 （C）0 （D）2 6如果 2 sin,3 2 5 , 5 1 |cos| =那么的值等于 （ C ） （A） 5 10 （B） 5 10 （C） 5 15 （D） 5 15 7直线 2x+3y-6=0 关于点（1，-1）对称的直线是 （ D ） （A）3x-2y+2=0 (B)2x+3y+7=0 (C)3x-2y-12=0 (D)2x+3y+
4、8=0 8已知球的两个平行截面的面积分别为 5和 8，它们位于球心的 同一侧，且相距为 1，那么这个球的半径是 （ B ） （A）4 （B）3 （C）2 （D）5 9由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中偶数共 有 （ B ） （A）60 个 （B）48 个 （C）36 个 （D）24 个 10如果双曲线1 36 y 64 x 22 =上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么 点 P 到它的右准线的距离是 （ D ） （A）10 （B） 7 732 （C）72 （D） 5 32 11如果xsinxcos)x(f, 4 |x| 2 += 那么函数最小值是 （ D ） （A）
5、 2 12 （B） 2 21+ （C）-1 （D） 2 21 12已知,xx28)x(f 2 +=如果),x2(f)x(g 2 =那么)x(g （ C ） （A）在区间（-2，0）上是增函数 （B）在区间（0，2）上是增函数 （C）在区间（-1，0）上是减函数 （D）在区间（0，1）上是减函数 二填空题（本题满分二填空题（本题满分 2424 分，共分，共 6 6 个小题，每一个小题满分个小题，每一个小题满分 4 4 分分 奎屯 王新敞 新疆只 只 要求直接写出结果要求直接写出结果. .） 13给定三点 A（1，0） ，B（-1，0） ，C（1，2） ，那么通过点 A 并且 与直线 BC 垂直的
6、直线方程_ 答案：x+y-1=0 14不等式4|x3x| 2 的解集是_ 答案：4x, 1x|x或 15函数 1e 1e y x x + =的反函数的定义域是_ 答案： （-1，1） 16已知 A 和 B 是两个命题，如果 A 是 B 的充分条件，那么 B 是 A 的 _条件;BA是的_条件 奎屯 王新敞 新疆 答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给 2 分） 17已知, 1a, 1b0 , 1a0 )3x( b log 如果那么 x 的取值范围是_ 答案：(3,4) 18如图，P 是二面角AB棱 AB 上的一点，分别在，上引 射线 PM，PN，如果BPM=BPN=45 0，MPN=60
7、0，那么二面 角AB的大小是_ 答案：90 0 三解答题（本题满分三解答题（本题满分 60 分，共分，共 6 个小题个小题.） 1919 （本小题满分（本小题满分 8 分）分） 设复数 5 ) i 31 (z=，求 z 的模和辐角的主值 奎屯 王新敞 新疆 M P B A N 解： ) 3 sini 3 (cos32 ) 3 25 sini 3 25 (cos32) 3 5 sini 3 5 (cos32) i 2 3 2 1 (2) i 31 ( 5555 + = +=+= 复数 z 的模为 32，的模和辐角的主值为. 3 2020 （本小题满分（本小题满分 8 分）分） 证明： x2cos
8、xcos xsin2 2 x tg 2 x3 tg + = 证： 2 x cos 2 x3 cos xsin 2 x cos 2 x3 cos 2 x sin 2 x3 cos 2 x cos 2 x3 sin 2 x cos 2 x sin 2 x3 cos 2 x3 sin 2 x tg 2 x3 tg= = x2cosxcos xsin2 + = 2121 （本小题满分（本小题满分 10 分）分） 如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，已知 AB=5，AD=4，AA1=3，AB AD，A1AB=A1AD=. 3 （）求证：顶点 A1在底面 ABCD 的射影 O 在BAD 的平
9、分线上; （）求这个平行六面体的体积 奎屯 王新敞 新疆 （）证：连结A1O，则A1O底面ABCD 奎屯 王新敞 新疆作 OMAB 交 AB 于 M，作 ON AD 交 AD 于 N，连结 A1M，A1N 由三垂线定理得 A1MAB，A1NADA1AM=A1AN， RtA1NARtA1MA A1M=A1N OM=ON 奎屯 王新敞 新疆 点 O 在BAD 的平分线上 （）AM=AA1, 2 3 2 1 3 3 cos= AO=AM. 2 2 3 4 csc= 又在职 RtAOA1中，A1O 2=AA 1 2-AO2= , 2 9 2 9 9= D1 C1 A1 B1 D C N O A M B
10、 A1O=. 2 2 3 平行六面体的体积 V=. 2302 2 3 45= 2222 （本小题满分（本小题满分 10 分）分） 用数学归纳法证明 ).3n4)(1n(n ) 1n2(n2)n2)(1n2()5443()3221 ( 222222 += + 证：当 n=1 时，左边=-14,右边=-127=-14，等式成立 假设当 n=k 时等式成立，即有 ).3k4)(1k(k ) 1k2(k2)k2)(1k2()5443()3221 ( 222222 += + 那么 当 n=k+1 时， .3) 1k(41) 1k)(1k()7k4)(2k)(1k( 14k15k4)1k()7k6(2k3
11、k4)1k( 2k6k49k12k4)1k(2)3k4)(1k(k )3k2)(2k2()2k2)(1k2( ) 1k2(k2)k2)(1k2()5443()3221 ( 22 22 22 222222 +=+= +=+= += + + 这就是说，当 n=k+1 时等式也成立 奎屯 王新敞 新疆 根据以上论证可知等式对任何Nn都成立 奎屯 王新敞 新疆 2323 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知, 1a, 0a试求使方程)ax(log)akx(log 22 2 a a =有解的 k 的取 值范围 奎屯 王新敞 新疆 解：由对数函数的性质可知，原方程的解 x 应满足 = ) 3(.
12、 0ax )2(, 0akx ) 1 (,ax)akx( 22 222 当（1） ， （2）同时成立时， （3）显然成立，因此只需解 = )2(, 0akx ) 1 (,ax)akx( 222 由（1）得)4()k1 (akx2 2 += 当 k=0 时，由 a0 知（4）无解，因而原方程无解 奎屯 王新敞 新疆 当 k0 时， （4）的解是 )5(. k2 )k1 ( 1 x 2 + =把（5）代入（2） ，得. k k2 k1 2 + 解得：. 1k01k或 综合得，当 k 在集合) 1 , 0() 1,(内取值时，原方程有解 奎屯 王新敞 新疆 2424 （本小题满分（本小题满分 12
13、分）分） 给定椭圆方程)0ba (1 a y b x 2 2 2 2 =+， 求与这个椭圆有公共焦点的双 曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边 形的顶点坐标 奎屯 王新敞 新疆 解：设所求双曲线的方程是 1 yx 2 2 2 2 = 由题设知.bac 22222 =+= 由方程组 = =+ 1 , 1 22 2 2 2 2 2 2 2 c yx a y b x 解得交点的坐标满足 . c 1|y| , c b |x|), c 1 (ay, c b x 2 2 2 2 22 2 22 2 = = = =即 由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知， 以它们的交点为顶点的四边 Y a O b X 形是长方形，其面积 2 2 c 1 c ab4|xy|4S = 因为 S 与) c 1 ( c 2 2 2 2 同时达到最大值， 所以当 2 1 ) c a ( 2 =时达到最大值 2ab 这时),ba ( 2 1 c 2 1 ),ba ( 2 1 c 2 1 22222222 = 因此，满足题设的双曲线方程是 . 1 )ba ( 2 1 y )ba ( 2 1 x 22 2 22 2 = 相应的四边形顶点坐标是 ).a 2 2 , b 2 2 (),a 2 2 , b 2 2 (),a 2 2 , b 2 2 (),a 2 2 , b 2 2 (
