1、 2005 年高考年高考理理科数学科数学 上海上海卷卷 试题及答案试题及答案 奎屯 王新敞 新疆 一、填空题（4 1248=） 1.函数( )() 4 log1f xx=+的反函数( ) 1 fx =_ 奎屯 王新敞 新疆 2.方程4220 xx +=的解是_ 奎屯 王新敞 新疆 3.直角坐标平面xOy中， 若定点()1,2A与动点(),P x y满足4OP OA=， 则点 P 的轨迹方 程是_ 奎屯 王新敞 新疆 4.在() 10 xa的展开式中， 7 x的系数是 15，则实数a =_ 奎屯 王新敞 新疆 5.若双曲线的渐近线方程为3yx= ，它的一个焦点是( ) 10,0，则双曲线的方程是
2、_ 奎屯 王新敞 新疆 6.将参数方程 1 2cos 2sin x y = + = （为参数）化为普通方程，所得方程是_ 奎屯 王新敞 新疆 7.计算： 1 1 32 lim 32 nn nn n + + = + _ 奎屯 王新敞 新疆 8.某班有 50 名学生，其 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程 奎屯 王新敞 新疆从班级中任选两名学生， 他们是选修不同课程的学生的概率是_ 奎屯 王新敞 新疆（结果用分数表示） 9.在ABC中，若120A =，5AB =，7BC =，则ABC的面积 S=_ 奎屯 王新敞 新疆 10.函数( )sin2 sin0,2f xxxx=+的图像与
3、直线yk=又且仅有两个不同的交点， 则k的取值范围是_ 奎屯 王新敞 新疆 11.有两个相同的直三棱柱，高为 2 a ，底面三 角形的三边长分别为3a、4a、5a()0a 奎屯 王新敞 新疆用 它们拼成一个三棱柱或四棱柱， 在所有可能的 情形中，全面积最小的一个是四棱柱，则a的 取值范围是_ 奎屯 王新敞 新疆 12.用 n 个不同的实数 12 , n a aa可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n行的数阵 奎屯 王新敞 新疆对第i行 12 , iiin aaa， 记() 123 231 n iiiiin baaana= + ()1,2,3, !in= 奎屯 王新敞 新疆例如：用
4、 1，2，3 可 得 数 阵 如 下 ， 由 于 此 数 阵 中 每 一 列 各 数 之 和 都 是 12 ， 所 以 ， 126 122 12 3 1224bbb+=+ = 奎屯 王新敞 新疆那么，在用 1，2，3，4，5 形成 的数阵中， 12120 bbb+=_ 奎屯 王新敞 新疆 二、选择题（4 416=） 13.若函数( ) 1 21 x f x = + ，则该函数在(), +上是 (A)单调递减无最小值 (B)单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D)单调递增有最大值 14.已知集合 12,Mx xxR=， 5 1, 1 PxxZ x = + ，则MP等于 (A)03,xxx
5、Z (B)03,xxxZ (C)10,xxxZ (D)10,xxxZ 4a 5a 3a 2 a 4a 5a 3a 2 a 123 132 213 231 312 321 15.过抛物线 2 4yx=的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、 B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线 (A)又且仅有一条 (B)有且仅有两条 (C)有无穷多条 (D)不存在 16. 设 定 义 域 为 为R的 函 数( ) lg1 ,1 0,1 xx f x x = = ， 则 关 于x的 方 程 ( )( ) 2 0fxbf xc+=有 7 个不同的实数解得充要条件是 (A)0b 且0c (B)0b 且0c (
6、C)0b 且0c = (D)0b 且0c = 三、解答题 17.已知直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 2AA =， 底面ABCD 是直角梯形，90A =，/ABCD，4AB =，2AD =， 1DC =，求异面直线 1 BC与DC所成的角的大小 奎屯 王新敞 新疆（结果用反 三角函数表示） 18.证明：在复数范围内，方程()() 255 11 2 i zi zi z i += + （i为虚数单位）无解 奎屯 王新敞 新疆 19.点 A、 B 分别是椭圆 22 1 3620 xy +=长轴的左、 右焦点， 点 F 是椭圆的右焦点 奎屯 王新敞 新疆点 P 在椭圆上， 且位于 x 轴
7、上方，PAPF 奎屯 王新敞 新疆 （1）求 P 点的坐标； （2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于MB，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值 奎屯 王新敞 新疆 3 2 1 -1 -2 -3 FA P BM o y x D1C1 B1 A1 D C BA 20.假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米， 其中有 250 万平方米是中低价房 奎屯 王新敞 新疆预计在今后的 若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%，另外，每年新建住房中，中低价 房的面积均比上一年增加 50 万平方米 奎屯 王新敞 新疆那么，到那一年底， （1）该市历年所
8、建中低价房的累计面积（以 2004 年为累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%？ 21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分 奎屯 王新敞 新疆 对定义域是 f D. g D的函数)(xfy =.)(xgy =， 规定：函数 = gf gf gf DxDxxg DxDxxf DxDxxgxf xh 且当 且当 且当 ),( ),( ),()( )( 奎屯 王新敞 新疆 （1）若函数 1 1 )( = x xf， 2 )(xxg=，
9、写出函数)(xh的解析式； （2）求问题（1）中函数)(xh的值域； （3）若)()(+=xfxg，其中是常数，且, 0，请设计一个定义域为 R 的 函数)(xfy =，及一个的值，使得xxh4cos)(=，并予以证明 奎屯 王新敞 新疆 22.在直角坐标平面中，已知点() 1 1,2P， () 2 2 2,2P，() 3 3 3,2P，(),2n n P n，其中 n 是 正整数 奎屯 王新敞 新疆对平面上任一点 0 A，记 1 A为 0 A关于点 1 P的对称点， 2 A为 1 A关于点 2 P的对称点， , n A为 1n A 关于点 n P的对称点 奎屯 王新敞 新疆 （1）求向量 0
10、2 A A的坐标； （2）当点 0 A在曲线 C 上移动时，点 2 A的轨迹是函数( )yf x=的图像，其中( )f x是以 3 位周期的周期函数，且当(0,3x时，( )lgf xx= 奎屯 王新敞 新疆求以曲线 C 为图像的函数在( 1,4上的 解析式； （3）对任意偶数 n，用 n 表示向量 0n A A的坐标 奎屯 王新敞 新疆 2005 年高考年高考理理科数学科数学 上海上海卷卷 试题及答案试题及答案 参考答案参考答案 1. 41 x 2. x=0 3. x+2y4=0 4. 2 1 5. 1 9 2 2 = y x 6. 22 (1)4xy+= 7. 3 8. 7 3 9. 4
11、315 10. 13k 11. 15 0 3 a 解析：拼成一个三棱柱时，只有一种一种情况，就是将上下底面对接，其全面积为 2 14 34(345 )1248 2 Saaaaaa a +=+ 三棱柱表面2 奎屯 王新敞 新疆 拼成一个四棱柱，有三种情况，就是分别让边长为3 ,4 ,5aaa所在的侧面重合，其上 下底面积之和都是 2 1 3424 2 aaa =2 2，但侧面积分别为： 222 2(45 )36,2(35 )32,2(34 )28aaaaaa aaa +=+=+=， 显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为： 2 12 342(34 )2428 2 Saaaaa a +=+ 四棱柱表
12、面2 2 奎屯 王新敞 新疆 由题意，得 22 24281248aa+ 奎屯 王新敞 新疆 解得 15 0 3 a 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 12.1080 13. A 14. B 15. B 16.C 奎屯 王新敞 新疆 17. 解由题意ABCD,C1BA是异面直线BC1与DC 所成的角.连结AC1与AC,在RtADC 中,可得AC=5. 又在 RtACC1中,可得AC1=3. 在梯形ABCD中,过C作CHAD交AB于H, 得CHB=90,CH=2,HB=3, CB=13. 又在 RtCBC1中,可得BC1=17, H D1C1 B1 A1 D C BA 在ABC1中,cosC
13、1BA= 17 173 ,C1BA=arccos 17 173 异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos 17 173 另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在 直线为x、y、z轴建立直角坐标系. 则C1(0,1,2),B(2,4,0), 1 BC=(2,3,2), CD=(0,1,0),设 1 BC与CD所成的角为 , 则 cos= CDBC CDBC 1 1 = 17 173 ,= arccos 17 173 . 异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos 17 173 18. 解 原方程化简为iizzz=+1)( 2 , 设z=x+yi(x、yR),代入上述方程
14、得 x 2+y2+2xi=1i, x 2+y2=1 且 2x=1,解得 x= 2 1 且y= 2 3 , 原方程的解是z= 2 1 2 3 i. 19. 解（1）由已知可得点A(6,0),F(0,4) 设点P(x,y),则AP=x+6,y,FP=x4,y, 由已知可得 22 2 1 3620 (6)(4)0 xy xxy += += 则 2x 2+9x18=0,解得 x= 2 3 或x=6. 由于y0,只能x= 2 3 ,于是y= 2 35 . 点P的坐标是( 2 3 , 2 35 ) (2) 直线AP的方程是x3y+6=0. D1 C1 B1 A1 D C BA x z y 设点M(m,0)
15、,则M到直线AP的距离是 2 6+m . 于是 2 6+m =6+m,又6m6,解得m=2. 椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有 d 2=(x2)2+y2=x4x2+4+20 9 5 x 2= 9 4 (x 2 9 ) 2+15, 由于6m6, 当x= 2 9 时,d取得最小值15 20. 解(1)设中低价房面积形成数列an,由题意可知an是等差数列, 其中 a1=250,d=50, 则 Sn=250n+50 2 ) 1( nn =25n 2+225n, 令 25n 2+225n4750,即 n2+9n-1900,而 n 是正整数, n10. 到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面
16、积将首次不少于 4750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列,其中 b1=400,q=1.08, 则 bn=400(1.08) n-1. 由题意可知 an0.85 bn,有 250+(n-1)50400(1.08) n-10.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6. 到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 21. 解 (1) 2 (,1)(1,) ( ) 1 11 x x h x x x + = = (2) 当x1 时, h(x)= 1 2 x x =x1+ 1 1 x +2, 若x1 时, 则
17、h(x)4,其中等号当x=2 时成立 若x1 时, 则h(x) 0,其中等号当x=0 时成立 函数h(x)的值域是(,014,+) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,= 4 则g(x)=f(x+)= sin2(x+ 4 )+cos2(x+ 4 )=cos2xsin2x, 于是h(x)= f(x)f(x+)= (sin2x+co2sx)( cos2xsin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+2sin2x, = 2 , g(x)=f(x+)= 1+2sin2(x+)=12sin2x, 于是h(x)= f(x)f(x+)= (1+2sin2x)( 12sin2x)=cos4x. 22
18、. 解(1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2x,4y), A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y), 20A A=2,4. (2) 20A A=2,4, f(x)的图象由曲线C向右平移 2 个单位,再向上平移 4 个单位得到. 因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x(2,1 时,g(x)=lg(x+2)4.于是,当x(1,4时,g(x)=lg(x1)4. 另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2x=2,y2y=4, 若 3 x26,则 0 x233,于是f(x2)=f(x23)=lg(x23). 当 1 x4 时, 则 3 x26,y+4=lg(x1). 当x(1,4时,g(x)=lg(x1)4. (3) n AA0 = nn AAAAAA 24220 +, 由于 kkkk PPAA 212222 2 =,得 n AA0 =2( nn PPPPPP 14321 +) =2(1,2+1,2 3+1,2n1)=2 2 n , 3 ) 12(2 n =n, 3 ) 12(4 n
