1、24.1.4 圆周角圆周角新人新人教教版九年级数学上册版九年级数学上册 24 24 圆圆v理解圆周角的概念理解圆周角的概念,掌握圆周角的掌握圆周角的定定理和三个推论的理和三个推论的内容及内容及简单应用；简单应用；v掌握圆内接四边形的概念和性质。掌握圆内接四边形的概念和性质。ACBACB与与 AOB AOB 有何异同点？有何异同点？你知道你知道ACBACB这一类的角名字吗？这一类的角名字吗？顶点在圆上，两边顶点在圆上，两边与圆相交的角与圆相交的角,叫圆叫圆周角。周角。圆周角的概念圆周角的概念 ：BACO判断下列各图形中的是不是圆周角判断下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由并说明理由 归纳：归纳
2、：一个角是圆周角的条件：顶点在圆上；一个角是圆周角的条件：顶点在圆上；两边都和圆相交两边都和圆相交.问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？度数有什么关系？人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？度数有什么关系？(1)(1)当圆心在圆周角的一边上时当圆心在圆周角的一边上时,证明证明:(圆心在圆周角上圆心在圆周角上)结论：结论：在同圆或等圆中在同圆或等圆中,一条弧所对的圆一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半周角
3、等于它所对圆心角的一半.COBABACCOCOA BOCBAC 21CBACBOC 人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件2.2.当圆心在圆周角内部时当圆心在圆周角内部时提示提示:能否转化为能否转化为1 1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.21nABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,2121OABCD结论结论:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,一条弧所对的圆一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半周角等于它所对圆心角的一半.人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九
4、年级数学上册 圆周角经典课件3.3.当圆心在圆周角外部时当圆心在圆周角外部时结论结论:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,一条弧所对的圆一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半周角等于它所对圆心角的一半.提示提示:能否转化为能否转化为1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.21nABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,2121ODABC人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件圆周角定理圆周角定理v一条弧所对的圆周角等于它所对一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半圆心角的一半.
5、v同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等OECDBA人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件圆周角定理圆周角定理在同圆或等圆中在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的，同弧或等弧所对的圆周角圆周角都相等，都相等，等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半。的一半。ABCOABCOABCO即即BAC=BOC21人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件在半径不等的圆中，相等的两个在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？圆周角所对的弧相等吗？CABBAC如图，如图，ABC=30，ABC=30，但是，但是CAAC人教版九年级数学上册
6、圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件练一练练一练.1.1试找出下图中所有相等的圆周角。试找出下图中所有相等的圆周角。ABCD123456782=71=43=65=8人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件如果如果A=44,则则BOC=_.如果如果BOC=44,则则A=_.如果如果A=35,则则BDC=_.OABCD880220350人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件半圆或直径所对的圆周角等于多少度？半圆或直径所对的圆周角等于多少度？OABC2.902.90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是否是直径？否是直径？
7、人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件求证求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形个三角形是直角三角形.（提示：作出以这条边为直径的圆）（提示：作出以这条边为直径的圆）ABCO求证：求证：ABC ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：CO=AB,CO=AB,12以以O O为圆心，为圆心，ABAB为直径作为直径作O O，AO=BOAO=BO，AO=BO=CO.AO=BO=CO.点点C C在在O O上上.又又ABAB为直径为直径,ACB=ACB=180180=90=90.1212已
8、知：如图已知：如图ABCABC中，中，COCO为为ABAB边上的中线，边上的中线，且且CO=ABCO=AB ABC ABC 为直角三角形为直角三角形.人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件 半圆（或直径）所对的圆周角是半圆（或直径）所对的圆周角是9090；9090的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.OBADEC推论推论2：推论推论3：人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件例例 如图，如
9、图，O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB的平的平分线交分线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长86102222ACABBC又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：解：AB是直径，是直径，ACB=ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.ACDBCD 例题例题OABCD人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件1 1、如图，在、如图，在O O中，中，ABC=50ABC=50，则则AOCAOC等于（等于（）.A.50A.50 B.80 B.80 C.90 C.90 D
10、.100 D.100ACBOD D2 2、如图，、如图，ABCABC是等边三角形，动点是等边三角形，动点P P在圆在圆周的劣弧周的劣弧ABAB上，且不与上，且不与A A、B B重合，则重合，则BPCBPC等于（等于（）.A.30A.30 B.60 B.60 C.90 C.90 D D、4545CABPB B跟踪训练人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件1.1.如图，如图，A=50A=50，ABC=60ABC=60BDBD是是O O的直径，则的直径，则AEBAEB等于（等于（）.A.70A.70 B.110 B.110 C.90 C.90 D.120 D.120
11、BACBODE2.2.（南通（南通中考）中考）如图，如图，O O的直径的直径AB=4AB=4，点，点C C在在O O上，上，ABC=30ABC=30，则，则ACAC的的长是长是()()A A1 1 B B C C D D2 2【解析解析】选选D.D.直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中，直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中，3030的角所对的边是斜边的一半的角所对的边是斜边的一半.23OABC人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件3 3.如图，如图，ABCABC的顶点的顶点A A、B B、C C都在都在O O上，上，C C3030，ABAB2 2，则，则O
12、 O的半径是多少？的半径是多少？CABO【解析解析】连结连结OAOA、OBOBC=30C=30，AOB=60AOB=60又又OA=OB OA=OB，AOBAOB是等边三角形是等边三角形OA=OB=AB=2OA=OB=AB=2，即半径为，即半径为2.2.人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件圆圆内接多边形内接多边形 若一个多边形若一个多边形各顶点都在同一个圆上各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆个圆叫做这个多边形的外接圆。OBCDEFAOACDEB人教版九年级数学上册 圆周角经典
13、课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件ABCDO 如图，四边形如图，四边形ABCD是是 O的内接四边形，的内接四边形，O是四边是四边形形ABCD的外接圆。的外接圆。思考：思考：A+C=?能用圆周角定理证明你的结论吗？能用圆周角定理证明你的结论吗？圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的对角互补。四边形四边形ABCD是是 O的内接四边形，的内接四边形，A+C=1800人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件如图：圆内接四边形如图：圆内接四边形ABCDABCD中，中，A A C C 180 同理同理B BD D180180圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补
14、.OOC CA AB BD D BAD+BCD=360 圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的性质定理：人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件2.四边形四边形ABCD内接于内接于 O，则，则A+C=_ B+ADC=_;若若B=80，则，则ADC=_ CDE=_3.四边形四边形ABCD内接于内接于 O，AOC=100则则B=_D=_ 4.四边形四边形ABCD内接于内接于 O,A:C=1:3,则则A=_,EDBAC80DBACO100填空：填空：1.梯形梯形ABCD内接于内接于 O,ADBC,B=750,则则C=_ DBACO7501800180010008005
15、001300450人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件O OC CD DB BA A已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD是是圆的内接四边形并且圆的内接四边形并且ABCDABCD是是平行四边形。平行四边形。求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件 如图如图OO1 1与与OO2 2都经过都经过A A、B B两点，经两点，经过点过点A A的直线的直线CDCD与与OO1 1 交于点交于点C C，与，与OO2 2 交于点交于点D D。经过点。经过点B B的直线的直线EFEF与与OO1 1 交于点交于点E E，与，与OO2 2 交于点交于点F F。求证：求证：CEDFCEDF12OOOOF FA AB BE EC CD D1人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件CEDFCEDFE EF F180180F F1 1180180、1 1E EABFDABFD是是OO1 1的内接四边形的内接四边形ABECABEC是是OO2 2的内接四边形的内接四边形连结连结ABAB12OOOOF FA AB BE EC CD D1人教版九年级数学上册 圆周角经典课件人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
