1、3.2.3 导数的四则运算法则导数的四则运算法则掌握导数的四则运算法则，并会应用掌握导数的四则运算法则，并会应用.基础知识梳理基础知识梳理1.若若f(x)、g(x)是可导的，则是可导的，则(1)(f(x)g(x)=_.即两个函数的和即两个函数的和(或差或差)的导数，等于这两个函数的的导数，等于这两个函数的_.(2)f(x)g(x)=_.即两个函数的积的导数，等于即两个函数的积的导数，等于_.f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)g(x)导数和导数和(或差或差)第一个函数的第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数二个函数的导数
2、()(3)_.()0)()1()1_.()f xg xg xf xg x特特别别地地，当当时时，有有2()()()()()g x fxf x g xgx2()()g xgx2.(1)有限个可导函数的和有限个可导函数的和(或差或差)的求导公式：的求导公式：(f1f2fn)=_.(2)常数与函数积的导数，等于常数与函数积的导数，等于_.即即Cf(x)=_.f1f2fnCf(x)常数乘以函数的导数常数乘以函数的导数 求下列函数的导数求下列函数的导数.(1)y=3x-lgx(2)y=(x2+1)(x+1)(3)(4)y=-sinx+ex课堂互动讲练课堂互动讲练求导法则的直接运用求导法则的直接运用233
3、xyx【分析分析】解答本题可根据函数导数的四则运算解答本题可根据函数导数的四则运算法则和导数公式求导法则和导数公式求导.22222222222221(1)(3)(lg)3ln3ln10(2)(1)(1)3213(3)(3)(3)(3)(3)()3(3)(3)(3)263(3)(3)(4)(sin)()cos.xxxxyxxyxxyxxxxxxxyxxxxxxxxxyxexe1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：323223(1)(2)10(3)cosln(4).sinxyyxxxxyxxyx解：解：23233433232222223(1)23,49.(2)()10(10)31010ln10.
4、(3)(cos)lncos(ln)cossinln.()sin(sin)(4)sin2sincos.sinxxxxyxxxxyxxyxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxx导数求导法则的灵活运用导数求导法则的灵活运用求函数求函数 的导数的导数.2(2)()1xf xx【分析分析】解答本题可先对函数解析式进行化解答本题可先对函数解析式进行化简简,化为基本初等函数的和、差、积、商，然化为基本初等函数的和、差、积、商，然后再根据导数的四则运算法则和公式求导后再根据导数的四则运算法则和公式求导.【解解】法一：法一：2222222244(),1(24)(1)(44)1()(1)224444(1)
5、28.(1)xxf xxxxxxfxxxxxxxxxxx法二：法二：2222244559()1195,199()1()11(1)28.(1)xxxxxf xxxxxfxxxxxx 【点评点评】当函数解析式比较复杂时，求其导数当函数解析式比较复杂时，求其导数的一般步骤：的一般步骤：化简函数解析化简函数解析式，化为若干式，化为若干个基本初等函个基本初等函数的和、差、数的和、差、积、商的形式积、商的形式利用求导四则运算利用求导四则运算法则和基本初等函法则和基本初等函数求导公式求导数求导公式求导化简得化简得结果结果2.求下列函数的导数求下列函数的导数.442(1)y=sincos;44(2)y=-si
6、n(12cos).24xxxx4422222(1)sincos44(sincos)2sincos4444xxyxxxx解解：222111(2sincos)1sin244221 1cos311cos.2244(2)sin(12cos)241sin(cos)sin,2221cos2xxxxxxxyxxxyx 偶函数偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象的图象过点过点P(0，1)，且在，且在x=1处的切线方程为处的切线方程为y=x-2，求求y=f(x)的解析式的解析式.【分析分析】偶函数、曲线过定点、切线方程都是偶函数、曲线过定点、切线方程都是求解析式中待定系数的重要条件，应抓住这些
7、求解析式中待定系数的重要条件，应抓住这些条件列出等式组，再具体求解各个参变量条件列出等式组，再具体求解各个参变量.导数在函数中的简单应用导数在函数中的简单应用【解解】因为因为f(x)的图象过点的图象过点P(0，1)，所以，所以e=1.又因为又因为f(x)为偶函数，所以为偶函数，所以f(x)=f(-x).即即ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.所以所以b=0，d=0.所以所以f(x)=ax4+cx2+1.因为函数因为函数f(x)在在x=1处的切线方程为处的切线方程为y=x-2，所以切，所以切点为点为(1，-1).所以所以a+c+1=-1.因为因为f(x)|x=1=
8、4a+2c.所以所以4a+2c=1，所以，所以a=5/2，c=-9/2.所以函数所以函数y=f(x)的解析式为的解析式为f(x)=5/2x4-9/2x2+1.【点评点评】利用求导公式与四则运算法则，并结合函利用求导公式与四则运算法则，并结合函数的对称性、单调性等，便能够准确求出函数的解数的对称性、单调性等，便能够准确求出函数的解析式或其参变量的值析式或其参变量的值.3.已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c通过点通过点P(1，1)且且在点在点Q(2，-1)处与直线处与直线y=x-3相切，求实数相切，求实数a、b、c的值的值.解：解：曲线曲线y=ax2+bx+c过过P(1，1)点，点，a+b+
9、c=1.y=2ax+b，y|x=2=4a+b.4a+b=1.又曲线过又曲线过Q(2，-1)点，点，4a+2b+c=-1.联立，解得联立，解得a=3，b=-11，c=9.已知曲线已知曲线C1:y=x2与与C2:y=-(x-2)2，若，若直线直线l与与C1、C2都相切，求直线都相切，求直线l的方程的方程.【分析分析】设出直线设出直线l与与C1、C2的切点坐标，可的切点坐标，可以分别用一个参数来表示，利用导数的几何以分别用一个参数来表示，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用斜率相等可求出意义求出切线的斜率，利用斜率相等可求出两切点的坐标两切点的坐标.求导公式在解析几何中的应用求导公式在解析几何中的
10、应用【解解】法一：设直线法一：设直线l与两曲线的切点的坐标分别与两曲线的切点的坐标分别为为A(a，a2)、B(b，-(b-2)2).因为两曲线对应函数的导函数分别为因为两曲线对应函数的导函数分别为y1=2x，y2=-2(x-2)，所以在所以在A、B两点处两曲线的斜率分别为两点处两曲线的斜率分别为y1|x=a=2a，y2|x=b=-2(b-2)，由题意可得由题意可得 ，即即 a=2-b，a2-b2-2ab+4b=4.22(2)224ababab2002aabb解解之之，得得，或或 所以所以A点坐标为点坐标为(2，4)或或(0，0)，切线的斜率，切线的斜率k=4或或0，从而所得的切线方程为，从而所
11、得的切线方程为y=4x-4或或y=0.法二：设法二：设l与与C1、C2的切点的横坐标分别为的切点的横坐标分别为a、b，直线，直线l的斜率为的斜率为k，根据题意，得根据题意，得y1=2x，y2=-2(x-2).y1|x=a=2a，y2|x=b=-2(b-2).由由k=2a=-2b+4，可得，可得 ，设设l与与C1、C2的切点的坐标分别为的切点的坐标分别为4,22kkab224(,)(,),2424k kkk、22()4442422kkkkkkK则则 ，解得，解得k=0或或4.故所求的切线方程为故所求的切线方程为y=0或或y=4x-4【点评点评】本题是导数的一个具体的应用，在解本题是导数的一个具体
12、的应用，在解题过程中一般先设出切点的坐标，再利用方程题过程中一般先设出切点的坐标，再利用方程组求出参数的取值组求出参数的取值.4.求过点求过点(1，-1)的曲线的曲线y=x3-2x的切线方程的切线方程.解：设解：设P(x0,y0)为切点，为切点，则切线的斜率为则切线的斜率为f(x0)=3x02-2,故切线方程为故切线方程为y-y0=(3x20-2)(x-x0),即即y-(x03-2x0)=(3x02-2)(x-x0),又知切线过点又知切线过点(1，-1)，代入上述方程，代入上述方程，得得-1-(x03-2x0)=(3x02-2)(1-x0),解得解得x0=1或或x0=-1/2，切线斜率为切线斜
13、率为1或或-5/4,故所求的切线方程为故所求的切线方程为y+1=x-1或或y-7/8=-5/4(x+1/2),即即x-y-2=0或或5x+4y-1=0.规律方法总结规律方法总结理解和掌握求导法则和公式的结构特征是灵活进理解和掌握求导法则和公式的结构特征是灵活进行求导运算的前提条件行求导运算的前提条件,若运算过程中出现失误若运算过程中出现失误,其原因主要是不能正确理解求导法则其原因主要是不能正确理解求导法则,特别是商的特别是商的求导法则求导法则.另外另外,在求导过程中对符号判断不清在求导过程中对符号判断不清,也也是导致出错的原因之一是导致出错的原因之一.深刻理解和掌握导数运算深刻理解和掌握导数运算法则法则,再结合给定函数本身的特点再结合给定函数本身的特点,才能准确有效才能准确有效地进行求导运算地进行求导运算,才能充分调动思维的积极性才能充分调动思维的积极性,在在解决新问题时做到举一反三解决新问题时做到举一反三,触类旁通触类旁通.随堂即时巩固随堂即时巩固课时活页训练课时活页训练
