1、第二章 微观经济学分析的数学方法凸集 定义 为凸集，则集合，满足如果SSvuSvSu10 )-(1,例子 1维空间：单个点 2维空间：直线、射线、线段 圆、椭圆、矩形、梯形、三角形等三维空间呢？总结“没有任何孔，边缘不能有缩进”蒋中一意义 经济分析中，常假设可行集合（约束集）为凸集。约束条件下可行集是凸集保证最优解唯一的必要条件。问题 经济学分析中，有哪些约束集合？练习题：判断下列集合是否为凸集,xx y ye2,13x y yx,xx y ye,1,0,0 x y xyxy凹函数（concave）凹函数的定义 以最简单的单变量函数为例来定义：，和 是定义域中的两个量，令 ，如果满足 则称为凹
2、函数（小于等于，凸函数）若 则称为严格凹函数（小于，严格凸函数）Zf xuv(1)xuv)()1()()1()(vfufvufxf)()1()()1()(vfufvufxfvu 且10直观图形)(xf)(xf严格凹函数ABCD直观图形非严格凹函数总结 两点间的曲线（弧）与两点间的直线重合，或在其之上。用一阶导数来定义该函数为凹函数。当且仅当：且是定义域中的两个量，和数，若函数存在一阶连续导)()()(,uvufufvfvuvuxf(x)uv图示总结 该曲线与其切线重合或者位于其切线的下方。过曲线上任何一点的做切线，该曲线均在切线或切线下方。凹函数的定义 对双变量函数来说：)()1()()1()
3、(,10)1(),(),(),(2121vfufvufwfvuwvvvuuuyxfz是：则满足是凹函数的条件），（令，取定义域中图示ABCDzy总结 在曲面上，任何两点的连线均在对应的曲线的下方，则称为凹函数。一阶导数的定义 1122112212,f u vf u vfvf uvuvuuu当且仅当：即：做任何一个切面，函数值均在切面或切面之下。对于多变量函数。，该函数为严格凹函数若满足：该函数为凹函数。若满足：）（均在定义域中，取和)()1()()1(),()1()()1(,10),(vfufvufvfufvufvuxfz凹函数的二阶导数的判定方法严格凹函数。为时，当（非当且仅当）为凹函数。时
4、，当且仅当)(0)(022xfzzdxfzzd 若函数存在二阶连续偏微分，则：与上述判定方法等价的方法：引入海塞矩阵 多变量函数：该函数的一阶全微分表示为：12,nzf x xx1212nnfffdzdxdxdxxxx二阶全微分表达式22221112111121nnfffd zdx dxdx dxdx dxx xx xx x 2222122221222nnfffdxdxdxdxdxdxx xx xx x 2221212nnnnnnnnfffdxdxdxdxdxdxx xx xx x 简化表达212,nd zdx dxdx2211122212221nnnnnffx xx xffx xx xffx
5、xxx 12,tndx dxdx海塞矩阵（二阶导数矩阵）1112121nnnnnffffHfftxdHxdzd2二阶全微分的简洁表达（引入海塞矩阵）二阶导数的判定方法 当且仅当海塞矩阵为负半定时，该函数为凹函数。负半定：即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于等于零，二阶大于等于零 当（非当且仅当）海塞矩阵为负定时，该函数为严格凹函数。负定：即即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于零，二阶大于零顺序主子式值正负交替变化110f11111 1221221221000nnnnnfff fffnffnff，为奇数，为偶数二阶导数的判定方法 当且仅当海塞矩阵为正半定时，该函数为凸函数。正半定：即顺序主子式值
6、全部大于等于零 当（非当且仅当）海塞矩阵为正定时，该函数为严格凸函数。正定：即即顺序主子式值全部大于零练习检验下列函数的凹凸性：2zx222zxxyy212zxxzxy 2zx 4zx 2212zxx（使用顺序主子式方法检验）拟凹函数（quasiconcave）定义满足：）（取且和定义域中的不同点对于函数,10),()(,)(ufvfvuxfz拟凹函数。若严格大于，则为严格则该函数为拟凹函数。1f vf ufuvf u 定义满足：）（取且和定义域中的不同点对于函数,10),()(,)(ufvfvuxfz拟凸函数。若严格大于，则为严格则该函数为拟凸函数。)()1(vfvuf图示N函数图形上任意一
7、段弧MN,使N点高于M点，如果除M和N点外，该弧段上的点均高于或等于M点，则该函数为拟凹函数。uvAB思考：与凹函数的关系？凹函数一定是拟凹函数，但拟凹函数不一定是凹函数。拟凹性是比凹性要弱的条件。典型图示Xf(x)上等值集判定方法 如果该函数的上等值集是凸集，则该函数为拟凹函数。上等值集的定义：kxfxk)(,满足：取例子：一阶导数定义ouvufvfufvuz)()()(,，满足：，且个值取该函数定义域中的两定义是：拟凹函数的一阶导数的是一阶连续可微的，则如果函数)()()()(uvufufvf对比凹函数：拟凹函数的二阶必要条件为偶数，当为奇数当，件是：则是拟凹函数的必要条是二阶连续可微的，
8、且如果函数nnBBBxxxxfznn0,000,0,)(2121加边海塞矩阵nnnnnnnnfffffffffffffffB21222212112111210的顺序主子式B111110fffB 22212121112120ffffffffB nnnnnnnnnfffffffffffffffB21222212112111210拟凹函数的充分条件为偶数，当为奇数当，nnBBBn0,00021拟凸函数的充分条件00021nBBB，练习)0,0(,3)0,0(,)2()1(2)0,0(,12222yxxyzyxyxzyxyxz）（）（）（性：下列函数的拟凹、拟凸运用加边海塞矩阵检验无约束条件下的极值问
9、题最优化的一阶条件的点称为稳定点。满足即或：则最优化的一阶条件为存在一阶偏导数，若函数00,0,0,00,0)(,0)(),(2121dzfffdzdxdxxfdzxfxxxfznn满足一阶条件是极值的必要条件？充分条件？双变量的情形AA二阶条件时，也可能为极值。因为在但非必要条件。是极大值的充分条件，0022zdzd012,00,224xydxdyxy时，例如，二阶必要条件00)(2 zdxfz或件是：为极大值的二阶必要条函数回忆：关于凹函数了。足一阶条件的点就可以求极大值，只需要求满该函数为凹函数。下的最优解时，需假定所以，当求无约束条件二阶条件。数，一定满足极大值的所以如果该函数是凹函为
10、凹函数时，当且仅当)(02xfzzd等式约束条件下的最优化问题自由极值、约束极值 在无约束的最优化问题中，决策变量之间是彼此独立的。但是当存在约束条件时，决策变量之间就要受到相互影响。xyz自由极值约束极值 多约束条件下：约束条件的数量应少于决策变量的数量约束条件下求极值的方法 拉格朗日乘数法 目标函数：约束条件：构造一个新函数：12(,.)nzf x xx12.:(,.)nst g x xxc12,.()()nF x xxf xcg x()=1,.0,0nFFFxx0),(21等于求一阶偏导数，使之均，对新函数nxxxF面临多个约束时的一阶条件),(),(),(),(),(,),(21212
11、1212121nnnnnnxxxhdxxxgcxxxfxxxFdxxxhcxxxg，可引入两个乘数：，面临多个约束时的一阶条件0,0,0,0,021FFxFxFxFn，拉格朗日乘数的含义YXPMUPMUcdczdz21在消费理论中，例如：度量。目标函数最优值影响的引起的约束条件变化对是参数量。约束变化的敏感性的度是函数单个等式约束情形下极值的二阶条件00002222dgFddgFddgFddgFd为正定，且满足极小值：为负定，且满足极大值：二阶充分条件：为正半定，且满足极小值：为负半定，且满足极大值：二阶必要条件：极大值的二阶充分条件：用海塞加边行列式nnnnnnnnFFFgFFFgFFFgg
12、ggH21222212112111210注意：与前面自由极值不同，所加的边是约束条件函数的一阶导数，而非目标函数的一阶导数；二阶矩阵是关于新函数F的二阶导数。负定为奇数，为偶数nnHFFgFFgggHFggHn0,00000222121211121211111 多重等式约束的二阶条件：略，参见蒋中一P504的关系：与线性约束条件下BHHB2证明参见蒋 519P的二阶条件。替变化，即满足极大值也满足二阶条件符号交拉格朗日函数的化。顺序主子式符号交替变，则二阶条件满足如果某函数为拟凹函数阶条件相关。性与极大、极小值的二目标函数的拟凹、拟凸相同顺序主子式符号与说明HBHB拟凹函数与极大值 当函数为二
13、阶连续可微的严格拟凹函数时，则在满足一阶条件的点上，二阶条件也能满足极大值的要求。当约束集是凸集（例如等式且线性约束）时，存在唯一的约束极大值解。练习充分条件。证明满足极大值的二阶）求（）写出拉格朗日函数；（。给定效用函数)3(,21130,6,4),1)(2(*yxIPPyxUyx不等式约束条件下极值问题*线性规划 非线性规划人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
