1、 第第 7 讲讲 分式方程分式方程 分式方程 去分母 整式方程 解整式方程 整式方程的解 检验 分式方程的解 实际问题的解 知识点 1 分式方程的解 1若关于 x 的方程2xa x1 1 的解是正数，则 a 的取值范围是 a1 且 a2 知识点 2 分式方程的解法 2解分式方程： (1) 2 x1 1 x1； 解：去分母，得 2(x1)x1. 解得 x3. 经检验 x3 是分式方程的解 (2) 1 x23 x1 2x； 解：方程两边同乘 x2，得 13(x2)(x1)， 即 13x6x1. 整理，得2x6. 解得 x3. 检验，当 x3 时，x20. 则原方程的解为 x3. (3)x1 x1
2、4 1x21. 解：方程的两边同乘(x1)(x1)，得 (x1)24(x1)(x1)，解得 x1. 检验：把 x1 代入(x1)(x1)0. 所以原方程无解 知识点 3 分式方程的增根 3若关于 x 的分式方程 2 x3 xm 3x2 有增根，则 m 的值是(A) Am1 Bm0 Cm3 Dm0 或 m3 知识点 4 分式方程的实际应用 4某校美术社团为练习素描，他们第一次用 120 元买了若干本资料，第二次用 240 元在同一商家买同样的资料， 这次商家每本优惠 4 元，结果比上次多买了 20 本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了 x 本资料，列方程 正确的是(D) A. 240 x2
3、0 120 x 4 B. 240 x20 120 x 4 C.120 x 240 x204 D.120 x 240 x204 5王师傅检修一条长 600 米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修的管道长度是 原计划的 1.2 倍，结果提前 2 小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？ 解：设原计划每小时检修管道 x 米由题意，得 600 x 600 1.2x2.解得 x50. 经检验，x50 是原方程的解，且符合题意 答：原计划每小时检修管道 50 米 重难点 1 分式方程的解法 (2017 随州 T18，6 分)解分式方程： 3 x2x1 x x1. 原方程可
4、化为：3x2xx2.2 分 解得 x3.4 分 检验：当 x3 时，x(x1)60，5 分 x3 是原方程的解.6 分 【变式训练 1】 (2017 湖州)解方程： 2 x1 1 x11. 解：方程两边同乘以 x1，得 21x1. 解得 x2. 检验：当 x2 时，x10， x2 是原方程的解 易错提示 解分式方程应避免以下四点： 1去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中分母为 0，故一定要检验 2去分母时，方程中的常数项要乘以最简公分母 3去分母时，分子是多项式则需要加括号如： 1 x1中，(x1)为一个整体，分数线充当括号作用 4约分时，不能约去含有未知数的整式 重难点 2 由分式方
5、程解的情况确定字母的值或取值范围 若关于 x 的方程 ax x2 4 x21 无解，则 a 的值是 1 或 2 【思路点拨】 分式方程无解有两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的 解使最简公分母为 0，必须舍去本题分两种情况讨论 【变式训练 2】 (2017 泸州)若关于 x 的分式方程xm x2 2m 2x3 的解为正实数，则实数 m 的取值范围是 m6 且 m2., 方法指导 1已知分式方程的解，求方程中字母的值，只需要将方程的解直接代入方程中计算即可 2已知分式方程解的范围，求方程中字母的取值范围问题，需要先用字母表示出分式方程的解，再代入解的 范围，从而确
6、定字母，但要特别注意隐含条件分式的分母不能为 0. 3分式方程无解，需分两种情况讨论：分式方程去分母整理后出现形如 axb 时，当 a0 且 b0 时，方 程无解，所以分式方程无解；去分母后的整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为 0，所以分式方程无解 重难点 3 分式方程的应用 (2017 广州)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路 60 公里，再由乙队完成剩下的筑路工 程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的4 3倍，甲队比乙队多筑路 20 天 (1)求乙队筑路的总公里数； (2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为 58，求乙队平均每天筑路多少公里？ 【思路点拨】 (1
7、)根据甲队筑路 60 公里以及乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的4 3倍，即可求出乙队筑路 的总公里数；(2)设乙队平均每天筑路 8x 公里，则甲队平均每天筑路 5x 公里根据等量关系：甲队比乙队多筑路 20 天，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论 【自主解答】 (1)604 380(公里) 答：乙队筑路的总公里数为 80 公里 (2)设乙队平均每天筑路 8x 公里，则甲队平均每天筑路 5x 公里，根据题意，得 60 5x 80 8x20.解得 x0.1. 经检验：x0.1 是原方程的解 8x0.8. 答：乙队平均每天筑路 0.8 公里 【变式训练 3】 (2017 扬州
8、)星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区 1 800 米 的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的 1.2 倍， 结果小明比小芳早 6 分钟到达，求小芳的速度 解：设小芳的速度是 x 米/分钟，则小明的速度是 1.2x 米/分钟根据题意，得 1 800 x 1 800 1.2x 6.解得 x50. 经检验 x50 是原方程的解 答：小芳的速度是 50 米/分钟 方法指导 列分式方程解决实际问题的关键是找到等量关系，恰当地设出未知数，列出方程 易错提示 利用分式方程解应用题一定要注意检验，找出符合实际情况的答案 1(2
9、017 河南)解分式方程 1 x12 3 1x，去分母得(A) A12(x1)3 B12(x1)3 C12x23 D12x23 2(2017 孝感)方程 2 x3 1 x1的解是(B) Ax5 3 Bx5 Cx4 Dx5 3(2017 成都)已知 x3 是分式方程 kx x1 2k1 x 2 的解，那么实数 k 的值为(D) A1 B0 C1 D2 4(2017 滨州)分式方程 x x11 3 （x1）（x2）的解为(C) Ax1 Bx1 C无解 Dx2 5(2017 聊城)如果解关于 x 的分式方程 m x2 2x 2x1 时出现增根，那么 m 的值为(D) A2 B2 C4 D4 6(20
10、17 南宁)一艘轮船在静水中的最大航速为 35 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 120 km 所用时间与以最大航 速逆流航行 90 km 所用时间相等，设江水的流速为 v km/h，则可列方程为(D) A. 120 v35 90 v35 B. 120 35v 90 35v C. 120 v35 90 v35 D. 120 35v 90 35v 7(2017 泰安)某服装店用 10 000 元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用 14 700 元钱购进第二批 这种衬衫，所进件数比第一批多 40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多 10 元，求第一批购进多少件衬 衫？设第一批
11、购进 x 件衬衫，则所列方程为(B) A.10 000 x 10 14 700 （140%）x B.10 000 x 10 14 700 （140%）x C. 10 000 （140%）x10 14 700 x D. 10 000 （140%）x10 14 700 x 8(2017 荆州)若关于 x 的分式方程k1 x12 的解为负数，则 k 的取值范围为 k3 且 k1 9(2016 黔西南)关于 x 的两个方程 x2x60 与 2 xm 1 x3有一个解相同，则 m8 10(2017 温州)甲、乙工程队分别承接了 160 米，200 米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设 5 米，甲、乙完
12、 成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设 x 米，根据题意可列出方程160 x 200 x5 11解分式方程： (1)(2017 济宁) 2x x21 1 2x； 解：去分母，得 2xx21. 移项、合并同类项，得 x1. 经检验 x1 是分式方程的解 (2)(2017泰州)x1 x1 4 1x21. 解：去分母，得 x22x14x21. 解得 x1. 经检验 x1 是增根，所以分式方程无解 12(2017 黄冈)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类 图书平均每本的价格多 5 元，已知学校用 12 000 元购买的科普类图书的本
13、数与用 9 000 元购买的文学类图书的本数 相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？ 解：设文学类图书平均每本的价格为 x 元，则科普类图书平均每本的价格为(x5)元根据题意，得 12 000 x5 9 000 x .解得 x15. 经检验，x15 是原方程的解，且符合题意， 则科普类图书平均每本的价格为 15520(元) 答：文学类图书平均每本的价格为 15 元，科普类图书平均每本的价格为 20 元 13(2016 威海)某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有 48 人达标，乙班有 45 人达标，甲 班的达标率比乙班高 6%，求乙班的达标率 解：
14、设乙班的达标率是 x，则甲班的达标率为(x6%)根据题意，得 48 x6% 45 x .解得 x0.9. 经检验，x0.9 是所列方程的根，且符合题意 答：乙班的达标率为 90%. 14某商场销售的一款空调机每台的标价是 1 635 元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利 9%. (1)求这款空调每台的进价； (利润率利润 进价 售价进价 进价 ) (2)在这次促销活动中，商场销售了这款空调机 100 台，问盈利多少元？ 解：(1)设这款空调每台的进价为 x 元，根据题意，得 1 6350.8x x 9%.解得 x1 200. 经检验，x1 200 是原方程的解 答：这款空调每台的进
15、价为 1 200 元 (2)1001 2009%10 800(元) 答：盈利 10 800 元 15(2016 凉山)关于 x 的方程3x2 x1 2 m x1无解，则 m 的值为(A) A5 B8 C2 D5 16 (2017 达州)某市从今年 1 月 1 日起调整居民用水价格， 每立方米水费上涨1 3.小丽家去年 12 月份的水费是 15 元， 而今年 5 月的水费则是 30 元 已知小丽家今年 5 月的用水量比去年 12 月的用水量多 5 m3.求该市今年居民用水的价 格设去年居民用水价格为 x 元/m3，根据题意列方程，正确的是(A) A. 30 （11 3）x 15 x 5 B. 3
16、0 （11 3）x 15 x 5 C.30 x 15 （11 3）x 5 D.30 x 15 （11 3）x 5 17(2016 菏泽)为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印， 节约用纸”已知打印一份资料，如果用 A4 厚型纸单面打印，总质量为 400 克，将其全部改成双面打印，用纸将 减少一半；如果用 A4 薄型纸双面打印，这份资料的总质量为 160 克，已知每页薄型纸比厚型纸轻 0.8 克，求 A4 薄 型纸每页的质量(墨的质量忽略不计) 解：设 A4 薄型纸每页的质量为 x 克，则 A4 厚型纸每页的质量为(x0.8)克，根据题意，得 400 x0.8 160 x 2.解得 x3.2. 经检验，x3.2 是原分式方程的解，且符合题意 答：A4 薄型纸每页的质量为 3.2 克
